Conjugado convexo

En matemáticas y optimización matemática , el conjugado convexo de una función es una generalización de la transformación de Legendre que se aplica a funciones no convexas. También se conoce como transformación de Legendre-Fenchel , transformación de Fenchel o conjugado de Fenchel (después de Adrien-Marie Legendre y Werner Fenchel ). En particular, permite una generalización de gran alcance de la dualidad lagrangiana.

Definición

Sea un espacio vectorial topológico real y sea ​​el espacio dual para . Denotamos por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{*}\times X\to \mathbb {R} }$

el emparejamiento dual canónico , que se define por${\displaystyle \left(x^{*},x\right)\mapsto x^{*}(x).}$

Para una función que toma valores en la recta numérica real extendida , su conjugada convexa es la función${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$

${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$

cuyo valor en se define como el supremo :${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)~\colon ~x\in X\right\},}$

o, de manera equivalente, en términos del mínimo :

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=-\inf \left\{f(x)-\left\langle x^{*},x\right\rangle ~\colon ~x\in X\right\}.}$

Esta definición se puede interpretar como una codificación del casco convexo del epígrafe de la función en términos de sus hiperplanos de apoyo . ^{[1] [2]}

Ejemplos de

Para más ejemplos, consulte § Tabla de conjugados convexos seleccionados .

• El conjugado convexo de una función afín es${\displaystyle f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b}$

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}}$

• El conjugado convexo de una función de potencia es${\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},1<p<\infty }$

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},1<q<\infty ,{\text{where}}{\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

• La conjugada convexa de la función de valor absoluto es${\displaystyle f(x)=\left|x\right|}$

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}}$

• El conjugado convexo de la función exponencial es${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}}$

El conjugado convexo y la transformada de Legendre de la función exponencial concuerdan, excepto que el dominio del conjugado convexo es estrictamente mayor ya que la transformada de Legendre solo se define para números reales positivos.

Conexión con déficit esperado (valor medio en riesgo)

Vea este artículo por ejemplo.

Let F denota una función de distribución acumulativa de una variable aleatoria  X . Entonces (integrando por partes),

${\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{x}F(u)\,du=\operatorname {E} \left[\max(0,x-X)\right]=x-\operatorname {E} \left[\min(x,X)\right]}$

tiene el conjugado convexo

${\displaystyle f^{*}(p)=\int _{0}^{p}F^{-1}(q)\,dq=(p-1)F^{-1}(p)+\operatorname {E} \left[\min(F^{-1}(p),X)\right]=pF^{-1}(p)-\operatorname {E} \left[\max(0,F^{-1}(p)-X)\right].}$

Ordenando

Una interpretación particular tiene la transformación

${\displaystyle f^{\text{inc}}(x):=\arg \sup _{t}t\cdot x-\int _{0}^{1}\max\{t-f(u),0\}\,du,}$

ya que se trata de una reordenación no decreciente de la función inicial f; en particular, para f no decreciente.${\displaystyle f^{\text{inc}}=f}$

Propiedades

El conjugado convexo de una función convexa cerrada es nuevamente una función convexa cerrada. El conjugado convexo de una función convexa poliédrica (una función convexa con epígrafe poliédrico ) es nuevamente una función convexa poliédrica.

Inversión de pedidos

Declare que si y solo si para todos Entonces la conjugación convexa es orden inverso , lo que por definición significa que si entonces${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f^{*}\geq g^{*}.}$

Para una familia de funciones se sigue del hecho de que los supremums pueden intercambiarse que${\displaystyle \left(f_{\alpha }\right)_{\alpha }}$

${\displaystyle \left(\inf _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})=\sup _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}),}$

y de la desigualdad máxima-mínima que

${\displaystyle \left(\sup _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})\leq \inf _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}).}$

Biconjugar

El conjugado convexo de una función es siempre semicontinuo inferior . El biconjugado (el conjugado convexo del conjugado convexo) es también el casco convexo cerrado , es decir, la función convexa semicontinua inferior más grande con Para funciones propias${\displaystyle f^{**}}$${\displaystyle f^{**}\leq f.}$ ${\displaystyle f,}$

${\displaystyle f=f^{**}}$ si y solo si es convexo y semicontinuo inferior, según el teorema de Fenchel-Moreau .${\displaystyle f}$

La desigualdad de Fenchel

Para cualquier función f y su conjugada convexa f * , la desigualdad de Fenchel (también conocida como la desigualdad de Fenchel-Young ) es válida para todos y :${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle p\in X^{*}}$

