Predicciones de tres tasas de esfuerzo objetivo bajo cortante
Existen numerosas tasas de tensión objetivas en la mecánica del continuo, todas las cuales pueden demostrarse como formas especiales de derivadas de Lie . Algunas de las tasas de estrés objetivo más utilizadas son:
la tasa de Zaremba-Jaumann del estrés de Cauchy. [2]
La figura adyacente muestra el desempeño de varias tasas objetivas en una prueba de corte simple donde el modelo de material es hipoelástico con módulos elásticos constantes . La relación entre el esfuerzo cortante y el desplazamiento se representa en función del tiempo. Se utilizan los mismos módulos con las tres tasas de tensión objetivas. Claramente, se observan oscilaciones espúreas para la tasa de estrés de Zaremba-Jaumann. [3] Esto no se debe a que una tasa sea mejor que otra, sino a que es un mal uso de los modelos de materiales utilizar las mismas constantes con diferentes tasas objetivas. [4] Por esta razón, una tendencia reciente ha sido evitar por completo las tasas de estrés objetivas siempre que sea posible. [ cita requerida ]
No objetividad de la derivada temporal de la tensión de Cauchy
Desde es una cantidad espacial y la transformación sigue las reglas de las transformaciones tensoriales ,es objetivo. Sin emabargo,
Por lo tanto, la tasa de tensión no es objetiva a menos que la tasa de rotación sea cero, es decir es constante.
Figura 1. Elemento de material deformado y sin deformar, y un cubo elemental recortado del elemento deformado.
Para una comprensión física de lo anterior, considere la situación que se muestra en la Figura 1. En la figura, los componentes del tensor de tensión de Cauchy (o verdadero) se indican con los símbolos . Este tensor, que describe las fuerzas sobre un elemento de material pequeño que se imagina que se corta del material como deformado actualmente, no es objetivo en deformaciones grandes porque varía con las rotaciones del cuerpo rígido del material. Los puntos materiales deben caracterizarse por sus coordenadas lagrangianas iniciales. En consecuencia, es necesario introducir la denominada tasa de estrés objetivo, o el incremento correspondiente . La objetividad es necesaria paraestar funcionalmente relacionado con la deformación del elemento. Esto significa que debe ser invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas, particularmente las rotaciones del cuerpo rígido, y debe caracterizar el estado del mismo elemento material que se deforma.
La tasa de estrés objetivo se puede derivar de dos formas:
por transformaciones de coordenadas tensoriales, [5] que es la forma estándar en los libros de texto de elementos finitos [6]
variacionalmente, de la densidad de energía de deformación en el material expresada en términos del tensor de deformación (que es objetivo por definición) [7] [8]
Mientras que la primera forma es instructiva y proporciona información geométrica útil, la segunda forma es matemáticamente más corta y tiene la ventaja adicional de asegurar automáticamente la conservación de energía, es decir, garantizar que el trabajo de segundo orden del tensor de incremento de tensión en el tensor de incremento de deformación sea correcto (requisito de conjugación de trabajo).
Tasa de estrés de Truesdell del estrés de Cauchy
La relación entre la tensión de Cauchy y la 2ª tensión PK se denomina transformación de Piola . Esta transformación se puede escribir en términos de la retirada de o el empujón de como
La tasa de Truesdell de la tensión de Cauchy es la transformación de Piola de la derivada del tiempo material de la 2ª tensión PK. Así definimos
Expandido, esto significa que
donde el Kirchhoff enfatiza y la derivada de Lie de la tensión de Kirchhoff es
Esta expresión se puede simplificar a la conocida expresión de la tasa de Truesdell de la tensión de Cauchy
Tasa de Truesdell del estrés de Cauchy
dónde es el gradiente de velocidad: .
Prueba:
Empezamos con
Expandiendo la derivada dentro de los corchetes, obtenemos
o,
Ahora,
Por lo tanto,
o,
donde el gradiente de velocidad .
Además, la tasa de cambio de volumen está dada por
dónde es el tensor de la tasa de deformación.
Por lo tanto,
o,
Se puede demostrar que la tasa de Truesdell es objetiva.
Tasa de Truesdell del estrés de Kirchhoff
La tasa de Truesdell de la tensión de Kirchhoff se puede obtener observando que
y definiendo
Expandido, esto significa que
Por lo tanto, la derivada de Lie dees la misma que la tasa de Truesdell del estrés de Kirchhoff .
Siguiendo el mismo proceso que para el estrés de Cauchy anterior, podemos demostrar que
Tasa de Truesdell del estrés de Kirchhoff
Tasa de Green-Naghdi del estrés de Cauchy
Ésta es una forma especial de la derivada de Lie (o la tasa de Truesdell de la tensión de Cauchy). Recuerde que la tasa de Truesdell de la tensión de Cauchy está dada por
Del teorema de la descomposición polar tenemos
dónde es el tensor de rotación ortogonal () y es el tramo recto simétrico, positivo definido.
