En mecánica continua , un material hipoelástico [1] es un material elástico que tiene un modelo constitutivo independiente de las medidas de deformación finitas excepto en el caso linealizado. Los modelos de material hipoelástico son distintos de los modelos de material hiperelástico (o modelos de elasticidad estándar) en que, excepto en circunstancias especiales, no pueden derivarse de una función de densidad de energía de deformación .
Descripción general
Un material hipoelástico se puede definir rigurosamente como uno que se modela utilizando una ecuación constitutiva que satisface los dos criterios siguientes: [2]
1. El estrés de Cauchy en el momento depende sólo del orden en el que el cuerpo ha ocupado sus configuraciones pasadas, pero no del ritmo de tiempo en el que se atravesaron estas configuraciones pasadas. Como caso especial, este criterio incluye un material elástico de Cauchy , para el cual la tensión actual depende solo de la configuración actual y no del historial de configuraciones pasadas.
2. Hay una función tensorial tal que en el cual es la tasa material del tensor de tensión de Cauchy, y es el tensor de gradiente de velocidad espacial .
Si solo se utilizan estos dos criterios originales para definir la hipoelasticidad, entonces la hiperelasticidad se incluiría como un caso especial, lo que incita a algunos modeladores constitutivos a agregar un tercer criterio que requiere específicamente que un modelo hipoelástico no sea hiperelástico (es decir, la hipoelasticidad implica que el estrés es no derivable de un potencial energético). Si se adopta este tercer criterio, se deduce que un material hipoelástico podría admitir trayectorias de carga adiabáticas no conservadoras que comienzan y terminan con el mismo gradiente de deformación pero no comienzan y terminan con la misma energía interna.
Tenga en cuenta que el segundo criterio requiere solo que la función existe . Como se explica a continuación, las formulaciones específicas de modelos hipoelásticos suelen emplear la denominada tasa de estrés objetivo para que el la función existe sólo implícitamente.
Los modelos de materiales hipoelásticos adoptan frecuentemente la forma
dónde es una tasa objetiva del estrés de Kirchhoff (), es el tensor de la tasa de deformación , yes el llamado tensor de rigidez de tangente elástica, que varía con la propia tensión y se considera un tensor de propiedades del material. En la hiperelasticidad, la rigidez tangente generalmente también debe depender del gradiente de deformación para tener en cuenta adecuadamente la distorsión y la rotación de las direcciones de las fibras del material anisotrópico. [3]
Hipoelasticidad y tasas de estrés objetivo
En muchos problemas prácticos de la mecánica de sólidos, es suficiente caracterizar la deformación del material por el tensor de deformación pequeño (o linealizado).
dónde son los componentes de los desplazamientos de puntos continuos, los subíndices se refieren a coordenadas cartesianas , y los subíndices precedidos por una coma denotan derivadas parciales (p. ej., ). Pero también hay muchos problemas en los que se debe tener en cuenta la finitud de la deformación. Estos son de dos tipos:
- grandes deformaciones elásticas no lineales que poseen una energía potencial, (exhibido, por ejemplo, por caucho), en el que los componentes del tensor de tensión se obtienen como las derivadas parciales de con respecto a los componentes finitos del tensor de deformación; y
- deformaciones inelásticas sin potencial, en las que la relación tensión-deformación se define de forma incremental.
En el primer tipo, la formulación de deformación total descrita en el artículo sobre la teoría de deformaciones finitas es apropiada. En el último tipo, es necesaria una formulación incremental (o tasa) y debe usarse en cada carga o paso de tiempo de un programa de computadora de elementos finitos utilizando un procedimiento lagrangiano actualizado. La ausencia de un potencial plantea preguntas complejas debido a la libertad en la elección de la medida de deformación finita y la caracterización de la tasa de tensión.
Para un paso de carga suficientemente pequeño (o incremento), se puede usar el tensor de velocidad de deformación (o deformación por velocidad)
o incremento
que representa el incremento de deformación linealizado desde el estado inicial (estresado y deformado) en el paso. Aquí el punto superior representa la derivada del tiempo material ( siguiendo una partícula de material dada), denota un pequeño incremento sobre el paso, = tiempo, y = velocidad puntual del material o tasa de desplazamiento.
Sin embargo, no sería objetivo utilizar la derivada temporal de la tensión de Cauchy (o verdadera) . Esta tensión, que describe las fuerzas sobre un elemento de material pequeño que se imagina que se corta del material como deformado actualmente, no es objetiva porque varía con las rotaciones del cuerpo rígido del material. Los puntos materiales deben caracterizarse por sus coordenadas iniciales (llamado Lagrangiano) porque diferentes partículas de material están contenidas en el elemento que se corta (en la misma ubicación) antes y después de la deformación incremental.
En consecuencia, es necesario introducir la denominada tasa de estrés objetivo , o el incremento correspondiente . La objetividad es necesaria paraestar funcionalmente relacionado con la deformación del elemento. Significa que eso debe ser invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas (particularmente las rotaciones) y debe caracterizar el estado del mismo elemento material que se deforma.
Ver también
Notas
- ^ Truesdell (1963).
- ^ Truesdell, Clifford; Noll, Walter (2004). Las teorías de la mecánica de campos no lineales (3ª ed.). Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag. pag. 401. ISBN 3-540-02779-3.
- ^ Brannon, RM (1998). "Advertencias sobre las medidas conjugadas de tensión y deformación para el marco de elasticidad anisotrópica indiferente". Acta Mechanica . 129 . págs. 107-116.
Bibliografía
- Truesdell, Clifford (1963), "Observaciones sobre hipoelasticidad", Revista de investigación de la Oficina Nacional de Normas, Sección B , 67B (3): 141–143