En geometría , las 600 celdas son 4 politopos regulares convexos (análogo tetradimensional de un sólido platónico ) con el símbolo de Schläfli {3,3,5}. También se conoce como C 600 , hexacosichoron [1] y hexacosihedroid . [2] También se le llama tetraplejo (abreviado de "complejo tetraédrico") y politetraedro , al estar delimitado por células tetraédricas .
600 celdas | |
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![]() Diagrama de Schlegel , centrado en vértices (vértices y aristas) | |
Tipo | 4 politopos regulares convexos |
Símbolo de Schläfli | {3,3,5} |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | 600 ( 3.3.3 )![]() |
Caras | 1200 {3} |
Bordes | 720 |
Vértices | 120 |
Figura de vértice | ![]() icosaedro |
Polígono de Petrie | 30 gon |
Grupo Coxeter | H 4 , [3,3,5], orden 14400 |
Doble | 120 celdas |
Propiedades | convexo , isogonal , isotoxal , isoédrico |
Índice uniforme | 35 |
El límite de las 600 células está compuesto por 600 células tetraédricas , 20 de las cuales se encuentran en cada vértice. [a] Juntos forman 1200 caras triangulares, 720 aristas y 120 vértices. Es el análogo tetradimensional del icosaedro , ya que tiene cinco tetraedros que se encuentran en cada borde, al igual que el icosaedro tiene cinco triángulos que se encuentran en cada vértice. Su politopo dual es el de 120 celdas , con el que puede formar un compuesto .
Geometría
El de 600 celdas es el quinto en la secuencia de 6 politopos regulares convexos de 4 (en orden de tamaño y complejidad). [b] Se puede deconstruir en veinticinco instancias superpuestas de su predecesor inmediato las 24 celdas , [4] ya que las 24 celdas se pueden deconstruir en tres instancias superpuestas de su predecesor el tesseract (8 celdas) , y el 8 celdas se pueden deconstruir en dos instancias superpuestas de su predecesor, el de 16 celdas . [5]
El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor conserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de borde menor. [c] La longitud del borde de las 24 celdas es igual a su radio, pero la longitud del borde de las 600 celdas es ~ 0,618 veces su radio. El radio y la longitud del borde de las 600 celdas están en la proporción áurea .
Coordenadas
Unidad de radio Coordenadas cartesianas
Los vértices de una unidad de radio de 600 celdas centrada en el origen de 4 espacios, con aristas de longitud 1/φ ≈ 0.618 (donde φ = 1 + √ 5/2≈ 1.618 es la proporción áurea ), se puede dar [6] de la siguiente manera:
8 vértices obtenidos de
- (0, 0, 0, ± 1)
permutando coordenadas y 16 vértices de la forma:
- (± 1/2, ± 1/2, ± 1/2, ± 1/2)
Los 96 vértices restantes se obtienen tomando permutaciones pares de
- (± φ/2, ± 1/2, ± φ −1/2, 0)
Tenga en cuenta que los primeros 8 son los vértices de una celda de 16 , los segundos 16 son los vértices de un tesseract y esos 24 vértices juntos son los vértices de una celda de 24 . Los 96 vértices restantes son los vértices de un chasquido de 24 celdas , que se puede encontrar dividiendo cada uno de los 96 bordes de otra de 24 celdas (dual a la primera) en la proporción áurea de una manera consistente. [7]
Cuando se interpretan como cuaterniones , estos son los icosianos unitarios .
En la celda de 24, hay cuadrados , hexágonos y triángulos que se encuentran en grandes círculos (en planos centrales a través de cuatro o seis vértices). [d] En las 600 celdas hay veinticinco celdas inscritas superpuestas, con cada cuadrado único para una celda de 24 celdas, cada hexágono o triángulo compartido por dos celdas de 24 y cada vértice compartido entre cinco celdas de 24 celdas. [F]
Coordenadas esféricas de Hopf
En la celda de 600 también hay pentágonos y decagones de círculo máximo (en planos centrales a través de diez vértices). [gramo]
Solo los bordes del decágono son elementos visibles de las 600 celdas (porque son los bordes de las 600 celdas). Los bordes de los otros polígonos del gran círculo son cuerdas interiores de las 600 celdas, que no se muestran en ninguna de las representaciones de 600 celdas de este artículo.
Por simetría, un número igual de polígonos de cada tipo pasa por cada vértice; por lo que es posible contabilizar los 120 vértices como la intersección de un conjunto de polígonos centrales de un solo tipo: decágonos, hexágonos, pentágonos, cuadrados o triángulos. Por ejemplo, los 120 vértices pueden verse como los vértices de 15 pares de cuadrados completamente ortogonales que no comparten ningún vértice, o como 144 pentágonos no ortogonales, seis de los cuales se cruzan en cada vértice. Esta última simetría pentagonal de las 600 celdas es capturada por sus coordenadas de Hopf [j] (𝜉 i , 𝜂, 𝜉 j ) que se pueden dar como:
- ({<10} 𝜋/5, {≤5} 𝜋/10, {<10} 𝜋/5)
donde {<10} es la permutación de los diez dígitos (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) y {≤5} es la permutación de los seis dígitos (0 1 2 3 4 5). Las coordenadas 𝜉 i y 𝜉 j abarcan los 10 vértices de los decágonos del círculo máximo; los dígitos pares e impares etiquetan los vértices de los dos pentágonos del gran círculo inscritos en cada decágono. La coordenada 𝜂 se extiende sobre los 6 decagones del círculo máximo no ortogonales que se cruzan en cada vértice. [k]
Estructura
Secciones poliédricas
Las distancias mutuas de los vértices, medidas en grados de arco en la hiperesfera circunscrita , solo tienen los valores 36 ° = 𝜋/5, 60 ° = 𝜋/3, 72 ° = 2𝜋/5, 90 ° = 𝜋/2, 108 ° = 3𝜋/5, 120 ° = 2𝜋/3, 144 ° = 4𝜋/5y 180 ° = 𝜋. Partiendo de un vértice arbitrario V, uno tiene a 36 ° y 144 ° los 12 vértices de un icosaedro , [a] a 60 ° y 120 ° los 20 vértices de un dodecaedro , a 72 ° y 108 ° los 12 vértices de un icosaedro más grande , a 90 ° los 30 vértices de un icosidodecaedro , y finalmente a 180 ° el vértice antípoda de V. [10] Estos se pueden ver en las proyecciones del plano H3 Coxeter con vértices superpuestos coloreados. [11] [12]
Estas secciones poliédricas son sólidas en el sentido de que son tridimensionales, pero, por supuesto, todos sus vértices se encuentran en la superficie de las 600 celdas (son huecas, no sólidas). Cada poliedro se encuentra en el espacio euclidiano de 4 dimensiones como una sección transversal paralela a través de las 600 celdas (un hiperplano). En el espacio tridimensional curvo de la envolvente del límite de las 600 celdas, el poliedro rodea el vértice V de la misma manera que rodea su propio centro. Pero su propio centro está en el interior de las 600 celdas, no en su superficie. V no está realmente en el centro del poliedro, porque está desplazado hacia afuera desde ese hiperplano en la cuarta dimensión, hacia la superficie de las 600 celdas. Por tanto, V es el vértice de una pirámide 4 basada en el poliedro.