Si asumimos que obtenemos . Además como no hay estiramiento y tenemos . Tenga en cuenta que esto no significa que no haya estiramiento en el cuerpo real; esta simplificación es solo con el propósito de definir una tasa de estrés objetivo. Por lo tanto,
Podemos demostrar que esta expresión se puede simplificar a la forma comúnmente utilizada de la tasa Green-Naghdi
Tasa de Green-Naghdi del estrés de Cauchy
dónde .
Prueba:
Expandiendo la derivada
o,
Ahora,
Por lo tanto,
Si definimos la velocidad angular como
obtenemos la forma más utilizada de la tasa Green-Naghdi
La tasa Green-Naghdi de la tensión de Kirchhoff también tiene la forma, ya que no se tiene en cuenta el tramo, es decir,
Tasa de Zaremba-Jaumann del estrés de Cauchy
La tasa de Zaremba-Jaumann de la tensión de Cauchy es una especialización adicional de la derivada de Lie (tasa de Truesdell). Esta tasa tiene la forma
Tasa de Zaremba-Jaumann del estrés de Cauchy
dónde es el tensor de espín.
La tasa de Zaremba-Jaumann se usa ampliamente en los cálculos principalmente por dos razones
es relativamente fácil de implementar.
conduce a módulos tangentes simétricos.
Recuerde que el tensor de giro (la parte sesgada del gradiente de velocidad) se puede expresar como
Por lo tanto, para el movimiento de un cuerpo rígido puro
Alternativamente, podemos considerar el caso de carga proporcional cuando las direcciones principales de deformación permanecen constantes. Un ejemplo de esta situación es la carga axial de una barra cilíndrica. En esa situación, desde
tenemos
También,
del estrés de Cauchy
Por lo tanto,
Esto una vez más da
En general, si nos aproximamos
la tasa Green-Naghdi se convierte en la tasa Zaremba-Jaumann del estrés de Cauchy
Otras tasas de estrés objetivo
Puede haber una variedad infinita de tasas de estrés objetivo. Uno de ellos es la tasa de estrés de Oldroyd.
En una forma más simple, la tasa de Oldroyd viene dada por
Si se supone que la configuración actual es la configuración de referencia, las operaciones de retroceso y avance se pueden realizar utilizando y respectivamente. La derivada de Lie de la tensión de Cauchy se denomina tasa de tensión convectiva.
En una forma más simple, la tasa convectiva viene dada por
Tasas de tensión objetiva en inelasticidad de deformación finita
Muchos materiales sufren deformaciones inelásticas causadas por plasticidad y daño. Estos comportamientos materiales no se pueden describir en términos de potencial. También es frecuente que no exista ningún recuerdo del estado virgen inicial, especialmente cuando se trata de grandes deformaciones. [9] La relación constitutiva se define típicamente en forma incremental en tales casos para facilitar el cálculo de tensiones y deformaciones. [10]
dónde es el incremento de desplazamiento de los puntos continuos. La derivada del tiempo
es el tensor de velocidad de deformación (también llamado deformación de velocidad) yes la velocidad puntual del material o la tasa de desplazamiento. Para deformaciones finitas, se pueden utilizar medidas de la familia Seth-Hill (también llamadas tensores Doyle-Ericksen):
dónde es el tramo correcto. Una aproximación de segundo orden de estos tensores es
Tasas de estrés objetivo coherentes con la energía
Considere un elemento material de volumen inicial unitario, comenzando desde un estado inicial bajo tensión inicial de Cauchy (o verdadera) y deja sea la tensión de Cauchy en la configuración final. Dejarser el trabajo realizado (por unidad de volumen inicial) por las fuerzas internas durante una deformación incremental desde este estado inicial. Entonces la variante corresponde a la variación en el trabajo realizado debido a una variación en el desplazamiento . La variación de desplazamiento debe satisfacer las condiciones de contorno de desplazamiento.
Dejar ser un tensor de tensión objetivo en la configuración inicial. Defina el incremento de tensión con respecto a la configuración inicial como. Alternativamente, si es el primer esfuerzo asimétrico de Piola-Kirchhoff referido a la configuración inicial, el incremento en el esfuerzo se puede expresar como .
Variación del trabajo realizado
Entonces la variación en el trabajo realizado se puede expresar como
donde la medida de deformación finita es la energía conjugada a la medida del esfuerzo . Expandido
La objetividad del tensor de tensión está asegurado por su transformación como un tensor de segundo orden bajo rotaciones de coordenadas (lo que hace que las tensiones principales sean independientes de las rotaciones de coordenadas) y por la corrección de como una expresión de energía de segundo orden.
De la simetría de la tensión de Cauchy, tenemos
Para pequeñas variaciones de deformación, utilizando la aproximación
y las expansiones
obtenemos la ecuación
Imponer la condición variacional de que la ecuación resultante debe ser válida para cualquier gradiente de deformación. , tenemos [7]
También podemos escribir la ecuación anterior como
Derivadas de tiempo
El estrés de Cauchy y el primer estrés de Piola-Kirchhoff están relacionados por (ver Medidas de estrés )
Para pequeñas deformaciones incrementales,
Por lo tanto,
Sustituyendo ,
Para pequeños incrementos de estrés relativo al estrés inicial , lo anterior se reduce a
De las ecuaciones (1) y (3) tenemos
Recordar que es un incremento de la medida del tensor de tensión . Definición de la tasa de estrés
y notando que
podemos escribir la ecuación (4) como
Tomando el límite en , y notando que en este límite, se obtiene la siguiente expresión para la tasa de esfuerzo objetivo asociada con la medida de deformación :
Aquí = tasa material de tensión de Cauchy (es decir, la tasa en coordenadas lagrangianas del estado de tensión inicial).
