¿Cada curva de Jordan tiene un cuadrado inscrito?
El problema del cuadrado inscrito , también conocido como el problema de la clavija cuadrada o la conjetura de Toeplitz , es una cuestión geométrica sin resolver : ¿Cada curva cerrada simple de un plano contiene los cuatro vértices de algún cuadrado ? Esto es cierto si la curva es convexa o suave a trozos y en otros casos especiales. El problema fue propuesto por Otto Toeplitz en 1911. [1] Arnold Emch [2] y Lev Schnirelmann obtuvieron algunos primeros resultados positivos . [3] A partir de 2020[actualizar], el caso general permanece abierto. [4]
Planteamiento del problema
Sea C una curva de Jordan . Un polígono P se inscribe en C si todos los vértices de P pertenecen a C . El problema del cuadrado inscrito pregunta:
- ¿Todas las curvas de Jordan admiten un cuadrado inscrito?
Se no requiere que los vértices del cuadrado aparecen a lo largo de la curva en cualquier orden particular.
Ejemplos de
Algunas figuras, como círculos y cuadrados , admiten un número infinito de cuadrados inscritos . Si C es un triángulo obtuso, entonces admite exactamente un cuadrado inscrito; los triángulos rectángulos admiten exactamente dos y los triángulos agudos admiten exactamente tres. [5]
Casos resueltos
Es tentador intentar resolver el problema del cuadrado inscrito demostrando que una clase especial de curvas de buen comportamiento siempre contiene un cuadrado inscrito, y luego aproximar una curva arbitraria mediante una secuencia de curvas de buen comportamiento e inferir que todavía existe un cuadrado inscrito. cuadrado inscrito como límite de cuadrados inscritos en las curvas de la secuencia. Una razón por la que este argumento no se ha llevado a cabo hasta el final es que el límite de una secuencia de cuadrados puede ser un solo punto en lugar de ser él mismo un cuadrado. Sin embargo, ahora se sabe que muchos casos especiales de curvas tienen un cuadrado inscrito. [6]
Curvas analíticas por partes
Arnold Emch ( 1916 ) mostró que las curvas analíticas por partes siempre tienen cuadrados inscritos. En particular, esto es cierto para los polígonos . La prueba de Emch considera las curvas trazadas por los puntos medios de los segmentos de línea secante a la curva, paralela a una línea dada. Muestra que, cuando estas curvas se intersecan con las curvas generadas de la misma manera para una familia perpendicular de secantes, hay un número impar de cruces. Por lo tanto, siempre existe al menos un cruce, que forma el centro de un rombo inscrito en la curva dada. Al rotar las dos líneas perpendiculares continuamente en ángulo recto y aplicar el teorema del valor intermedio , muestra que al menos uno de estos rombos es un cuadrado. [6]
Curvas localmente monótonas
Stromquist ha demostrado que cada curva simple de un plano monótono local admite un cuadrado inscrito. [7] La condición para que suceda la admisión es que para cualquier punto p , la curva C debe representarse localmente como una gráfica de una función y = f ( x ) .
En términos más precisos, para cualquier punto dado p en C , hay una vecindad U ( p ) y una dirección fija n ( p ) (la dirección del " eje y ") tal que ninguna cuerda de C -en esta vecindad - es paralelo an ( p ) .
Las curvas localmente monótonas incluyen todos los tipos de polígonos , todas las curvas convexas cerradas y todas las curvas C 1 por partes sin cúspides .
Curvas sin trapezoides especiales
Una condición aún más débil en la curva que la monotonicidad local es que, para algunos ε> 0, la curva no tiene trapezoides especiales inscritos de tamaño ε. Un trapezoide especial es un trapezoide isósceles con tres lados iguales, cada uno más largo que el cuarto lado, inscrito en la curva con un orden de vértice consistente con el orden de la curva en el sentido de las agujas del reloj. Su tamaño es la longitud de la parte de la curva que se extiende alrededor de los tres lados iguales. Si no existen tales trapezoides (o un número par de ellos), el argumento limitante para las curvas generales se puede llevar a cabo, mostrando que las curvas con esta propiedad siempre tienen un cuadrado inscrito. [6]
Curvas en anillos
Si una curva de Jordan está inscrita en un anillo cuyo radio exterior es como máximo 1 + √ 2 veces su radio interior, y está dibujada de tal manera que separa el círculo interior del anillo del círculo exterior, entonces contiene un plaza inscrita. En este caso, si la curva dada es aproximada por alguna curva de buen comportamiento, entonces los cuadrados grandes que contienen el centro del anillo y están inscritos en la aproximación se separan topológicamente de los cuadrados inscritos más pequeños que no contienen el centro. El límite de una secuencia de cuadrados grandes debe ser nuevamente un cuadrado grande, en lugar de un punto degenerado, por lo que se puede usar el argumento limitante. [6]
Curvas simétricas
La respuesta afirmativa también es conocida por curvas simétricas centralmente, incluso fractales como el copo de nieve de Koch , y curvas con simetría reflectante a través de una línea. [8]
Gráficos de Lipschitz
En 2017, Terence Tao publicó una prueba de la existencia de un cuadrado en las curvas formado por la unión de las gráficas de dos funciones , ambas tienen el mismo valor en los extremos de las curvas y ambas obedecen a una condición de continuidad de Lipschitz con Constante de Lipschitz menor que uno. Tao también formuló varias conjeturas relacionadas. [9]
Variantes y generalizaciones
Cabe preguntarse si se pueden inscribir otras formas en una curva de Jordan arbitraria. Se sabe que para todo triángulo T y Jordan curva C , hay un triángulo similar a T e inscrita en C . [10] [11] Por otra parte, el conjunto de los vértices de estos triángulos es denso en C . [12] En particular, siempre hay un triángulo equilátero inscrito .