Acordes de vértice
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/6b/600-cell_vertex_geometry.png/400px-600-cell_vertex_geometry.png)
Los 120 vértices se distribuyen [13] en ocho longitudes de cuerda diferentes entre sí. Estos bordes y cuerdas de las 600 celdas son simplemente los bordes y cuerdas de sus cinco polígonos del gran círculo. [14] En orden ascendente de longitud, son √ 0.𝚫 , √ 1 , √ 1.𝚫 , √ 2 , √ 2.𝚽 , √ 3 , √ 3.𝚽 y √ 4 . [o]
Observe que los cuatro acordes hipercúbicos de las 24 celdas ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) se alternan con los cuatro nuevos acordes de los grandes círculos adicionales de las 600 celdas, los decagones y pentágonos. Las nuevas longitudes de cuerda son necesariamente raíces cuadradas de fracciones, pero fracciones muy especiales relacionadas con la proporción áurea [l], incluidas las dos secciones áureas de √ 5 , como se muestra en el diagrama. [metro]
Geodésicas
Las cuerdas de vértice de las 600 celdas están dispuestas en polígonos geodésicos de gran círculo de cinco tipos: decágonos, hexágonos, pentágonos, cuadrados y triángulos. [15]
Las √ 0.Δ bordes = varphi forman 72 planas regulares centrales decágonos (12 series de 6 planos ortogonales), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. [a] Así como el icosidodecaedro se puede dividir en 6 decagones centrales (60 bordes = 6 × 10), las 600 celdas se pueden dividir en 72 decagones (720 bordes = 72 × 10). Los 720 √ 0.𝚫 bordes dividen la superficie en 1200 caras triangulares y 600 celdas tetraédricas: una celda de 600. Los 720 aristas ocurren en 360 pares paralelos, √ 3.𝚽 aparte. Como en el decágono y el icosidodecaedro, los bordes aparecen en triángulos dorados [q] que se encuentran en el centro del politopo. [norte]
Las cuerdas √ 1 forman 200 hexágonos centrales (25 conjuntos de 16, con cada hexágono en dos conjuntos), [e] 10 de los cuales se cruzan en cada vértice [r] (4 de cada una de las cinco celdas de 24, con cada hexágono en dos de las 24 celdas). Cada conjunto de 16 hexágonos consta de 96 aristas y 24 vértices de una de las 25 celdas inscritas superpuestas. Los acordes √ 1 unen vértices que están separados por dos aristas √ 0.𝚫 . Cada cuerda √ 1 es el diámetro largo de un par de celdas tetraédricas unidas por caras (una bipirámide triangular ) y pasa por el centro de la cara compartida. Como hay 1200 caras, hay 1200 √ 1 acordes, en 600 pares paralelos, √ 3 separados.
Los √ 1.𝚫 acordes forman 144 pentágonos centrales, 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. [g] Las cuerdas √ 1.𝚫 corren de vértice a vértice cada segundo en los mismos planos que los 72 decagones: dos pentágonos están inscritos en cada decágono. Las cuerdas √ 1.𝚫 unen vértices que están separados por dos aristas √ 0.𝚫 en un gran círculo geodésico. Los 720 √ 1.𝚫 acordes ocurren en 360 pares paralelos, √ 2.𝚽 = φ aparte.
Los √ 2 acordes forman 450 cuadrados centrales (25 conjuntos separados de 18), 15 de los cuales se cruzan en cada vértice (3 de cada una de las cinco 24 celdas). Cada conjunto de 18 cuadrados consta de 72 √ 2 aristas y 24 vértices de una de las 25 celdas inscritas superpuestas. Los acordes √ 2 unen vértices que están separados por tres aristas √ 0. ((y dos acordes √ 1 separados). Cada √ 2 acorde es el diámetro largo de una celda octaédrica en una sola celda de 24 celdas. Hay 1800 √ 2 acordes, en 900 pares paralelos, √ 2 separados.
Las cuerdas √ 2.𝚽 = φ forman los catetos de 720 triángulos isósceles centrales (72 conjuntos de 10 inscritos en cada decágono), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. El tercer borde (base) de cada triángulo isósceles tiene una longitud de √ 3.𝚽 . Las cuerdas √ 2.𝚽 corren de vértice a cada tercer vértice en los mismos planos que los 72 decagones, uniendo vértices que están separados por tres aristas √ 0.𝚫 en un gran círculo geodésico. Hay 720 acordes √ 2.𝚽 distintos , en 360 pares paralelos, separados por √ 1.𝚫 .
Los √ 3 cuerdas forman 400 triángulos centrales equiláteros (25 conjuntos de 32, con cada triángulo en dos conjuntos), 10 de los cuales se cruzan en cada vértice (4 de cada una de las cinco 24 celdas , con cada triángulo en dos de las 24 celdas ). Cada conjunto de 32 triángulos consta de 96 √ 3 cuerdas y 24 vértices de una de las 25 celdas inscritas superpuestas. Las √ 3 cuerdas corren de vértice a vértice cada segundo en los mismos planos que los 200 hexágonos: dos triángulos están inscritos en cada hexágono. Las cuerdas √ 3 unen vértices que están separados por cuatro aristas √ 0.𝚫 (y dos cuerdas √ 1 en un gran círculo geodésico). Cada cuerda √ 3 es el diámetro largo de dos celdas cúbicas en la misma 24 celdas. [s] Hay 1200 √ 3 acordes, en 600 pares paralelos, √ 1 aparte.
Las cuerdas √ 3.𝚽 (las diagonales de los pentágonos) forman los catetos de 720 triángulos isósceles centrales (144 conjuntos de 5 inscritos en cada pentágono), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. El tercer borde (base) de cada triángulo isósceles es un borde del pentágono de longitud √ 1.𝚫 , por lo que estos son triángulos dorados. [q] Las cuerdas √ 3.𝚽 corren de vértice a cada cuarto vértice en los mismos planos que los 72 decagones, uniendo vértices que están separados por cuatro aristas √ 0.𝚫 en un gran círculo geodésico. Hay 720 acordes √ 3.𝚽 distintos , en 360 pares paralelos, separados por √ 0.𝚫 .
Los √ 4 acordes ocurren como 60 diámetros largos (75 conjuntos de 4 ejes ortogonales), los 120 radios largos de las 600 celdas. Las √ 4 cuerdas unen vértices opuestos que están separados por cinco √ 0.𝚫 aristas en un gran círculo geodésico. Hay 25 conjuntos distintos pero superpuestos de 12 diámetros, cada uno de los cuales comprende una de las 25 celdas inscritas. [t]
La suma de las longitudes al cuadrado [u] de todos estos acordes distintos de las 600 celdas es 14,400 = 120 2 . [v] Estas son todas las geodésicas a través de vértices, pero las 600 celdas tienen al menos otra geodésica que no pasa por ningún vértice. [w]
Envolventes de límites
Las 600 celdas completan las 24 celdas agregando 96 vértices más entre los 24 vértices existentes de las 24 celdas, agregando de hecho veinticuatro más 24 celdas superpuestas inscritas en las 600 celdas. [x] La nueva superficie así formada es un mosaico de celdas [y] y caras más pequeñas y numerosas : tetraedros de longitud de borde 1/φ≈ 0.618 en lugar de octaedros de longitud de borde 1. Encierra los bordes √ 1 de las 24 celdas, que se convierten en acordes interiores en las 600 celdas, como los acordes √ 2 y √ 3 .
