La respuesta de impulso infinito ( IIR ) es una propiedad que se aplica a muchos sistemas lineales invariantes en el tiempo que se distinguen por tener una respuesta de impulso. que no se vuelve exactamente cero después de cierto punto, sino que continúa indefinidamente. Esto está en contraste con una respuesta de impulso finito sistema (FIR) en el que la respuesta de impulso no se convierten en exactamente cero a veces para algunos finitos , siendo así de duración finita. Los ejemplos comunes de sistemas lineales invariantes en el tiempo son la mayoría de los filtros electrónicos y digitales . Los sistemas con esta propiedad se conocen como sistemas IIR o filtros IIR .
En la práctica, la respuesta al impulso, incluso de los sistemas IIR, generalmente se acerca a cero y puede ignorarse más allá de cierto punto. Sin embargo, los sistemas físicos que dan lugar a respuestas IIR o FIR son diferentes, y ahí radica la importancia de la distinción. Por ejemplo, los filtros electrónicos analógicos compuestos por resistencias, condensadores y / o inductores (y quizás amplificadores lineales) son generalmente filtros IIR. Por otro lado, los filtros de tiempo discreto (generalmente filtros digitales) basados en una línea de retardo con derivación que no emplea retroalimentación son necesariamente filtros FIR. Los condensadores (o inductores) en el filtro analógico tienen una "memoria" y su estado interno nunca se relaja completamente siguiendo un impulso (asumiendo el modelo clásico de condensadores e inductores donde se ignoran los efectos cuánticos). Pero en el último caso, después de que un impulso ha llegado al final de la línea de retardo intervenida, el sistema no tiene más memoria de ese impulso y ha regresado a su estado inicial; su respuesta de impulso más allá de ese punto es exactamente cero.
Implementación y diseño
Aunque casi todos los filtros electrónicos analógicos son IIR, los filtros digitales pueden ser IIR o FIR. La presencia de retroalimentación en la topología de un filtro de tiempo discreto (como el diagrama de bloques que se muestra a continuación) generalmente crea una respuesta IIR. La función de transferencia de dominio z de un filtro IIR contiene un denominador no trivial, que describe esos términos de retroalimentación. La función de transferencia de un filtro FIR, por otro lado, tiene solo un numerador como se expresa en la forma general que se deriva a continuación. Toda la coeficientes con (términos de retroalimentación) son cero y el filtro no tiene polos finitos .
Las funciones de transferencia pertenecientes a los filtros electrónicos analógicos IIR se han estudiado y optimizado exhaustivamente para sus características de amplitud y fase. Estas funciones de filtro de tiempo continuo se describen en el dominio de Laplace . Las soluciones deseadas se pueden transferir al caso de filtros de tiempo discreto cuyas funciones de transferencia se expresan en el dominio z, mediante el uso de ciertas técnicas matemáticas como la transformada bilineal , la invariancia de impulso o el método de emparejamiento polo-cero . Por lo tanto, los filtros digitales IIR pueden basarse en soluciones conocidas para filtros analógicos como el filtro Chebyshev , el filtro Butterworth y el filtro elíptico , heredando las características de esas soluciones.
Derivación de la función de transferencia
Los filtros digitales a menudo se describen e implementan en términos de la ecuación de diferencia que define cómo se relaciona la señal de salida con la señal de entrada:
dónde:
- es el orden de filtro de feedforward
- son los coeficientes del filtro de feedforward
- es el orden del filtro de retroalimentación
- son los coeficientes del filtro de retroalimentación
- es la señal de entrada
- es la señal de salida.
Una forma más condensada de la ecuación en diferencias es:
que, cuando se reorganiza, se convierte en:
Para encontrar la función de transferencia del filtro, primero tomamos la transformada Z de cada lado de la ecuación anterior, donde usamos la propiedad de cambio de tiempo para obtener:
Definimos la función de transferencia como:
Teniendo en cuenta que en la mayoría de los diseños de filtros IIR, el coeficiente es 1, la función de transferencia de filtro IIR adopta la forma más tradicional:
Estabilidad
La función de transferencia permite juzgar si un sistema es estable o no de entrada acotada, salida acotada (BIBO) . Para ser específico, el criterio de estabilidad BIBO requiere que la ROC del sistema incluya el círculo unitario. Por ejemplo, para un sistema causal, todos los polos de la función de transferencia deben tener un valor absoluto menor que uno. En otras palabras, todos los polos deben estar ubicados dentro de un círculo unitario en el-avión.
Los polos se definen como los valores de que hacen el denominador de igual a 0:
Claramente, si entonces los polos no se encuentran en el origen de la -avión. Esto contrasta con el filtro FIR donde todos los polos están ubicados en el origen y, por lo tanto, siempre es estable.
Filtros IIR a veces se prefieren sobre los filtros FIR, ya que un filtro IIR puede lograr una zona de transición mucho más aguda roll-off de un filtro FIR del mismo orden.
Ejemplo
Deje que la función de transferencia de un filtro de tiempo discreto viene dado por:
gobernado por el parámetro , un número real con . es estable y causal con un poste en . Se puede demostrar que la respuesta al impulso en el dominio del tiempo viene dada por:
dónde es la función de paso unitario . Se puede ver que es distinto de cero para todos , por lo tanto, una respuesta de impulso que continúa infinitamente.
Ventajas y desventajas
La principal ventaja que tienen los filtros IIR digitales sobre los filtros FIR es su eficiencia en la implementación, para cumplir con una especificación en términos de banda de paso, banda de parada, rizado y / o atenuación. Este conjunto de especificaciones se puede lograr con un filtro IIR de orden inferior ( Q en las fórmulas anteriores) que el que se requeriría para un filtro FIR que cumpla con los mismos requisitos. Si se implementa en un procesador de señales, esto implica un número correspondientemente menor de cálculos por paso de tiempo; los ahorros computacionales son a menudo un factor bastante importante.
Por otro lado, los filtros FIR pueden ser más fáciles de diseñar, por ejemplo, para adaptarse a un requisito de respuesta de frecuencia particular. Esto es particularmente cierto cuando el requisito no es uno de los casos habituales (paso alto, paso bajo, notch, etc.) que se han estudiado y optimizado para filtros analógicos. Además, los filtros FIR se pueden hacer fácilmente para que sean de fase lineal ( retardo de grupo constante frente a frecuencia), una propiedad que no se cumple fácilmente usando filtros IIR y luego solo como una aproximación (por ejemplo, con el filtro Bessel ). Otro problema relacionado con los filtros IIR digitales es el potencial de comportamiento del ciclo límite cuando están inactivos, debido al sistema de retroalimentación junto con la cuantificación.
Ver también
enlaces externos
- El quinto módulo del curso DSP de procesamiento de señales BORES - Introducción a DSP
- Applet de diseño de filtros digitales IIR en Wayback Machine (archivado el 13 de febrero de 2010)
- Herramienta de diseño de filtro digital IIR : produce coeficientes, gráficos, polos, ceros y código C
- EngineerJS Online IIR Design Tool : no requiere Java