Icosian
En matemáticas, los icosianos son un conjunto específico de cuaterniones hamiltonianos con la misma simetría que las 600 células . El término se puede utilizar para referirse a dos conceptos relacionados, pero distintos:
En este caso, el vector ( a , b , c , d ) se refiere al cuaternión a + b i + c j + d k , y φ representa la proporción áurea ( √ 5 + 1) / 2. Estos 120 vectores forman el sistema de raíces H4 , con un grupo de Weyl de orden 14400. Además de los icosianos de 120 unidades que forman los vértices de una celda de 600, los icosianos de 600 de la norma 2 forman los vértices de una celda de 120 . Otros subgrupos de icosianos corresponden al tesseract , de 16 célulasy 24 celdas .
Los icosianos se encuentran en el campo dorado , ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , donde las ocho variables son números racionales . Este cuaternión es solo un icosiano si el vector ( a , b , c , d , e , f , g , h) es un punto en una celosía L , que es isomorfo a una celosía E8 .
Más precisamente, la norma de cuaternión del elemento anterior es ( a + b √ 5 ) 2 + ( c + d √ 5 ) 2 + ( e + f √ 5 ) 2 + ( g + h √ 5 ) 2 . Su norma euclidiana se define como u + v si la norma del cuaternión es u + v √ 5 . Esta norma euclidiana define una forma cuadrática en L, bajo el cual la celosía es isomorfa a la celosía E8 .
Esta construcción muestra que el grupo Coxeter se integra como un subgrupo de . De hecho, un isomorfismo lineal que conserva la norma del cuaternión también conserva la norma euclidiana.
