120 celdas

En geometría , las 120 celdas son 4 politopos regulares convexos con el símbolo de Schläfli {5,3,3}. También se le llama C ₁₂₀ , dodecaplex (abreviatura de "complejo dodecaédrico"), hiperdodecaedro , polidodecaedro , hecatonicosachoron , dodecacontachoron ^[1] y hecatonicosahedroid . ^[2]

120 celdas
Diagrama de Schlegel (vértices y aristas)
Tipo	4 politopos regulares convexos
Símbolo de Schläfli	{5,3,3}
Diagrama de Coxeter
Células	120 {5,3}
Caras	720 {5}
Bordes	1200
Vértices	600
Figura de vértice	tetraedro
Polígono de Petrie	30 gon
Grupo Coxeter	H 4 , [3,3,5]
Doble	600 celdas
Propiedades	convexo , isogonal , isotoxal , isoédrico
Índice uniforme	32

Neto

El límite de las 120 celdas está compuesto por 120 celdas dodecaédricas con 4 juntas en cada vértice. Se puede considerar como el análogo tetradimensional del dodecaedro regular . Así como se puede construir un dodecaedro como modelo con 12 pentágonos, 3 alrededor de cada vértice, el dodecaplejo se puede construir a partir de 120 dodecaedros , con 3 alrededor de cada borde.

El Davis de 120 celdas , presentado por Davis (1985) , es un colector hiperbólico compacto de 4 dimensiones obtenido al identificar las caras opuestas del 120 celdas, cuya cubierta universal da el panal regular {5,3,3,5} de 4 -espacio hiperbólico dimensional.

Elementos

• Hay 120 celdas, 720 caras pentagonales , 1200 aristas y 600 vértices.
• Hay 4 dodecaedros, 6 pentágonos y 4 aristas que se encuentran en cada vértice.
• Hay 3 dodecaedros y 3 pentágonos que se encuentran en cada borde.
• El politopo dual de 120 celdas es el de 600 celdas .
• El compuesto formado a partir de 120 celdas y su dual es el compuesto de 120 celdas y 600 celdas .
• La figura del vértice de las 120 celdas es un tetraedro .
• El ángulo diedro (ángulo entre los hiperplanos facetarios) de las 120 celdas es 144 ° ^[3]

Como configuración

Esta matriz de configuración representa las 120 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en el total de 120 celdas. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en el mismo. ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Aquí está la configuración expandida con k elementos -face y k -Figuras. Los recuentos de elementos diagonales son la proporción del orden total del grupo Coxeter , 14400, dividido por el orden del subgrupo con eliminación de espejos.

H 4		cara k	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	k -fig	Notas
A 3		()	f 0	600	4	6	4	{3,3}	H 4 / A 3 = 14400/24 ​​= 600
A 1 A 2		{}	f 1	2	720	3	3	{3}	H 4 / A 2 A 1 = 14400/6/2 = 1200
H 2 A 1		{5}	f 2	5	5	1200	2	{}	H 4 / H 2 A 1 = 14400/10/2 = 720
H 3		{5,3}	f 3	20	30	12	120	()	H 4 / H 3 = 14400/120 = 120

Coordenadas cartesianas

Los 600 vértices de una celda de 120 con una longitud de borde de 2/φ ²= 3− √ 5 y un radio de centro a vértice de √ 8 = 2 √ 2 incluyen todas las permutaciones de: ^[6]

(0, 0, ± 2, ± 2)

(± 1, ± 1, ± 1, ± √ 5 )

(± φ ⁻² , ± φ, ± φ, ± φ)

(± φ ⁻¹ , ± φ ⁻¹ , ± φ ⁻¹ , ± φ ² )

y todas las permutaciones pares de

(0, ± φ ⁻² , ± 1, ± φ ² )

(0, ± φ ⁻¹ , ± φ, ± √ 5 )

(± φ ⁻¹ , ± 1, ± φ, ± 2)

donde φ es la proporción áurea , 1 + √ 5/2.

Considerando la matriz de adyacencia de los vértices que representan su gráfica poliédrica, el diámetro de la gráfica es 15, conectando cada vértice con su coordenada-negación, a una distancia euclidiana de 4 √ 2 de distancia (su circundiámetro), y hay 24 caminos diferentes para conectarlos. a lo largo de los bordes del politopo. De cada vértice, hay 4 vértices a la distancia 1, 12 a la distancia 2, 24 a la distancia 3, 36 a la distancia 4, 52 a la distancia 5, 68 a la distancia 6, 76 a la distancia 7, 78 a la distancia 8, 72 a la distancia 9, 64 a la distancia 10, 56 a la distancia 11, 40 a la distancia 12, 12 a la distancia 13, 4 a la distancia 14 y 1 a la distancia 15. La matriz de adyacencia tiene 27 valores propios distintos que van desde 2/φ ², con una multiplicidad de 4, a 4, con una multiplicidad de 1. La multiplicidad del valor propio 0 es 18 y el rango de la matriz de adyacencia es 582.

Visualización

La celda de 120 consta de 120 celdas dodecaédricas. Para fines de visualización, es conveniente que el dodecaedro tenga caras paralelas opuestas (un rasgo que comparte con las celdas del tesseract y las 24 celdas ). Uno puede apilar los dodecaedros cara a cara en una línea recta doblada en la cuarta dirección en un gran círculo con una circunferencia de 10 celdas. A partir de esta construcción inicial de diez células, hay dos visualizaciones comunes que se pueden usar: una proyección estereográfica en capas y una estructura de anillos entrelazados.

