Espacio de bucle
En topología , una rama de las matemáticas , el espacio de bucle Ω X de un espacio topológico puntiagudo X es el espacio de bucles (basados) en X , es decir, mapas puntiagudos continuos desde el círculo puntiagudo S 1 a X , equipado con la topología compacta-abierta . Se pueden multiplicar dos bucles por concatenación . Con esta operación, el espacio de bucle es un espacio A ∞ . Es decir, la multiplicación es asociativa coherentemente con homotopía .
El conjunto de componentes de ruta de Ω X , es decir, el conjunto de clases de equivalencia de homotopía basada en bucles basados en X , es un grupo , el grupo fundamental π 1 ( X ).
Existe una construcción análoga para espacios topológicos sin punto de base. El espacio de bucle libre de un espacio topológico X es el espacio de mapas desde el círculo S 1 a X con la topología compacta-abierta. El espacio de bucle libre de X a menudo se denota por .
Como funtor , la construcción espacio bucle libre es adjunto derecho a producto cartesiano con el círculo, mientras que la construcción del espacio de bucle es adjunto derecho a la suspensión reducida . Este adjunto explica gran parte de la importancia de los espacios de bucle en la teoría de la homotopía estable . (Un fenómeno relacionado en ciencias de la computación es el currying , donde el producto cartesiano es adjunto al functor hom .) Informalmente esto se conoce como dualidad Eckmann-Hilton .
El espacio de bucle es dual para la suspensión del mismo espacio; esta dualidad a veces se denomina dualidad Eckmann-Hilton . La observación básica es que
donde es el conjunto de clases de homotopía de mapas , y es la suspensión de A, y denota el homeomorfismo natural . Este homeomorfismo es esencialmente el de curar , módulo los cocientes necesarios para convertir los productos en productos reducidos.
![[A, B]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1993067bb075f2ebfa02e78959b7c5bed68e06f4)
