En matemáticas , el grupo unitario de grado n , denotado U ( n ), es el grupo de n × n matrices unitarias , con la operación grupal de multiplicación de matrices . El grupo unitario es un subgrupo del grupo lineal general GL ( n , C ) . Grupo hiperortogonal es un nombre arcaico para el grupo unitario, especialmente sobre campos finitos . Para el grupo de matrices unitarias con determinante 1, consulte Grupo unitario especial .
En el caso simple n = 1 , el grupo U (1) corresponde al grupo circular , que consta de todos los números complejos con valor absoluto 1, bajo multiplicación. Todos los grupos unitarios contienen copias de este grupo.
El grupo unitario U ( n ) es un grupo de Lie real de dimensión n 2 . El álgebra de Lie de U ( n ) consta de n × n matrices sesgadas-hermitianas , con el corchete de Lie dado por el conmutador .
El grupo unitario general (también llamado grupo de similitudes unitarias ) consta de todas las matrices A tales que A ∗ A es un múltiplo distinto de cero de la matriz identidad , y es solo el producto del grupo unitario con el grupo de todos los múltiplos positivos de la matriz de identidad. matriz de identidad.
Dado que el determinante de una matriz unitaria es un número complejo con norma 1 , el determinante da un homomorfismo de grupo
El núcleo de este homomorfismo es el conjunto de matrices unitarias con determinante 1 . Este subgrupo se denomina grupo unitario especial , denotado SU ( n ) . Luego tenemos una breve secuencia exacta de grupos de Lie: