En matemáticas , los números transfinitos son números que son " infinitos " en el sentido de que son más grandes que todos los números finitos , pero no necesariamente absolutamente infinitos . Estos incluyen los cardinales transfinitos , que son números cardinales utilizados para cuantificar el tamaño de conjuntos infinitos, y los ordinales transfinitos , que son números ordinales utilizados para proporcionar un orden de conjuntos infinitos. [1] [2] [3] El término transfinito fue acuñado por Georg Cantor en 1895, [4] [5] [6][7] que deseaba evitar algunas de las implicaciones de la palabra infinito en relación con estos objetos, que, sin embargo, no eran finitos . [ cita requerida ] Pocos escritores contemporáneos comparten estos escrúpulos; ahora se acepta el uso para referirse a los cardinales y ordinales transfinitos como "infinitos". Sin embargo, el término "transfinito" también permanece en uso.
Definición
Cualquier número natural finito se puede utilizar de al menos dos formas: como ordinal y como cardinal. Los números cardinales especifican el tamaño de los conjuntos (p. Ej., Una bolsa de cinco canicas), mientras que los números ordinales especifican el orden de un miembro dentro de un conjunto ordenado [8] (p. Ej., "El tercer hombre de la izquierda" o "el vigésimo séptimo día de enero "). Cuando se amplían a números transfinitos, estos dos conceptos se vuelven distintos. Un número cardinal transfinito se usa para describir el tamaño de un conjunto infinitamente grande, [3] mientras que un ordinal transfinito se usa para describir la ubicación dentro de un conjunto infinitamente grande que está ordenado. [8] [ verificación fallida ] Los números ordinales y cardinales más notables son, respectivamente:
- ( Omega ): el número ordinal transfinito más bajo. También es el tipo de orden de los números naturales bajo su orden lineal habitual.
- ( Aleph-null ): el primer número cardinal transfinito. También es la cardinalidad de los números naturales. Si se cumple el axioma de elección , el siguiente número cardinal más alto es aleph-one ,Si no, puede haber otros cardenales que sean incomparables con aleph-one y más grandes que aleph-null. De cualquier manera, no hay cardinales entre aleph-null y aleph-one.
La hipótesis del continuo es la proposición de que no hay números cardinales intermedios entrey la cardinalidad del continuo (la cardinalidad del conjunto de números reales ): [3] o equivalentemente quees la cardinalidad del conjunto de números reales. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , no se puede probar ni la hipótesis del continuo ni su negación.
Algunos autores, incluidos P. Suppes y J. Rubin, utilizan el término cardinal transfinito para referirse a la cardinalidad de un conjunto infinito de Dedekind en contextos donde esto puede no ser equivalente a "cardinal infinito"; es decir, en contextos donde el axioma de elección contable no se asume o no se sabe que se cumpla. Dada esta definición, los siguientes son todos equivalentes:
- es un cardenal transfinito. Es decir, hay un conjunto infinito de Dedekind tal que la cardinalidad de es
- Hay un cardenal tal que
Aunque los ordinales y cardinales transfinitos generalizan solo los números naturales, otros sistemas de números, incluidos los números hiperreales y los números surrealistas , proporcionan generalizaciones de los números reales . [9]
Ejemplos de
En la teoría de Cantor de los números ordinales, todo número entero debe tener un sucesor. [10] El siguiente entero después de todos los regulares, que es el primer entero infinito, se llama. En este contexto, Es mas grande que , y , y son aún más grandes. Expresiones aritméticas que contienenespecificar un número ordinal, y se puede considerar como el conjunto de todos los enteros hasta ese número. Un número dado generalmente tiene múltiples expresiones que lo representan, sin embargo, hay una forma normal única de Cantor que lo representa, [10] esencialmente una secuencia finita de dígitos que dan coeficientes de potencias descendentes de.
Sin embargo, no todos los números enteros infinitos pueden representarse mediante una forma normal de Cantor, y el primero que no puede está dado por el límite y se denomina . [10] es la solución más pequeña para y las siguientes soluciones dar ordinales más grandes todavía, y se puede seguir hasta que uno alcanza el límite , que es la primera solución para . Esto significa que para poder especificar todos los enteros transfinitos, uno debe pensar en una secuencia infinita de nombres: porque si se especificara un único entero más grande, siempre se podría mencionar su sucesor más grande. Pero como señaló Cantor, [ cita requerida ] incluso esto solo permite alcanzar la clase más baja de números transfinitos: aquellos cuyo tamaño de conjuntos corresponde al número cardinal.
Ver también
Referencias
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - infinito" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 4 de diciembre de 2019 .
- ^ "Definición de número transfinito | Dictionary.com" . www.dictionary.com . Consultado el 4 de diciembre de 2019 .
- ^ a b c "Números transfinitos y teoría de conjuntos" . www.math.utah.edu . Consultado el 4 de diciembre de 2019 .
- ^ "Georg Cantor | biografía, contribuciones, libros y hechos" . Enciclopedia Británica . Consultado el 4 de diciembre de 2019 .
- ^ Georg Cantor (noviembre de 1895). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)" . Mathematische Annalen . 46 (4): 481–512.
- ^ Georg Cantor (julio de 1897). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)" . Mathematische Annalen . 49 (2): 207–246.
- ^ Georg Cantor (1915). Philip EB Jourdain (ed.). Contribuciones a la fundación de la teoría de los números transfinitos (PDF) . Nueva York: Dover Publications, Inc. Traducción inglesa de Cantor (1895,1897).
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Número ordinal" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 4 de diciembre de 2019 .
- ^ Beyer, WA; Louck, JD (1997), "Iteración de funciones transfinitas y números surrealistas", Advances in Applied Mathematics , 18 (3): 333–350, doi : 10.1006 / aama.1996.0513 , MR 1436485
- ^ a b c John Horton Conway , (1976) Sobre números y juegos . Prensa académica, ISBN 0-12-186350-6. (Vea el Capítulo 3.)
Bibliografía
- Levy, Azriel, 2002 (1978) Teoría básica de conjuntos . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-42079-5
- O'Connor, JJ y EF Robertson (1998) " Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ", archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas .
- Rubin, Jean E. , 1967. "Teoría de conjuntos para el matemático". San Francisco: Holden-Day. Basado en la teoría de conjuntos de Morse-Kelley .
- Rudy Rucker , 2005 (1982) El infinito y la mente . Universidad de Princeton Prensa. Principalmente una exploración de las implicaciones filosóficas del paraíso de Cantor. ISBN 978-0-691-00172-2 .
- Patrick Suppes , 1972 (1960) " Teoría de conjuntos axiomáticos ". Dover. ISBN 0-486-61630-4 . Basado en ZFC .