Dado que los tetraedros están hechos de bordes triangulares más cortos que los octaedros (por un factor de 1/φ, la proporción áurea inversa), las 600 celdas no tienen una unidad de longitud de borde en un sistema de coordenadas de radio unitario como lo hacen las 24 celdas y el tesseract; a diferencia de esos dos, el de 600 celdas no es radialmente equilátero . Como ellos, es radialmente triangular de una manera especial, pero en la que los triángulos dorados en lugar de los triángulos equiláteros se encuentran en el centro. [norte]
La envoltura límite de 600 celdas tetraédricas pequeñas envuelve las veinticinco envolturas de 24 celdas octaédricas (agregando algo de espacio de 4 dimensiones en lugares entre estas envolturas de 3 dimensiones). La forma de esos intersticios debe ser una pirámide octaédrica de 4 de algún tipo, pero en las 600 celdas no es regular . [z]
Construcciones
El de 600 celdas incorpora las geometrías de cada politopo regular convexo en las primeras cuatro dimensiones, excepto el de 5 celdas, el de 120 celdas y los polígonos {7} y superiores. [18] En consecuencia, existen numerosas formas de construir o deconstruir las 600 celdas, pero ninguna de ellas es trivial. La construcción del 600 celdas de su predecesor regular, el 24 celdas, puede ser difícil de visualizar.
La construcción de Gosset
Thorold Gosset descubrió los 4 politopos semirregulares , incluido el chato de 24 celdas con 96 vértices, que se encuentra entre las 24 celdas y las 600 celdas en la secuencia de 4 politopos convexos de tamaño y complejidad crecientes en el mismo radio. La construcción de Gosset de las 600 celdas a partir de las 24 celdas se realiza en dos pasos, utilizando la chapa de 24 celdas como forma intermedia. En el primer paso, más complejo (que se describe en otra parte ), la chapa de 24 celdas se construye mediante un truncamiento especial de chapa de una de 24 celdas en las secciones doradas de sus bordes. [7] En el segundo paso, las 600 celdas se construyen de manera sencilla agregando 4 pirámides (vértices) a las facetas de las 24 celdas chatas. [19]
La celda chata de 24 es una celda disminuida de 600 de la cual se han truncado 24 vértices (y el grupo de 20 celdas tetraédricas alrededor de cada uno), dejando una celda icosaédrica "plana" en lugar de cada pirámide icosaédrica eliminada. [a] La chata de 24 celdas tiene así 24 celdas icosaédricas y las 120 celdas tetraédricas restantes. El segundo paso de la construcción de Gosset de las 600 celdas es simplemente el reverso de esta disminución: se coloca una pirámide icosaédrica de 20 celdas tetraédricas en cada celda icosaédrica.
Construir la unidad de radio de 600 celdas a partir de su precursor, la unidad de radio de 24 celdas mediante el método de Gosset, en realidad requiere tres pasos. El precursor de 24 celdas de la celda snub-24 no tiene el mismo radio: es más grande, ya que la celda snub-24 es su truncamiento. Comenzando con la unidad de radio de 24 celdas, el primer paso es recíprocamente alrededor de su esfera media para construir su dual canónico exterior : una celda de 24 celdas más grande, ya que la de 24 celdas es auto-dual. Luego, esas 24 celdas más grandes se pueden truncar en una unidad de radio de 24 celdas.
Clústeres de células
Dado que es tan indirecto, la construcción de Gosset puede no ayudarnos mucho a visualizar directamente cómo las 600 células tetraédricas encajan juntas en una envoltura de superficie tridimensional, [y] o cómo se encuentran en la envoltura de superficie subyacente del octaédrico de 24 celdas. células. Para eso, es útil construir las 600 células directamente a partir de grupos de células tetraédricas.
La mayoría de nosotros tenemos dificultades para visualizar las 600 celdas desde el exterior en 4 espacios, o reconocer una vista exterior de las 600 celdas debido a nuestra total falta de experiencia sensorial en espacios de 4 dimensiones, pero deberíamos poder visualizar la envolvente de superficie de 600 células desde el interior porque ese volumen es un espacio tridimensional en el que podríamos "caminar" y explorar. [20] En este ejercicio de construir las 600 celdas a partir de grupos de celdas, estamos completamente dentro de un espacio tridimensional, aunque curiosamente pequeño, cerrado, curvo, en el que podemos ir a solo diez longitudes de borde en una línea recta. línea en cualquier dirección y volver a nuestro punto de partida.
Icosaedra
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Uniform_polyhedron-43-h01.svg/200px-Uniform_polyhedron-43-h01.svg.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/c/cf/5-cell_net.png/200px-5-cell_net.png)
La figura del vértice de las 600 celdas es el icosaedro . [a] Veinte células tetraédricas se encuentran en cada vértice, formando una pirámide icosaédrica cuyo vértice es el vértice, rodeado por su icosaedro de base. La celda de 600 tiene un ángulo diedro de𝜋/3 + arcos (- 1/4) ≈ 164,4775 ° . [22]
Se pueden ensamblar 600 celdas completas a partir de 24 pirámides icosaédricas de este tipo (unidas cara a cara en 8 de las 20 caras del icosaedro, de color amarillo en la ilustración), más 24 grupos de 5 celdas tetraédricas (cuatro celdas unidas por caras alrededor de uno) que llenan los vacíos que quedan entre los icosaedros. Seis grupos de 5 células rodean cada icosaedro y seis icosaedros rodean cada grupo de 5 células. Cinco células tetraédricas rodean cada borde del icosaedro: dos de la pirámide icosaédrica y tres de un grupo de 5 células (una de las cuales es el tetraedro central de las cinco). Cada icosaedro está unido por caras a cada grupo adyacente de 5 células por dos caras azules que comparten un borde (que también es uno de los seis bordes del tetraedro central de los cinco).
Los vértices de las 24 pirámides icosaédricas son los vértices de una celda de 24 inscrita en la celda de 600. Los otros 96 vértices (los vértices del icosaedro) son los vértices de un chato inscrito de 24 celdas , que tiene exactamente la misma estructura de icosaedros y tetraedros descritos aquí, excepto que los icosaedros no son 4 pirámides llenas de celdas tetraédricas; son sólo células icosaédricas tridimensionales "planas".
La partición de las 600 células en grupos de 20 células y grupos de 5 células es artificial, ya que todas las células son iguales. Se puede comenzar seleccionando un grupo piramidal icosaédrico centrado en cualquier vértice elegido arbitrariamente. Por lo tanto, hay 120 icosaedros superpuestos en las 600 células.
Colorear el icosaedro con 8 caras amarillas y 12 azules se puede hacer de 5 formas distintas. [ab] Por lo tanto, el vértice del ápice de cada pirámide icosaédrica es un vértice de 5 24 celdas distintas, y los 120 vértices comprenden 25 (no 5) 24 celdas. [X]
Los icosaedros están unidos por caras en "líneas rectas" geodésicas por sus caras opuestas, dobladas en la cuarta dimensión en un anillo de 6 pirámides icosaédricas. Sus vértices son los vértices de un gran círculo hexagonal . Esta geodésica hexagonal atraviesa un anillo de 12 celdas tetraédricas, unidas alternativamente cara a cara y vértice a vértice. El diámetro largo de cada par de tetraedros unidos por la cara (cada bipirámide triangular ) es un borde hexagonal (un borde de 24 celdas).
Las células tetraédricas están unidas por caras en hélices , dobladas en la cuarta dimensión en anillos de 30 células tetraédricas. [ac] Sus bordes forman "líneas rectas" geodésicas de 10 bordes: decagones de gran círculo . Cada tetraedro, que tiene seis aristas, participa en seis decagones diferentes.
Octaedros
Hay otra forma útil de dividir la superficie de 600 células, en 24 grupos de 25 células tetraédricas, lo que revela más estructura [23] y una construcción directa de 600 células de su predecesor de 24 células.