${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p).}$

La prueba se deriva de la definición de conjugado convexo: ${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{\tilde {x}}\left\{\langle p,{\tilde {x}}\rangle -f({\tilde {x}})\right\}\geq \langle p,x\rangle -f(x).}$

Convexidad

Para dos funciones y y un número la relación de convexidad ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$

${\displaystyle \left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{*}\leq (1-\lambda )f_{0}^{*}+\lambda f_{1}^{*}}$

sostiene. La operación es un mapeo convexo en sí mismo.${\displaystyle {*}}$

Convolución infimal

La convolución infimal (o epi-suma) de dos funciones y se define como${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \left(f\operatorname {\Box } g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\mid y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$

Sean funciones propias, convexas y semicontinuas inferiores en Entonces la convolución infimal es convexa y semicontinua inferior (pero no necesariamente propia), ^[3] y satisface${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

${\displaystyle \left(f_{1}\operatorname {\Box } \cdots \operatorname {\Box } f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.}$

La convolución infimal de dos funciones tiene una interpretación geométrica: el epígrafe (estricto) de la convolución infimal de dos funciones es la suma de Minkowski de los epígrafes (estrictos) de esas funciones. ^[4]

Maximizando el argumento

Si la función es diferenciable, entonces su derivada es el argumento maximizador en el cálculo del conjugado convexo:${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{\prime }(x)=x^{*}(x):=\arg \sup _{x^{*}}{\langle x,x^{*}\rangle }-f^{*}\left(x^{*}\right)}$ y

${\displaystyle f^{{*}\prime }\left(x^{*}\right)=x\left(x^{*}\right):=\arg \sup _{x}{\langle x,x^{*}\rangle }-f(x);}$

De dónde

${\displaystyle x=\nabla f^{*}\left(\nabla f(x)\right),}$

${\displaystyle x^{*}=\nabla f\left(\nabla f^{*}\left(x^{*}\right)\right),}$

y además

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}(x)\right)=1,}$

${\displaystyle f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}\right)\cdot f^{\prime \prime }\left(x(x^{*})\right)=1.}$

Propiedades de escala

Si para algunos , entonces ${\displaystyle \gamma >0,}$ ${\displaystyle g(x)=\alpha +\beta x+\gamma \cdot f\left(\lambda x+\delta \right)}$

${\displaystyle g^{*}\left(x^{*}\right)=-\alpha -\delta {\frac {x^{*}-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{*}\left({\frac {x^{*}-\beta }{\lambda \gamma }}\right).}$

Comportamiento bajo transformaciones lineales

Sea un operador lineal acotado . Para cualquier función convexa en${\displaystyle A:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \left(Af\right)^{*}=f^{*}A^{*}}$

donde

${\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}}$

es la imagen inversa de con respecto a y es el operador adjunto de ^[5]${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A.}$

Una función convexa cerrada es simétrica con respecto a un conjunto dado de transformaciones lineales ortogonales ,${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle f(Ax)=f(x)}$para todos y para todos${\displaystyle x}$${\displaystyle A\in G}$

si y solo si su conjugado convexo es simétrico con respecto a${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle G.}$

Tabla de conjugados convexos seleccionados

La siguiente tabla proporciona transformaciones de Legendre para muchas funciones comunes, así como algunas propiedades útiles. ^[6]

