En matemáticas , una infraestructura es una estructura grupal que aparece en campos globales .
Desarrollo historico
En 1972, D. Shanks descubrió por primera vez la infraestructura de un campo numérico cuadrático real y aplicó su algoritmo de pasos gigantes para calcular el regulador de dicho campo en operaciones binarias (para cada ), dónde es el discriminante del campo cuadrático; se requieren métodos previosoperaciones binarias. [1] Diez años después, HW Lenstra publicó [2] un marco matemático que describe la infraestructura de un campo numérico cuadrático real en términos de "grupos circulares". También fue descrito por R. Schoof [3] y HC Williams, [4] y luego ampliado por HC Williams, GW Dueck y BK Schmid a ciertos campos numéricos cúbicos de rango unitario uno [5] [6] y por J. Buchmann y HC Williams a todos los campos numéricos del rango de unidad uno. [7] En su tesis de habilitación , J. Buchmann presentó un algoritmo de pasos gigantes para calcular el regulador de un campo numérico de rango unitario arbitrario . [8] La primera descripción de las infraestructuras en campos numéricos de rango de unidad arbitrario fue dada por R. Schoof utilizando divisores Arakelov en 2008. [9]
La infraestructura también se describió para otros campos globales , a saber, para campos de funciones algebraicas sobre campos finitos . Esto fue hecho primero por A. Stein y HG Zimmer en el caso de campos de función hiperelíptica reales . [10] R. Scheidler y A. Stein lo extendieron a ciertos campos de función cúbicos de rango unitario uno. [11] [12] En 1999, S. Paulus y H.-G. Rück relacionó la infraestructura de un campo de función cuadrática real con el grupo de clases de divisor. [13] Esta conexión se puede generalizar a campos de función arbitrarios y, combinándolos con los resultados de R. Schoof, a todos los campos globales. [14]
Caso unidimensional
Definición abstracta
Una infraestructura unidimensional (abstracta) consta de un número real , un conjunto finito junto con un mapa inyectivo. [15] El mapaa menudo se denomina mapa de distancias .
Interpretando como un círculo de circunferencia y al identificar con , se puede ver una infraestructura unidimensional como un círculo con un conjunto finito de puntos.
Pequeños pasos
Un pequeño paso es una operación unitaria en una infraestructura unidimensional . Visualizando la infraestructura como un círculo, un pequeño paso asigna cada punto deel siguiente. Formalmente, se puede definir esto asignando a el número real ; entonces, uno puede definir.
Pasos gigantes y mapas de reducción
Observando eso es naturalmente un grupo abeliano , se puede considerar la suma por . En general, este no es un elemento de. Pero en cambio, uno puede tomar un elemento deque se encuentra cerca . Para formalizar este concepto, suponga que existe un mapa; entonces, uno puede definirpara obtener una operación binaria , llamada la operación del paso gigante . Tenga en cuenta que, en general, esta operación no es asociativa .
La principal dificultad es cómo elegir el mapa. . Asumiendo que uno quiere tener la condición, queda un abanico de posibilidades. Se da una opción posible [15] de la siguiente manera: para, definir ; entonces uno puede definir. Esta elección, que parece un tanto arbitraria, aparece de forma natural cuando se intenta obtener infraestructuras de campos globales. [14] También son posibles otras opciones, por ejemplo, elegir un elemento tal que es mínimo (aquí, es significa , como es de la forma ); Una construcción posible en el caso de campos funcionales hiperelípticos cuadráticos reales está dada por SD Galbraith, M. Harrison y DJ Mireles Morales. [dieciséis]
Relación con campos cuadráticos reales
D. Shanks observó la infraestructura en campos de números cuadráticos reales cuando estaba mirando ciclos de formas cuadráticas binarias reducidas . Tenga en cuenta que existe una estrecha relación entre la reducción de formas cuadráticas binarias y la expansión continua de fracciones ; un paso en la expansión fraccionaria continua de una cierta irracionalidad cuadrática da una operación unaria sobre el conjunto de formas reducidas, que recorre todas las formas reducidas en una clase de equivalencia. Al organizar todas estas formas reducidas en un ciclo, Shanks notó que uno puede saltar rápidamente a formas reducidas más lejos del comienzo del círculo componiendo dos de esas formas y reduciendo el resultado. Llamó a esta operación binaria en el conjunto de formas reducidas un paso gigante , y la operación para ir a la siguiente forma reducida en el ciclo un paso de bebé .
Relación con
El conjunto tiene una operación de grupo natural y la operación de paso gigante se define en términos de ella. Por tanto, tiene sentido comparar la aritmética en la infraestructura con la aritmética en. Resulta que la operación grupal de puede describirse usando pasos gigantes y pequeños, representando elementos de por elementos de junto con un número real relativamente pequeño; esto ha sido descrito por primera vez por D. Hühnlein y S. Paulus [17] y por MJ Jacobson, Jr., R. Scheidler y HC Williams [18] en el caso de infraestructuras obtenidas a partir de campos numéricos cuadráticos reales. Utilizaron números de coma flotante para representar los números reales, y llamaron a estas representaciones CRIAD-representations resp.-representaciones. De manera más general, se puede definir un concepto similar para todas las infraestructuras unidimensionales; estos a veces se llaman-representaciones. [15]
Un conjunto de-representaciones es un subconjunto de tal que el mapa es una biyección y que para cada . Si es un mapa de reducción, es un conjunto de -representaciones; a la inversa, si es un conjunto de -representaciones, se puede obtener un mapa de reducción estableciendo , dónde es la proyección en $ X $. Por lo tanto, conjuntos de-representaciones y mapas de reducción están en una correspondencia uno a uno .
Usando la biyección , se puede detener la operación de grupo en a , por lo tanto girando en un grupo abeliano por , . En ciertos casos, esta operación de grupo se puede describir explícitamente sin usar y .
En caso de que se utilice el mapa de reducción , Se obtiene . Dado, uno puede considerar con y ; esto en general no es un elemento de, pero se puede reducir de la siguiente manera: se calcula y ; en caso de que este último no sea negativo, se reemplaza con y continúa. Si el valor fue negativo, uno tiene eso y eso , es decir .
Referencias
- ^ D. Shanks: La infraestructura de un campo cuadrático real y sus aplicaciones. Actas de la Conferencia de Teoría de Números (Univ. Colorado, Boulder, Colorado, 1972), págs. 217-224. Universidad de Colorado, Boulder, 1972. MR 389842
- ^ HW Lenstra Jr .: Sobre el cálculo de reguladores y números de clase de campos cuadráticos. Días de teoría de números, 1980 (Exeter, 1980), 123-150, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 56, Cambridge University Press, Cambridge, 1982. MR697260
- ^ RJ Schoof: Campos cuadráticos y factorización. Métodos computacionales en teoría de números, Parte II, 235–286, Matemáticas. Center Tracts, 155, Matemáticas. Centrum, Amsterdam, 1982. MR702519
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