Comience con cualquiera de los grupos de 5 celdas (arriba) y considere que su celda central es el objeto central de un nuevo grupo más grande de células tetraédricas. La celda central es la primera sección de las 600 celdas que comienza con una celda. Al rodearlo con más células tetraédricas, podemos llegar a las secciones más profundas comenzando con una célula.
Primero, tenga en cuenta que un grupo de 5 celdas consta de 4 pares superpuestos de tetraedros unidos por caras ( bipirámides triangulares ) cuyo diámetro largo es un borde de 24 celdas (un borde hexagonal) de longitud √ 1 . Seis bipirámides triangulares más encajan en las concavidades de la superficie del grupo de 5, [ad] por lo que las cuerdas exteriores que conectan sus 4 vértices apicales también son bordes de 24 celdas de longitud √ 1 . Forman un tetraedro de longitud de borde √ 1 , que es la segunda sección de las 600 celdas que comienzan con una celda. [ae] Hay 600 de estas √ 1 secciones tetraédricas en las 600 celdas. [af]
Con las seis dipiamidas triangulares encajadas en las concavidades, hay 12 nuevas celdas y 6 nuevos vértices además de las 5 celdas y 8 vértices del cúmulo original. Los 6 nuevos vértices forman la tercera sección de las 600 celdas comenzando con una celda, un octaedro de longitud de borde √ 1 , obviamente la celda de una celda de 24 celdas. Como está parcialmente lleno hasta ahora (por 17 celdas tetraédricas), este octaedro √ 1 tiene caras cóncavas en las que encaja una pirámide triangular corta; tiene el mismo volumen que una celda tetraédrica regular pero una forma tetraédrica irregular. [ag] Cada celda octaédrica consta de 1 + 4 + 12 + 8 = 25 celdas tetraédricas: 17 celdas tetraédricas regulares más 8 celdas tetraédricas volumétricamente equivalentes, cada una de las cuales consta de 6 fragmentos de un sexto de 6 celdas tetraédricas regulares diferentes que abarcan tres octaédricos adyacentes células.
Así, la unidad de radio de 600 celdas se construye directamente a partir de su predecesora, [z] la unidad de radio de 24 celdas, colocando en cada una de sus facetas octaédricas una pirámide octaédrica irregular truncada [ah] de 14 vértices [ai] construida ( de la manera anterior) a partir de 25 celdas tetraédricas regulares de longitud de borde 1/φ ≈ 0,618.
Rotaciones
Las 600 celdas se generan mediante rotaciones de las 24 celdas en incrementos de 36 ° = 𝜋/5 (el arco de una longitud de borde de 600 celdas).
Hay 25 24 celdas inscritas en las 600 celdas. Por lo tanto, también hay 25 celdas 24 chatas inscritas, 75 teseractos inscritos y 75 16 celdas inscritas. [X]
La celda de 8 vértices y 16 celdas tiene 4 diámetros largos inclinados a 90 ° = 𝜋/2 entre sí, a menudo tomados como los 4 ejes ortogonales del sistema de coordenadas.
La celda de 24 vértices y 24 celdas tiene 12 diámetros largos inclinados a 60 ° = 𝜋/3entre sí: 3 conjuntos disjuntos de 4 ejes ortogonales, cada conjunto comprendiendo los diámetros de una de las 3 celdas inscritas de 16, rotado isoclínicamente por 𝜋/3 el uno con respecto al otro.
La celda de 600 vértices y 120 tiene 60 diámetros largos: no solo 5 conjuntos disjuntos de 12 diámetros, cada uno de los cuales comprende una de las 24 celdas inscritas (como podríamos sospechar por analogía), sino 25 conjuntos distintos pero superpuestos de 12 diámetros, cada uno que comprende una de las 25 celdas inscritas. No son 5 disjuntos 24 células en la célula 600, pero no tan sólo 5: hay 10 maneras diferentes para dividir la célula 600 en 5 disjuntos 24 células. [t]
Las 24 celdas se rotan entre sí en incrementos de 𝜋/5. La distancia de rotación entre 24 celdas inscritas es siempre una rotación doble de 0 a 4 incrementos de 𝜋/5 en un plano invariante, combinado con incrementos de 0 a 4 de 𝜋/5en el plano invariante completamente ortogonal. El producto de estas dos rotaciones simples de 5 clics produce 25 formas distintas en las que podemos elegir los 24 vértices de una celda de 24 de los 120 vértices de una celda de 600.
Triángulos dorados radiales
Las 600 celdas se pueden construir radialmente a partir de 720 triángulos dorados de longitudes de borde √ 0.𝚫 √ 1 √ 1 que se encuentran en el centro del 4-politopo, cada uno contribuyendo con dos radios √ 1 y un borde √ 0.𝚫 . [n] Forman 1200 pirámides triangulares con sus vértices en el centro: tetraedros irregulares con bases equiláteras √ 0.𝚫 (las caras de las 600 celdas). Éstos forman 600 pirámides tetraédricas con sus vértices en el centro: 5 células irregulares con bases tetraédricas regulares √ 0 , (las células de las 600 células).
Como configuración
Esta matriz de configuración [24] representa las 600 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en el total de 600 celdas. Los números no diagonales dicen cuántos de los elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila.
Aquí está la configuración expandida con k elementos -face y k -Figuras. Los recuentos de elementos diagonales son la proporción del orden total del grupo Coxeter , 14400, dividido por el orden del subgrupo con eliminación de espejos.
H 4 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | cara k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | k -fig | Notas |
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H 3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | () | f 0 | 120 | 12 | 30 | 20 | {3,5} | H 4 / H 3 = 14400/120 = 120 |
A 1 H 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {} | f 1 | 2 | 720 | 5 | 5 | {5} | H 4 / H 2 A 1 = 14400/10/2 = 720 |
A 2 A 1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3} | f 2 | 3 | 3 | 1200 | 2 | {} | H 4 / A 2 A 1 = 14400/6/2 = 1200 |
A 3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 600 | () | H 4 / A 3 = 14400/24 = 600 |
Simetrías
Los icosianos son un conjunto específico de cuaterniones hamiltonianos con la misma simetría que el de 600 células. [25] Los icosianos se encuentran en el campo dorado , ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , donde las ocho variables son números racionales . [26] Las sumas finitas de las 120 unidades de icosianos se denominan anillo icosiano .
Cuando se interpretan como cuaterniones , los 120 vértices de las 600 celdas forman un grupo bajo la multiplicación cuaterniónica. Este grupo es a menudo llamado el grupo icosaédrica binaria y denotado por 2I ya que es el doble de la cubierta de la ordinaria grupo icosaédrica I . Ocurre dos veces en el grupo de simetría rotacional RSG de las 600 celdas como un subgrupo invariante , es decir, como el subgrupo 2I L de multiplicaciones de cuaterniones a la izquierda y como el subgrupo 2I R de multiplicaciones de cuaterniones a la derecha. Cada simetría rotacional de las 600 celdas es generada por elementos específicos de 2I L y 2I R ; el par de elementos opuestos genera el mismo elemento de RSG . El centro de RSG consta del Id de no rotación y la inversión central −Id . Tenemos el isomorfismo RSG ≅ (2I L × 2I R ) / {Id, -Id} . El orden de RSG es igual 120 × 120/2 = 7200.
El grupo icosaédrico binario es isomorfo a SL (2,5) .