Tasas de estrés conjugado en el trabajo
Una tasa para la que no existe un tensor de deformación finito legítimo asociado según Eq. (6) es energéticamente inconsistente, es decir, su uso viola el equilibrio energético (es decir, la primera ley de la termodinámica).
Evaluando la ecuación. (6) para general y para , se obtiene una expresión general para la tasa de estrés objetivo: [7] [8]
dónde es la tasa de estrés objetivo asociada con la cepa Green-Lagrangiana ().
En particular,
da la tasa de estrés de Truesdell
da la tasa de Zaremba-Jaumann de estrés de Kirchhoff
da la tasa de estrés de Biot
(Tenga en cuenta que m = 2 conduce a la fórmula de Engesser para la carga crítica en el pandeo por cortante, mientras que m = -2 conduce a la fórmula de Haringx que puede dar cargas críticas que difieren en> 100%).
Tasas de estrés no conjugado en el trabajo
Otras tasas, utilizadas en la mayoría de los códigos comerciales, que no se conjugan con ningún tensor de deformación finito son: [8]
la tasa de esfuerzo de Cauchy de Zaremba-Jaumann, o corotacional : se diferencia de la tasa de esfuerzo de Kirchhoff de Zaremba-Jaumann porque se pierde la tasa de cambio de volumen relativo del material. La falta de conjugación de trabajo no suele ser un problema grave, ya que ese término es insignificante para muchos materiales y cero para materiales incompresibles (pero en la indentación de una placa sándwich con núcleo de espuma, esta tasa puede dar un error de> 30% en el fuerza de indentación).
la tasa de Cotter-Rivlin corresponde a pero nuevamente pierde el término volumétrico.
la tasa de Green-Naghdi : esta tasa de esfuerzo objetivo no está conjugada en el trabajo a ningún tensor de deformación finito, no solo debido al término volumétrico que falta, sino también porque la velocidad de rotación del material no es exactamente igual al tensor de giro. En la gran mayoría de aplicaciones, los errores en el cálculo de la energía, provocados por estas diferencias, son insignificantes. Sin embargo, debe señalarse que ya se demostró un gran error de energía para un caso con deformaciones cortantes y rotaciones superiores a aproximadamente 0,25. [12]
la tasa de Oldroyd .
Tasas objetivas y derivadas de Lie
Las tasas de tensión objetivas también podrían considerarse como las derivadas de Lie de varios tipos de tensor de tensión (es decir, los componentes covariantes, contravariantes y mixtos asociados de la tensión de Cauchy) y sus combinaciones lineales. [13] La derivada de Lie no incluye el concepto de conjugación de trabajo.
Módulos de rigidez tangencial y sus transformaciones para lograr consistencia energética
La relación tensión-deformación tangencial tiene generalmente la forma
dónde son los módulos tangenciales (componentes de un tensor de cuarto orden) asociados con el tensor de deformación . Son diferentes para diferentes opciones de, y se relacionan de la siguiente manera:
Por el hecho de que Eq. (7) debe ser válido para cualquier gradiente de velocidad, se deduce que: [7]
dónde son los módulos tangenciales asociados con la cepa verde-lagrangiana (), tomado como referencia, = estrés de Cauchy actual, y = Delta de Kronecker (o tensor unitario).
Eq. (8) se puede utilizar para convertir una tasa de estrés objetivo en otra. Desde, la transformación [7] [8]
puede corregir aún más la ausencia del término (tenga en cuenta que el término no permite intercambiar subíndices con , lo que significa que su ausencia rompe la simetría mayor del tensor de módulos tangenciales ).
A menudo se desarrolla una gran deformación cuando el comportamiento del material se vuelve no lineal, debido a la plasticidad o al daño. Entonces, la causa principal de la dependencia del estrés de los módulos tangenciales es el comportamiento físico del material. ¿Qué Eq. (8) significa que la dependencia no lineal deen el estrés debe ser diferente para diferentes tasas de estrés objetivo. Sin embargo, ninguno de ellos es fundamentalmente preferible, excepto si existe una tasa de estrés, una, por lo que los módulos pueden considerarse constantes.
^ ME Gurtin, E. Fried y L. Anand (2010). "La mecánica y termodinámica de los continuos". Cambridge University Press , (ver p. 151, 242).
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^ Teoría de la deformación finita
^ Wikiversidad: elementos finitos no lineales / Enfoque lagrangiano actualizado
^ Teoría de la deformación infinitesimal
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^ JE Marsden y TJR Hughes (1983). Fundamentos matemáticos de la elasticidad. Prentice Hall, acantilados de Englewood. NJ (pág. 100).