En teoría de números , más concretamente en teoría de campos de clases locales , los grupos de ramificación son una filtración del grupo de Galois de una extensión de campo local , que da información detallada sobre los fenómenos de ramificación de la extensión.
En matemáticas , la teoría de la ramificación de las valoraciones estudia el conjunto de extensiones de una valoración v de un campo K a una extensión L de K. Es una generalización de la teoría de la ramificación de los dominios de Dedekind. [1] [2]
Sea ( K , v ) un campo valorado y sea L una extensión finita de Galois de K . Sea S v el conjunto de clases de equivalencia de extensiones de v a L y sea G el grupo de Galois de L sobre K . Entonces G actúa sobre S v por σ[ w ] = [ w ∘ σ] (es decir, w es un representante de la clase de equivalencia [w ] ∈ S v y [ w ] se envía a la clase de equivalencia de la composición de w con el automorfismo σ : L → L ; esto es independiente de la elección de w en [ w ]). De hecho, esta acción es transitiva .
Dada una extensión fija w de v a L , el grupo de descomposición de w es el subgrupo estabilizador G w de [ w ], es decir, es el subgrupo de G formado por todos los elementos que fijan la clase de equivalencia [ w ] ∈ S v .
Sea m w el ideal máximo de w dentro del anillo de valoración R w de w . El grupo de inercia de w es el subgrupo I w de G w que consta de elementos σ tales que σ x ≡ x (mod m w ) para todo x en R w . En otras palabras, I w consta de los elementos del grupo de descomposición que actúan trivialmente en el campo de residuosde w . Es un subgrupo normal de G w .
El índice de ramificación reducido e ( w / v ) es independiente de w y se denota e ( v ). De manera similar, el grado relativo f ( w / v ) también es independiente de w y se denota por f ( v ).