El grupo de simetría completo de las 600 celdas es el grupo Weyl de H 4 . [27] Este es un grupo de orden 14400. Consta de 7200 rotaciones y 7200 rotaciones-reflexiones. Las rotaciones forman un subgrupo invariante del grupo de simetría completo. El grupo de simetría rotacional fue descrito por SL van Oss. [28]
Visualización
Las simetrías de la superficie 3-D de las 600 celdas son algo difíciles de visualizar debido tanto al gran número de celdas tetraédricas, [y] como al hecho de que el tetraedro no tiene caras o vértices opuestos. Uno puede comenzar por darse cuenta de que la celda de 600 es el doble de la celda de 120. También se puede notar que la celda de 600 también contiene los vértices de un dodecaedro, [18] que con algo de esfuerzo se puede ver en la mayoría de las proyecciones en perspectiva a continuación.
Unión de dos toros
Las 120 celdas se pueden descomponer en dos toros separados . Dado que es el dual de las 600 celdas, esta misma estructura dual tori existe en las 600 celdas, aunque es algo más compleja. El camino geodésico de 10 celdas en el de 120 celdas corresponde a un camino de decágono de 10 vértices en el de 600 celdas. Comience reuniendo cinco tetraedros alrededor de un borde común. Esta estructura se parece un poco a un "platillo volante" angular. Apila diez de estos, vértice a vértice, estilo "panqueque". Rellene el anillo anular entre cada "platillo" con 10 tetraedros formando un icosaedro. Puede ver esto como cinco pirámides icosaédricas apiladas en vértices , con los cinco huecos anulares adicionales también rellenados. La superficie es la misma que la de diez antiprismas pentagonales apilados . Ahora tiene un toro que consta de 150 celdas, diez aristas de largo, con 100 caras triangulares expuestas, 150 aristas expuestas y 50 vértices expuestos. Apile otro tetraedro en cada cara expuesta. Esto le dará un toro algo irregular de 250 celdas con 50 vértices elevados, 50 vértices de valle y 100 bordes de valle. Los valles son caminos cerrados de 10 bordes de largo y corresponden a otras instancias del camino del decágono de 10 vértices mencionado anteriormente. Estos caminos giran en espiral alrededor del camino del núcleo central, pero matemáticamente todos son equivalentes. Construya un segundo toroide idéntico de 250 células que se interconecte con el primero. Esto representa 500 celdas. Estos dos tori se aparean junto con los vértices del valle tocando los vértices elevados, dejando 100 huecos tetraédricos que se llenan con los 100 tetraedros restantes que se acoplan en los bordes del valle. Este último conjunto de 100 tetraedros se encuentra en el límite exacto del duocilindro y forma un toro de Clifford . Se pueden "desenrollar" en una matriz cuadrada de 10x10. Por cierto, esta estructura forma una capa tetraédrica en el panal tetraédrico-octaédrico .
![]() Una única hélice de Boerdijk-Coxeter de anillo de 30 tetraedros dentro de la proyección estereográfica de 600 células | ![]() Se puede ver un anillo de 30 tetraedros a lo largo del perímetro de esta proyección ortogonal de 30 gonales. |
Hay exactamente 50 huecos y picos de "caja de huevos" en ambos lados que se acoplan con los toros de 250 celdas. En este caso, en cada hueco, en lugar de un octaedro como en el panal, encaja una bipirámide triangular compuesta por dos tetraedros.
Las 600 celdas se pueden dividir aún más en 20 anillos entrelazados separados de 30 celdas y diez bordes de largo cada uno, formando una fibración de Hopf discreta . [29] Estas cadenas de 30 tetraedros forman cada una una hélice de Boerdijk-Coxeter . Cinco de estas hélices anidan y giran en espiral alrededor de cada una de las trayectorias del decágono de 10 vértices, formando el toro inicial de 150 células mencionado anteriormente. El eje central de cada hélice es una geodésica de 30 gon que no cruza ningún vértice. [w]
Esta descomposición de las 600 celdas tiene simetría [[10,2 + , 10]], orden 400, la misma simetría que el gran antiprisma . El gran antiprisma es solo el de 600 celdas con los dos toros de 150 celdas anteriores eliminados, dejando solo la capa media única de tetraedros, similar al cinturón de un icosaedro con los 5 triángulos superiores y 5 inferiores eliminados (antiprisma pentagonal).
Proyecciones 2D
La proyección decagonal H3 muestra el plano del polígono de van Oss .
H 4 | - | F 4 |
---|---|---|
![]() [30] | ![]() [20] | ![]() [12] |
H 3 | A 2 / B 3 / D 4 | A 3 / B 2 |
![]() [10] | ![]() [6] | ![]() [4] |
Proyecciones 3D
Un modelo tridimensional de las 600 celdas, en la colección del Institut Henri Poincaré , fue fotografiado en 1934-1935 por Man Ray , y formó parte de dos de sus pinturas posteriores "Ecuación de Shakespere". [30]
Proyección de vértice primero | |
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![]() | Esta imagen muestra una proyección en perspectiva de primer vértice de las 600 celdas en 3D. La celda de 600 se escala a un radio de centro de vértice de 1, y el punto de vista 4D se coloca a 5 unidades de distancia. Luego se aplican las siguientes mejoras:
|
Proyección de celda primero. | |
![]() | Esta imagen muestra la proyección de 600 celdas en perspectiva de celda primero en 3D. Nuevamente, la celda de 600 a un radio del centro del vértice de 1 y el punto de vista 4D se colocan a 5 unidades de distancia. A continuación, se aplican las siguientes mejoras:
Este punto de vista en particular muestra un bonito contorno de 5 tetraedros que comparten un borde, hacia el frente de la imagen 3D. |
Rotación simple | |
![]() | Proyección 3D de una celda de 600 que realiza una rotación simple . |
Cascos concéntricos | |
![]() | La celda de 600 se proyecta en 3D utilizando una base ortonormal. Los vértices se ordenan y cuentan según su norma 3D. La generación del casco cada vez más transparente de cada conjunto de normas contadas muestra pares de: 1) apunta al origen |
Comparación animada sincronizada de fotogramas de la celda 600 utilizando proyecciones ortogonales isométricas (izquierda) y en perspectiva (derecha).
Proyección estereográfica (en 3 esferas ) | |
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![]() | Centrado en la celda. Los 720 bordes de las 600 celdas se pueden ver aquí como 72 círculos, cada uno dividido en 10 aristas en las intersecciones. Cada vértice tiene 6 círculos que se cruzan. |
600 celdas disminuidas
La celda chata de 24 celdas se puede obtener de la celda 600 quitando los vértices de una celda de 24 celdas inscrita y tomando el casco convexo de los vértices restantes. Este proceso es una disminución de las 600 celdas.
El gran antiprisma puede obtenerse mediante otra disminución de las 600 celdas: eliminando 20 vértices que se encuentran en dos anillos mutuamente ortogonales y tomando el casco convexo de los vértices restantes.
Un bi-24-disminuido de 600 celdas, con todas las celdas de icosaedro tridiminado tiene 48 vértices removidos, dejando 72 de 120 vértices de las 600 celdas. El dual de un bi-24-disminuido de 600 celdas, es un tri-24-disminuido de 600 celdas, con 48 vértices y 72 celdas de hexaedro.