Proyección estereográfica en capas

Las ubicaciones de las celdas se prestan a una descripción hiperesférica. Elija un dodecaedro arbitrario y etiquételo como "polo norte". Doce meridianos del gran círculo (cuatro celdas de largo) se irradian en 3 dimensiones, convergiendo en la quinta celda del "polo sur". Este esqueleto representa 50 de las 120 células (2 + 4 × 12).

Comenzando en el Polo Norte, podemos construir las 120 celdas en 9 capas latitudinales, con alusiones a la topografía terrestre de 2 esferas en la siguiente tabla. Con la excepción de los polos, los centroides de las celdas de cada capa se encuentran en una 2-esfera separada, con los centroides ecuatoriales en una gran 2-esfera. Los centroides de las 30 celdas ecuatoriales forman los vértices de un icosidodecaedro , con los meridianos (como se describió anteriormente) pasando por el centro de cada cara pentagonal. Las celdas etiquetadas como "intersticiales" en la siguiente tabla no se encuentran en los círculos máximos de los meridianos.

Capa #	Número de celdas	Descripción	Colatitude	Región
1	1 celda	Polo Norte	0 °	Hemisferio norte
2	12 celdas	Primera capa de células meridionales / " Círculo Polar Ártico "	36 °
3	20 celdas	No meridiano / intersticial	60 °
4	12 celdas	Segunda capa de células meridionales / " Trópico de cáncer "	72 °
5	30 celdas	No meridiano / intersticial	90 °	Ecuador
6	12 celdas	Tercera capa de células meridionales / " Trópico de Capricornio "	108 °	Hemisferio sur
7	20 celdas	No meridiano / intersticial	120 °
8	12 celdas	Cuarta capa de células meridionales / " Círculo Antártico "	144 °
9	1 celda	Polo Sur	180 °
Total	120 celdas

Las celdas de las capas 2, 4, 6 y 8 están ubicadas sobre las caras de la celda polar. Las celdas de las capas 3 y 7 están ubicadas directamente sobre los vértices de la celda polar. Las celdas de la capa 5 están ubicadas sobre los bordes de la celda polar.

Anillos entrelazados

Dos anillos entrelazados de 120 celdas.

Dos anillos ortogonales en una proyección centrada en una celda

Las 120 celdas se pueden dividir en 12 anillos de gran círculo separados de 10 celdas, formando una fibración de Hopf discreta / cuantificada . Comenzando con un anillo de 10 celdas, se puede colocar otro anillo a su lado que gira en espiral alrededor del anillo original una revolución completa en diez celdas. Se pueden colocar cinco de estos anillos de 10 celdas junto al anillo de 10 celdas original. Aunque los anillos exteriores forman una "espiral" alrededor del anillo interior (y entre sí), en realidad no tienen torsión helicoidal . Todos son equivalentes. La espiral es el resultado de la curvatura de 3 esferas. El anillo interior y los cinco anillos exteriores ahora forman un toro sólido de seis anillos y 60 celdas. Uno puede continuar agregando anillos de 10 celdas adyacentes a los anteriores, pero es más instructivo construir un segundo toro, separado del anterior, de las 60 celdas restantes, que se entrelaza con el primero. El de 120 celdas, como el de 3 esferas, es la unión de estos dos toros ( Clifford ). Si el anillo central del primer toro es un gran círculo meridiano como se definió anteriormente, el anillo central del segundo toro es el gran círculo ecuatorial que está centrado en el círculo meridiano. También tenga en cuenta que el caparazón en espiral de 50 celdas alrededor de un anillo central puede ser para zurdos o diestros. Es solo una cuestión de dividir las celdas en el caparazón de manera diferente, es decir, elegir otro conjunto de grandes círculos disjuntos.

Otras construcciones del gran círculo

Hay otra trayectoria de gran círculo de interés que pasa alternativamente a través de vértices de celda opuestos y luego a lo largo de un borde. Este camino consta de 6 celdas y 6 bordes. Ambas trayectorias de gran círculo anteriores tienen dos trayectorias de gran círculo en las 600 celdas. La ruta de 10 celdas cara a cara de arriba se asigna a una ruta de 10 vértices que atraviesa únicamente los bordes en las 600 celdas, formando un decágono. La ruta alterna de celda / borde anterior se asigna a una ruta que consta de 12 tetraedros que se encuentran alternativamente cara a cara y luego vértice a vértice (seis bipirámides triangulares ) en la celda 600. Este último camino corresponde a un anillo de seis icosaedros que se encuentran cara a cara en las 24 celdas chatas (o pirámides icosaédricas en las 600 celdas).

Proyecciones

Proyecciones ortogonales

Las proyecciones ortogonales de las 120 celdas se pueden realizar en 2D definiendo dos vectores de base ortonormales para una dirección de vista específica. La proyección de 30 gonales fue realizada en 1963 por BLChilton . ^[7]

La proyección decagonal H3 muestra el plano del polígono de van Oss .

Proyecciones ortográficas por planos de Coxeter

H 4	-	F 4
[30]	[20]	[12]
H 3	A 2 / B 3 / D 4	A 3 / B 2
[10]	[6]	[4]

Las proyecciones ortogonales tridimensionales también se pueden hacer con tres vectores de base ortonormal y se muestran como un modelo 3D, y luego se proyecta una cierta perspectiva en 3D para una imagen 2D.

Proyecciones ortográficas 3D

Proyección isométrica 3D

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