También se sabe que cualquier curva de Jordan admite un rectángulo inscrito . En 2020, Morales y Villanueva caracterizaron continuos planos conectados localmente que admiten al menos un rectángulo inscrito. [13] En 2020, Joshua Evan Greene y Andrew Lobb demostraron que por cada suavizar Jordan curva C y el rectángulo R en el plano euclidiano existe un rectángulo similar a R cuyos vértices se encuentran en C . Esto generaliza tanto la existencia de rectángulos (de forma arbitraria) como la existencia de cuadrados sobre curvas suaves, que se conoce desde la obra de Šnirel'man (1944) . [4] [14]
Algunas generalizaciones del problema del cuadrado inscrito consideran polígonos inscritos para curvas e incluso continuos más generales en espacios euclidianos de dimensiones superiores . Por ejemplo, Stromquist demostró que toda curva cerrada continua C en R n que satisfaga la "Condición A" de que no hay dos cuerdas de C en una vecindad adecuada de cualquier punto que sean perpendiculares admite un cuadrilátero inscrito con lados iguales y diagonales iguales. [7] Esta clase de curvas incluye todas las curvas C 2 . Nielsen y Wright demostraron que cualquier continuo simétrico K en R n contiene muchos rectángulos inscritos. [8] HW Guggenheimer demostró que cada hipersuperficie C 3 - difeomórfica a la esfera S n −1 contiene 2 n vértices de un n- cubo euclidiano regular . [15]
Referencias
- ^ Toeplitz, O. (1911), "Über einige Aufgaben der Analysis situs", Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft (en alemán), 94 : 197
- ^ Emch, Arnold (1916), "Sobre algunas propiedades de las medianas de curvas continuas cerradas formadas por arcos analíticos", American Journal of Mathematics , 38 (1): 6–18, doi : 10.2307 / 2370541 , JSTOR 2370541 , MR 1506274
- ^ Šnirel'man, LG (1944), "Sobre ciertas propiedades geométricas de curvas cerradas", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 10 : 34–44, MR 0012531
- ^ a b Hartnett, Kevin (25 de junio de 2020), "La nueva perspectiva geométrica resuelve el viejo problema de los rectángulos" , Quanta Magazine , consultado el 26 de junio de 2020.
- ^ Bailey, Herbert; DeTemple, Duane (1998), "Cuadrados inscritos en ángulos y triángulos", Revista de matemáticas , 71 (4): 278-284, doi : 10.2307 / 2690699 , JSTOR 2690699
- ^ a b c d Matschke, Benjamin (2014), "A survey on the square peg problem", Notices of the American Mathematical Society , 61 (4): 346–352, doi : 10.1090 / noti1100
- ^ a b Stromquist, Walter (1989), "Cuadrados inscritos y cuadriláteros en forma de cuadrados en curvas cerradas", Mathematika , 36 (2): 187-197, doi : 10.1112 / S0025579300013061 , MR 1045781
- ^ a b Nielsen, Mark J .; Wright, SE (1995), "Rectángulos inscritos en continuos simétricos", Geometriae Dedicata , 56 (3): 285–297, doi : 10.1007 / BF01263570 , MR 1340790
- ^ Tao, Terence (2017), "Un enfoque de integración para el problema de la clavija cuadrada de Toeplitz", Forum of Mathematics , 5 : e30, doi : 10.1017 / fms.2017.23 , MR 3731730; ver también la publicación del blog de Tao sobre el mismo conjunto de resultados
- ^ Meyerson, Mark D. (1980), "Triángulos equiláteros y curvas continuas", Fundamenta Mathematicae , 110 (1): 1-9, doi : 10.4064 / fm-110-1-1-9 , MR 0600575
- ^ Kronheimer, EH; Kronheimer, PB (1981), "The tripos problem", Journal of the London Mathematical Society , Second Series, 24 (1): 182-192, doi : 10.1112 / jlms / s2-24.1.182 , MR 0623685
- ^ Nielsen, Mark J. (1992), "Triángulos inscritos en curvas cerradas simples", Geometriae Dedicata , 43 (3): 291-297, doi : 10.1007 / BF00151519 , MR 1181760
- ^ Morales-Fuentes, Ulises; Villanueva-Segovia, Cristina (2021), "Rectángulos inscritos en un plano continuo conectado localmente", Actas de topología , 58 : 37–43
- ^ Greene, Joshua Evan; Lobb, Andrew (18 de mayo de 2020), El problema de la clavija rectangular , arXiv : 2005.09193
- ^ Guggenheimer, H. (1965), "Conjuntos finitos en curvas y superficies", Israel Journal of Mathematics , 3 (2): 104-112, doi : 10.1007 / BF02760036 , MR 0188898
Otras lecturas
- Klee, Victor ; Wagon, Stan (1991), "Cuadrados inscritos", Problemas antiguos y nuevos sin resolver en geometría plana y teoría de números , The Dolciani Mathematical Expositions, 11 , Cambridge University Press, págs. 58-65, 137-144, ISBN 978-0-88385-315-3
enlaces externos
- Mark J. Nielsen, Figuras inscritas en curvas. Un breve recorrido por un viejo problema
- Cuadrados inscritos: Denne habla en el blog de Jordan Ellenberg
- Grant Sanderson, ¿A quién le importa la topología? (Problema de rectángulo inscrito) , 3Blue1Brown , YouTube a - video que muestra una solución topológica a una versión simplificada del problema.