Hay un total de 314,248,344 disminuciones de las 600 celdas por vértices no adyacentes. Todos estos consisten en células tetraédricas e icosaédricas regulares. [31]
600 celdas disminuidas | |||||||||||
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Nombre | Tri-24-disminuido de 600 celdas | Bi-24-disminuido de 600 celdas | Snub 24 celdas (24 celdas disminuidas de 600 celdas) | Gran antiprisma (20 células 600 disminuidas) | 600 celdas | ||||||
Vértices | 48 | 72 | 96 | 100 | 120 | ||||||
Figura de vértice (simetría) | ![]() dual de icosaedro tridiminado ([3], orden 6) | ![]() anticuña tetragonal ([2] + , orden 2) | ![]() icosaedro tridiminado ([3], orden 6) | ![]() icosaedro bidisminuido ([2], orden 4) | ![]() Icosaedro ([5,3], orden 120) | ||||||
Simetría | Pedido 144 (48 × 3 o 72 × 2) | [3 + , 4,3] Pedido 576 (96 × 6) | [[10,2 + , 10]] Pedido 400 (100 × 4) | [5,3,3] Pedido 14400 (120 × 120) | |||||||
Neto | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||
Ortho H 4 avión | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
Ortho F 4 avión | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Polígonos complejos relacionados
Los politopos complejos regulares 3 {5} 3 ,y 5 {3} 5 ,
, en tienen una representación real como 600 celdas en un espacio de 4 dimensiones. Ambos tienen 120 vértices y 120 aristas. El primero tiene un grupo de reflexión complejo 3 [5] 3 , orden 360, y el segundo tiene simetría 5 [3] 5 , orden 600. [32]
Politopo complejo regular en proyección ortogonal del plano de Coxeter H 4 | ||
---|---|---|
![]() {3,3,5} Pedido 14400 | ![]() 3 {5} 3 Pedido 360 | ![]() 5 {3} 5 Pedido 600 |
Politopos y panales relacionados
El de 600 celdas es uno de los 15 politopos regulares y uniformes con la misma simetría [3,3,5]:
Politopos de la familia H 4 | |||||||||||
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120 celdas | 120 celdas rectificadas | 120 celdas truncadas | 120 celdas canteladas | runcinated 120 celdas | 120 celdas cantitruncadas | runcitruncated 120 celdas | omnitruncado 120 celdas | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
{5,3,3} | r {5,3,3} | t {5,3,3} | rr {5,3,3} | t 0,3 {5,3,3} | tr {5,3,3} | t 0,1,3 {5,3,3} | t 0,1,2,3 {5,3,3} | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
600 celdas | 600 celdas rectificadas | 600 celdas truncadas | 600 celdas canteladas | bitruncado de 600 celdas | 600 celdas cantitruncadas | runcitruncated 600 celdas | omnitruncado de 600 celdas | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
{3,3,5} | r {3,3,5} | t {3,3,5} | rr {3,3,5} | 2t {3,3,5} | tr {3,3,5} | t 0,1,3 {3,3,5} | t 0,1,2,3 {3,3,5} |
Es similar a tres politopos regulares de 4 : el {3,3,3} de 5 celdas , el {3,3,4} de 16 celdas del 4-espacio euclidiano y el panal tetraédrico de orden 6 {3,3, 6} del espacio hiperbólico. Todos estos tienen células tetraédricas .
{3,3, p} politopos | |||||||||||
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Espacio | S 3 | H 3 | |||||||||
Formulario | Finito | Paracompacto | No compacto | ||||||||
Nombre | {3,3,3}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,5}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,7}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,8}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ... {3,3, ∞}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
Imagen | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
Figura de vértice | ![]() {3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Este 4-politopo es parte de una secuencia de 4-politopo y panales con figuras de vértice de icosaedro :
{p, 3,5} politopos | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | S 3 | H 3 | |||||
Formulario | Finito | Compacto | Paracompacto | No compacto | |||
Nombre | {3,3,5}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,5}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {5,3,5}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {6,3,5}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {7,3,5}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {8,3,5}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ... {∞, 3,5}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Imagen | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Células | ![]() {3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {5,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {7,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {8,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, 3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Ver también
- 24 celdas , el predecesor de 4 politopos en el que se basa el 600 celdas
- 120 celdas , el 4 politopo dual al 600 celdas, y su sucesor
- Familia de 4 politopos uniformes con simetría [5,3,3]
- 4 politopos regulares
- Politopo
Notas
- ^ a b c d e f En el espacio tridimensional de la superficie límite de las 600 celdas, en cada vértice se encuentran los otros doce vértices más cercanos que rodean el vértice de la misma manera que los vértices de un icosaedro rodean su centro. Doce bordes de 600 celdas convergen en el centro del icosaedro, donde parecen formar seis líneas rectas que se cruzan allí. Sin embargo, el centro está realmente desplazado en la 4ª dimensión (radialmente hacia afuera desde el centro de las 600 celdas), fuera del hiperplano definido por los vértices del icosaedro. Por lo tanto, el icosaedro del vértice es en realidad una pirámide icosaédrica canónica , compuesta por 20 tetraedros regulares sobre una base de icosaedro regular.
- ^ Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida del contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor de la secuencia es más redondo que su predecesor, y encierra más contenido [3] dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida mediante la comparación de matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de nomenclatura numérica alternativo para politopos regulares en el que 600 celdas es el 4-politopo de 120 puntos: quinto en la secuencia ascendente que va desde el 4-politopo de 5 puntos al 4-politopo de 600 puntos.
- ^ La longitud de la arista siempre será diferente a menos que el predecesor y el sucesor sean ambos radialmente equiláteros, es decir, la longitud de la arista sea la misma que su radio (por lo que ambos se conservan). Dado que los politopos radialmente equiláteros son raros, la única construcción de este tipo (en cualquier dimensión) es de 8 celdas a 24 celdas.
- ^ a b La geometría de 600 celdas se basa en la de 24 celdas . Las 600 celdas completan las 24 celdas con 2 polígonos de círculo máximo más (decágono exterior y pentágono interior), agregando 4 longitudes de cuerda más que se alternan con las 4 longitudes de cuerda de las 24 celdas.Geometría de vértice de las 24 celdas radialmente equilátero, que muestra los 3 polígonos del gran círculo y las 4 longitudes de cuerda de vértice a vértice.
- ^ a b Una celda de 24 contiene 16 hexágonos. En las 600 celdas, con 25 24 celdas, cada 24 celdas está disjunta de 8 24 celdas y se cruza con cada una de las otras 16 24 celdas en seis vértices que forman un hexágono. [8] Una celda de 600 contiene 25 ・ 16/2 = 200 de tales hexágonos.
- ^ En los casos en que los 4 politopos inscritos del mismo tipo ocupan conjuntos de vértices disjuntos (como las dos celdas de 16 inscritas en el tesseract, o las tres celdas de 16 inscritas en el de 24 celdas), sus conjuntos de cuerdas de vértice y los polígonos centrales también deben estar separados. En los casos en los que comparten vértices (como los tres teseractos inscritos en las 24 celdas, o las 25 24 celdas inscritas en las 600 celdas), también pueden compartir algunas cuerdas de vértice y polígonos centrales. [mi]
- ^ a b Cada una de las 25 24 celdas de las 600 celdas contiene exactamente un vértice (o ningún vértice) de cada pentágono regular. [8]
- ^ Los ángulos 𝜉 i y 𝜉 j son ángulos de rotación en los dos planos invariantes ortogonales que caracterizan las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones . El ángulo 𝜂 es la inclinación de ambos planos desde el eje del polo norte-sur, donde 𝜂 varía de 0 a 𝜋/2. Las coordenadas (𝜉 i , 0, 𝜉 j ) describen los círculos máximos que se cruzan en el polo norte y sur ("líneas de longitud"). El (𝜉 yo , 𝜋/2, 𝜉 j ) las coordenadas describen los círculos máximos ortogonales a la longitud ("ecuadores"); hay más de un gran círculo "ecuador" en un politopo 4, ya que el ecuador de una esfera 3 es una esfera completa de 2 círculos grandes. Las otras coordenadas de Hopf (𝜉 i , 0 <𝜂 < 𝜋/2, 𝜉 j ) describen los círculos máximos ( no "líneas de latitud") que cruzan un ecuador pero no pasan por el polo norte o sur.
