Dimensión inductiva

Invariante de espacios topológicos

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En el campo matemático de la topología , la dimensión inductiva de un espacio topológico X es de dos valores, la dimensión inductiva pequeña ind ( X ) o la dimensión inductiva grande Ind ( X ). Estos se basan en la observación de que, en el espacio euclidiano n- dimensional R ⁿ , las esferas ( n  - 1) -dimensionales (es decir, los límites de las bolas n- dimensionales) tienen dimensión n  - 1. Por lo tanto, debería ser posible definir la dimensión de un espacio inductivamente en términos de las dimensiones de los límites de los conjuntos abiertos adecuados .

Las dimensiones inductivas pequeñas y grandes son dos de las tres formas más habituales de capturar la noción de "dimensión" para un espacio topológico, de una manera que depende únicamente de la topología (y no, digamos, de las propiedades de un espacio métrico ) . La otra es la dimensión de cobertura de Lebesgue . El término "dimensión topológica" se entiende normalmente para referirse a la dimensión de cobertura de Lebesgue. Para espacios "suficientemente agradables", las tres medidas de dimensión son iguales.

Definición formal

Queremos que la dimensión de un punto sea 0, y un punto tiene un límite vacío, por lo que comenzamos con

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1}$

Entonces, inductivamente, ind ( X ) es el n más pequeño tal que, para todos y cada uno de los conjuntos abiertos U que contienen x , hay un conjunto abierto V que contiene x , de modo que el cierre de V es un subconjunto de U , y el límite de V tiene una pequeña dimensión inductiva menor o igual que n  - 1. (Si X es un espacio n- dimensional euclidiano , se puede elegir que V sea ​​una bola n- dimensional centrada en x ).${\displaystyle x\in X}$

Para la dimensión inductiva grande, restringimos aún más la elección de V ; Ind ( X ) es el n más pequeño de modo que, para cada subconjunto cerrado F de cada subconjunto abierto U de X , hay un V abierto en el medio (es decir, F es un subconjunto de V y el cierre de V es un subconjunto de U ), de modo que el límite de V tiene una gran dimensión inductiva menor o igual que n  - 1.

Relación entre dimensiones

Sea la dimensión de cobertura de Lebesgue. Para cualquier espacio topológico X , tenemos${\displaystyle \dim }$

${\displaystyle \dim X=0}$ si y solo si ${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$

El teorema de Urysohn establece que cuando X es un espacio normal con una base contable , entonces

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

Dichos espacios son exactamente el X separable y metrizable (ver teorema de metrización de Urysohn ).

El teorema de Nöbeling-Pontryagin establece que esos espacios con dimensión finita se caracterizan hasta el homeomorfismo como los subespacios de los espacios euclidianos , con su topología habitual. El teorema de Menger-Nöbeling (1932) establece que si es métrica compacta separable y de dimensión , entonces se incrusta como un subespacio del espacio euclidiano de dimensión . ( Georg Nöbeling fue un estudiante de Karl Menger . Introdujo el espacio de Nöbeling , el subespacio que consiste en puntos con al menos coordenadas que son números irracionales , que tiene propiedades universales para incrustar espacios de dimensión ).${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2n+1}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$

Suponiendo que solo X metrizable tenemos ( Miroslav Katětov )

ind X ≤ Ind X = dim X ;

o asumiendo X compacto y Hausdorff ( PS Aleksandrov )

dim X ≤ ind X ≤ Ind X .

O la desigualdad aquí puede ser estricta; un ejemplo de Vladimir V. Filippov muestra que las dos dimensiones inductivas pueden diferir.

Un espacio métrico separable X satisface la desigualdad si y solo si para cada subespacio cerrado del espacio y cada mapeo continuo existe una extensión continua .${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:A\to S^{n}}$${\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}$

Referencias

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Lectura adicional

• Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn y Karl Menger: artículos sobre la teoría de la dimensión" en Grattan-Guinness, I. , ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier: 844-55.
• R. Engelking, Teoría de las dimensiones. Finito e infinito , Heldermann Verlag (1995), ISBN  3-88538-010-2 .
• VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , que aparece en Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumen 17, Topología general I , (1993) AV Arkhangel'skii y LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-18178- 4 . 
• VV Filippov, Sobre la dimensión inductiva del producto de bicompacta , soviético. Matemáticas. Dokl., 13 (1972), N ° 1, 250-254.
• AR Pears, Teoría de la dimensión de los espacios generales , Cambridge University Press (1975).