${\displaystyle g(x)}$	${\displaystyle \operatorname {dom} (g)}$	${\displaystyle g^{*}(x^{*})}$	${\displaystyle \operatorname {dom} (g^{*})}$
${\displaystyle f(ax)}$(donde )${\displaystyle a\neq 0}$	${\displaystyle X}$	${\displaystyle f^{*}\left({\frac {x^{*}}{a}}\right)}$	${\displaystyle X^{*}}$
${\displaystyle f(x+b)}$	${\displaystyle X}$	${\displaystyle f^{*}(x^{*})-\langle b,x^{*}\rangle }$	${\displaystyle X^{*}}$
${\displaystyle af(x)}$(donde )${\displaystyle a>0}$	${\displaystyle X}$	${\displaystyle af^{*}\left({\frac {x^{*}}{a}}\right)}$	${\displaystyle X^{*}}$
${\displaystyle \alpha +\beta x+\gamma \cdot f(\lambda x+\delta )}$	${\displaystyle X}$	${\displaystyle -\alpha -\delta {\frac {x^{*}-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{*}\left({\frac {x^{*}-\beta }{\gamma \lambda }}\right)\quad (\gamma >0)}$	${\displaystyle X^{*}}$
${\displaystyle {\frac {|x|^{p}}{p}}}$(donde )${\displaystyle p>1}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {|x^{*}|^{q}}{q}}}$(donde )${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$
${\displaystyle {\frac {-x^{p}}{p}}}$(donde )${\displaystyle 0<p<1}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {-(-x^{*})^{q}}{q}}}$(donde )${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$
${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle -{\sqrt {1-(x^{*})^{2}}}}$	${\displaystyle [-1,1]}$
${\displaystyle -\log(x)}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{++}}$	${\displaystyle -(1+\log(-x^{*}))}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{--}}$
${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\begin{cases}x^{*}\log(x^{*})-x^{*}&{\text{if }}x^{*}>0\\0&{\text{if }}x^{*}=0\end{cases}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$
${\displaystyle \log \left(1+e^{x}\right)}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\begin{cases}x^{*}\log(x^{*})+(1-x^{*})\log(1-x^{*})&{\text{if }}0<x^{*}<1\\0&{\text{if }}x^{*}=0,1\end{cases}}}$	${\displaystyle [0,1]}$
${\displaystyle -\log \left(1-e^{x}\right)}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{--}}$	${\displaystyle {\begin{cases}x^{*}\log(x^{*})-(1+x^{*})\log(1+x^{*})&{\text{if }}x^{*}>0\\0&{\text{if }}x^{*}=0\end{cases}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

Ver también

• Problema dual
• Teorema de la dualidad de Fenchel
• Transformación de Legendre
• La desigualdad de Young por los productos

Referencias

1. "Transformación de Legendre" . Consultado el 14 de abril de 2019 .
2. Nielsen, Frank. "Transformación de Legendre y geometría de la información" (PDF) .
3. Phelps, Robert (1991). Funciones convexas, operadores monótonos y diferenciabilidad (2 ed.). Saltador. pag. 42 . ISBN 0-387-56715-1.
4. Bauschke, Heinz H .; Goebel, Rafal; Lucet, Yves; Wang, Xianfu (2008). "El promedio proximal: teoría básica". Revista SIAM de Optimización . 19 (2): 766. CiteSeerX 10.1.1.546.4270 . doi : 10.1137 / 070687542 . 
5. Ioffe, AD y Tichomirov, VM (1979), Theorie der Extremalaufgaben . Deutscher Verlag der Wissenschaften . Satz 3.4.3
6. Borwein, Jonathan ; Lewis, Adrian (2006). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2 ed.). Saltador. págs.  50 –51. ISBN 978-0-387-29570-1.

• Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (Segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-96890-3. Señor  0997295 .
• Rockafellar, R. Tyrrell ; Mojados, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 317 . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .
• Rockafellar, R. Tyrell (1970). Análisis convexo . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-01586-4. Señor  0274683 .

Otras lecturas

• Touchette, Hugo (16 de octubre de 2014). "Legendre-Fenchel se transforma en pocas palabras" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de abril de 2017 . Consultado el 9 de enero de 2017 .

• Touchette, Hugo (21 de noviembre de 2006). "Elementos de análisis convexo" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de mayo de 2015 . Consultado el 26 de marzo de 2008 .

• "Legendre y Legendre-Fenchel se transforma en una explicación paso a paso" . Consultado el 18 de mayo de 2013 .

• Ellerman, David Patterson (21 de marzo de 1995). "Capítulo 12: suma paralela, dualidad serie-paralelo y matemáticas financieras" . El traspaso intelectual como forma de vida: ensayos en filosofía, economía y matemáticas (PDF) . La filosofía mundana: estudios en intersección de filosofía y economía . G - Serie de referencias, información y temas interdisciplinarios (ed. Ilustrada). Rowman & Littlefield Publishers, Inc. págs. 237–268. ISBN 0-8476-7932-2. Archivado (PDF) desde el original el 5 de marzo de 2016 . Consultado el 9 de agosto de 2019 . [1] (271 páginas)

• Ellerman, David Patterson (mayo de 2004) [21 de marzo de 1995]. "Introducción a la dualidad serie-paralelo" (PDF) . Universidad de California en Riverside . CiteSeerX  10.1.1.90.3666 . Archivado desde el original el 10 de agosto de 2019 . Consultado el 9 de agosto de 2019 . [2] (24 páginas)