- ^ a b La conversión de coordenadas de Hopf (𝜉 i , 𝜂, 𝜉 j ) a coordenadas cartesianas de radio unitario (w, x, y, z) es:
- w = cos 𝜉 yo pecado 𝜂
- x = cos 𝜉 j cos 𝜂
- y = sin 𝜉 j cos 𝜂
- z = pecado 𝜉 yo pecado 𝜂
El "polo norte cartesiano" (1, 0, 0, 0) es Hopf (0, 𝜋/2, 0). - ^ Las coordenadas de Hopf [9] son triples de tres ángulos:
- (𝜉 yo , 𝜂, 𝜉 j )
- ^ A diferencia de las coordenadas cartesianas, [i] las coordenadas de Hopf no son necesariamente únicas para cada punto. Hay 600 permutaciones de estas coordenadas, pero solo 120 vértices en las 600 celdas.
- ^ a b c Los acordes áureos de raíz fraccionaria ejemplifican que la proporción áurea ϕ es una proporción circular relacionada con 𝜋 :
- 𝜋/5 = arccos ( ϕ/2)
- ϕ = 1-2 cos ( 3𝜋/5)
- ^ a b Los bordes de 600 celdas son bordes de decágono de longitud √ 0.𝚫 , que es 𝚽, la sección áurea más pequeña de √ 5 ; los bordes están en la proporción áurea inversa1/φa los √ 1 acordes hexagonales (los bordes de 24 celdas). Los otros acordes de raíz fraccionaria también exhiben relaciones áureas. La cuerda de longitud √ 1.𝚫 es una arista de pentágono. El siguiente acorde de raíz fraccionaria es una diagonal de decágono de longitud √ 2.𝚽 que es φ , la sección áurea más grande de √ 5 ; está en la proporción áurea [l] al acorde √ 1 (y el radio). [p] El último acorde de raíz fraccionaria es la diagonal del pentágono de longitud √ 3.𝚽 . La diagonal de un pentágono regular siempre está en la proporción áurea a su borde, y de hecho φ √ 1.𝚫 es √ 3.𝚽 .
- ^ a b c d El radio largo (centro a vértice) de las 600 celdas está en la proporción áurea a la longitud de su borde; por lo tanto, su radio es ϕ si su longitud de borde es 1, y su longitud de borde es 1/ϕsi su radio es 1. Sólo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluido el icosidodecaedro tridimensional de 600 celdas y el decágono bidimensional . (El icosidodecaedro es la sección transversal ecuatorial de las 600 celdas, y el decágono es la sección transversal ecuatorial del icosidodecaedro.) Los politopos radiales dorados son aquellos que pueden construirse, con sus radios, a partir de triángulos dorados [q] que se encuentran en el centro, cada uno contribuyendo con dos radios y un borde.
- ^ Las raíces cuadradas fraccionarias se dan como fracciones decimales donde 𝚽 ≈ 0.618 es la proporción áurea inversa1/φy 𝚫 ≈ 0.382 = 1 - 𝚽 = 𝚽 2 . Por ejemplo:
√ 0.Δ = √ 0,382 = 0,618 = Φ - ^ Observe en el diagrama cómo lacuerda φ (lasección dorada más grande ) se suma con el borde 𝚽 adyacente (lasección dorada más pequeña ) a √ 5 , como si juntos fueran unacuerda √ 5 doblada para encajar dentro deldiámetro √ 4 .
- ^ a b c Un triángulo áureo es un triángulo isósceles en el que el lado duplicado a está en la proporción áurea con el lado distinto b :
- a/B = ϕ = 1 + √ 5/2 ≈ 1.618
El ángulo del vértice es:- 𝛉 = arcos ( ϕ/2) = 𝜋/5 = 36 °
- ^ Los 10 hexágonos que se cruzan en cada vértice se encuentran a lo largo de los 20 radios cortos de la figura del vértice icosaédrico. [a]
- ^ Las 25 24 celdas inscritas tienen cada una 3 teseractos inscritos, cada uno de los cuales tiene 8 √ 1 celdas cúbicas. Los 1200 √ 3 acordes son los 4 diámetros largos de estos 600 cubos; los 3 teseractos se superponen y cada acorde es el diámetro largo de un cubo en dos teseractos diferentes.
- ^ a b Schoute fue el primero en afirmar (hace un siglo) que hay exactamente diez formas de dividir los 120 vértices de las 600 celdas en cinco 24 celdas separadas. Las 25 24 celdas se pueden colocar en una matriz de 5 x 5 de modo que cada fila y cada columna de la matriz divida los 120 vértices de las 600 celdas en cinco 24 celdas disjuntas. Las filas y columnas de la matriz son las únicas diez particiones de este tipo de las 600 celdas. [17]
- ^ La suma de 0.𝚫 ・ 720 + 1 ・ 1200 + 1.𝚫 ・ 720 + 2 ・ 1800 + 2.𝚽 ・ 720 + 3 ・ 1200 + 3.𝚽 ・ 720 + 4 ・ 60 es 14,400.
- ^ La suma de las longitudes al cuadrado de todos los acordes distintos de cualquier n-politopo convexo regular de radio unitario es el cuadrado del número de vértices. [dieciséis]
- ^ a b Las 600 células están dispuestas en 20 anillos retorcidos separados de 30 tetraedros cada uno. El eje central de cada hélice de Boerdijk-Coxeter de 30 tetraedros forma una hélice de 30 gon, y cada segmento pasa a través de un tetraedro de manera similar. Esta geodésica reside completamente en la superficie tridimensional; los segmentos no son acordes interiores. No toca ningún borde ni vértice, pero sí golpea caras.
- ^ a b c Las 600 celdas contienen exactamente 25 24 celdas, 75 16 celdas y 75 8 celdas, con cada 16 celdas y cada 8 celdas ubicadas en una sola 24 celdas. [17]
- ^ a b c Cada celda tetraédrica toca, de alguna manera, otras 56 celdas. Una celda contacta con cada una de las cuatro caras; dos celdas contactan cada uno de los seis bordes, pero no una cara; y diez celdas contactan con cada uno de los cuatro vértices, pero no con una cara o borde.
- ^ a b Comenzando con el de 16 celdas, cada politopo 4 convexo regular en la secuencia de radio unitario está inscrito en su sucesor. [5] Por lo tanto, el sucesor puede construirse colocando 4 pirámides de algún tipo en las celdas de su predecesor. Entre las 16 celdas y el tesseract, tenemos 16 pirámides tetraédricas derechas , con sus vértices llenando las esquinas del tesseract. Entre el tesseract y el de 24 celdas, tenemos 8 pirámides cúbicas canónicas . Pero si colocamos 24 pirámides octaédricas canónicas en las 24 celdas, solo obtenemos otro tesseract (del doble del radio y la longitud del borde), no el sucesor de 600 celdas. Entre las 24 celdas y las 600 celdas debe haber 24 4 pirámides irregulares más pequeñas sobre una base octaédrica regular.
