Valoración (álgebra)
En álgebra (en particular en geometría algebraica o teoría de números algebraica ), una valoración es una función en un campo que proporciona una medida del tamaño o multiplicidad de elementos del campo. Generaliza al álgebra conmutativa la noción de tamaño inherente a la consideración del grado de un polo o la multiplicidad de un cero en el análisis complejo, el grado de divisibilidad de un número por un número primo en la teoría de números y el concepto geométrico de contacto entre dos. variedades algebraicas o analíticasen geometría algebraica. Un campo con una valoración se denomina campo valorado .
La segunda propiedad afirma que cualquier valoración es un homomorfismo de grupo . La tercera propiedad es una versión de la desigualdad del triángulo en espacios métricos adaptada a un Γ arbitrario (ver Notación multiplicativa más abajo). Para las valoraciones utilizadas en aplicaciones geométricas , la primera propiedad implica que cualquier germen no vacío de una variedad analítica cerca de un punto contiene ese punto.
La valoración se puede interpretar como el orden del término de primer orden . [b] La tercera propiedad corresponde entonces al orden de una suma que es el orden del término mayor, [c] a menos que los dos términos tengan el mismo orden, en cuyo caso pueden cancelarse, en cuyo caso la suma puede tener un orden mayor .
Para muchas aplicaciones, Γ es un subgrupo aditivo de los números reales [d], en cuyo caso ∞ puede interpretarse como + ∞ en los números reales extendidos ; tenga en cuenta que para cualquier número real a , y por lo tanto + ∞ es la unidad bajo la operación binaria de mínimo. Los números reales (extendidos por + ∞) con las operaciones de mínimo y suma forman un semirrígido , llamado semirrígido tropical mínimo , [e] y una valoración v es casi un homomorfismo de semirrígido de K al semirrígido tropical, excepto que la propiedad del homomorfismo puede fallar cuando se suman dos elementos con la misma valoración.
El concepto fue desarrollado por Emil Artin en su libro Geometric Algebra escribiendo al grupo en notación multiplicativa como (Γ, ·, ≥) : [1]
En lugar de ∞, unimos un símbolo formal O a Γ, con el ordenamiento y la ley de grupo extendidos por las reglas