- ↑ Debido a que el octaedro puede truncarse dando lugar a un icosaedro, [21] otro nombre para el icosaedro es octaedro chato . Este término se refiere específicamente a unadisposición de simetría más baja de las caras del icosaedro (con 8 caras de un color y 12 de otro).
- ↑ Las pirámides pentagonales alrededor de cada vértice delicosaedro " octaedro chato " se ven todas iguales, con dos caras amarillas y tres azules. Cada pentágono tiene cinco orientaciones de rotación distintas. Al rotar cualquier pirámide pentagonal, se rotan todas, por lo que las cinco posiciones de rotación son las únicas cinco formas diferentes de organizar los colores.
- ^ Dado que los tetraedros no tienen caras opuestas, la única forma en que se pueden apilar cara a cara en línea recta es en forma de una cadena retorcida llamada hélice de Boerdijk-Coxeter .
- ^ Estas 12 celdas están unidas por los bordes a la celda central, unidas por las caras exteriores del grupo de 5 y por parejas entre sí. Son células de cara azul en las 6 pirámides icosaédricas diferentes que rodean el grupo de 5.
- ^ El √ 1 tetraedro tiene un volumen de 9 √ 0.𝚫 células tetraédricas. En el volumen tridimensional de las 600 celdas, encierra el grupo de 5 celdas, que no lo llenan por completo. Las 6 bipirámides (12 celdas) que encajan en las concavidades del grupo de 5 celdas lo sobrellenan: solo un tercio de cada bipirámide se encuentra dentro del √ 1 tetraedro. Las bipirámides aportan un tercio de cada una de las 12 células, un volumen equivalente a 4 células.
- ^ También encontramos √ 1 tetraedros como las celdas de 5 celdas de radio unitario, y radialmente alrededor del centro de las 24 celdas (una detrás de cada una de las 96 caras). Esostetraedrosradiales √ 1 también ocurren en las 600 celdas (en las 25 24 celdas inscritas), pero tenga en cuenta que no son los mismos tetraedros que lassecciones tetraédricas de600 √ 1 .
- ^ Cada √ 1 borde de la celda octaédrica es el diámetro largo de otra bipirámide tetraédrica (dos celdas tetraédricas más unidas por caras). En las 24 celdas, tres celdas octaédricas rodean cada borde, por lo que un tercio de la bipirámide se encuentra dentro de cada octaedro, dividido entre dos caras cóncavas adyacentes. Cada cara cóncava está llena de un sexto de cada una de las tres bipirámides que rodean sus tres bordes, por lo que tiene el mismo volumen que una celda tetraédrica.
- ^ El vértice de una pirámide octaédrica √ 1 canónicase ha truncado en una celda tetraédrica regular conbordes √ 0.𝚫 más cortos , reemplazando el vértice con cuatro vértices. El truncamiento también ha creado otros cuatro vértices (dispuestos como untetraedro √ 1 en un hiperplano entre la base octaédrica y la celda tetraédrica del ápice), y unió estos ocho nuevos vértices conaristas √ 0.𝚫 . Por tanto, la pirámide truncada tiene ocho vértices 'ápices' sobre el hiperplano de su base octaédrica, en lugar de solo uno. La pirámide original tenía lados planos: las cinco rutas geodésicas desde cualquier vértice base hasta el vértice base opuesto corrían a lo largo de dosaristas √ 1 (y solo una de esas rutas pasaba por el vértice único). La pirámide truncada tiene lados redondeados: cinco rutas geodésicas desde cualquier vértice base hasta el vértice base opuesto corren a lo largo de tresbordes √ 0.𝚫 (y pasan a través de dos 'vértices').
- ↑ Los 4 politopos uniformes a los que se asemeja más este 4 politopo irregular de 14 vértices y 25 celdas pueden ser el de 5 celdas rectificadas de 10 vértices y 10 celdas y su dual (tiene características de ambos).
Citas
- ^ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter , p.249
- ^ Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), p.68
- ^ Coxeter 1973 , págs. 292-293, Tabla I (ii): Los dieciséis politopos regulares { p, q, r } en cuatro dimensiones; Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4 politopo en unidades de longitud de borde. Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de unidad de radio.
- ^ Coxeter 1973 , p. 153, párrafo 8.51; "De hecho, los vértices de {3, 3, 5}, cada uno tomado 5 veces, son los vértices de 25 {3, 4, 3}".
- ↑ a b Coxeter 1973 , p. 305, Tabla VII: Compuestos regulares en cuatro dimensiones.
- ^ Coxeter 1973 , págs. 156-157, §8.7 Coordenadas cartesianas.
- ↑ a b Coxeter 1973 , pp. 151-153, §8.4 El desaire {3,4,3}.
- ^ a b Denney y col. 2020 , pág. 438.
- ^ Zamboj 2021 , págs. 10-11, §Coordenadas de Hopf.
- ^ Coxeter 1973 , p. 298, Tabla V: Distribución de vértices de politopos tetradimensionales en secciones sólidas paralelas (§13.1); (iii) Secciones de {3, 3, 5} (borde 2𝜏 −1 ) que comienzan con un vértice.
- ^ Oss 1899 ; van Oss no menciona las distancias de arco entre los vértices de las 600 celdas.
- ^ Buekenhout y Parker 1998 .
- ^ Coxeter 1973 , p. 298, Tabla V: Distribución de vértices de politopos tetradimensionales en secciones sólidas paralelas (§13.1); (iii) Secciones de {3, 3, 5} (borde 2𝜏 −1 ) que comienzan con un vértice; ver columna a .
- ^ Steinbach 1997 , p. 23, figura 3; Steinbach derivó una fórmula que relacionaba las diagonales y las longitudes de los bordes de polígonos regulares sucesivos y la ilustró con un diagrama de "abanico de cuerdas" como el que se muestra aquí.
- ^ Denney y col. 2020 , págs. 437-439, §4 Los planos de las 600 celdas.
- ^ Copher 2019 , p. 6, §3.2 Teorema 3.4.
- ^ a b Denney y col. 2020 , pág. 434.
- ↑ a b Coxeter 1973 , p. 303, Cuadro VI (iii): 𝐈𝐈 = {3,3,5}.
- ^ Coxeter 1973 , p. 153, §8.5 Construcción de Gosset para {3,3,5}.
- ^ Miyazaki 1990 ; Miyazaki demostró que la envolvente de la superficie de las 600 celdas se puede realizar arquitectónicamente en nuestro espacio tridimensional ordinario como edificios físicos (cúpulas geodésicas).
- ^ Coxeter 1973 , págs. 50-52, §3.7.
- ^ Coxeter 1973 , p. 293; 164 ° 29 '
- ^ Coxeter 1973 , p. 299, Tabla V: (iv) Secciones simplificadas de {3,3,5} ... comenzando con una celda.
- ^ Coxeter 1973 , p. 12, §1.8. Configuraciones.
- ^ van Ittersum 2020 , págs. 80-95, §4.3.
- ^ Steinbach 1997 , p. 24.
- ^ Denney y col. 2020 , §2 El etiquetado de H 4 .
- ^ Oss 1899 , págs. 1-18.
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Referencias
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enlaces externos
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- Olshevsky, George. "Hexacosichoron" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
- Policora uniforme convexa basada en el hecatonicosachoron (120 celdas) y hexacosichoron (600 celdas) - Modelo 35 , George Olshevsky.
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora) x3o3o5o - ex" .
- Der 600-Zeller (600 celdas) Politopos regulares de Marco Möller en R 4 (alemán)
- La expansión centrada en el vértice de 600 celdas del modelo de 600 celdas
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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