En geometría diferencial , la integración a lo largo de las fibras de una forma k produce una
-forma donde m es la dimensión de la fibra, vía "integración".
Dejar
ser un haz de fibras sobre un colector con fibras orientadas compactas. Si
es una forma k en E , entonces para los vectores tangentes w i en b , sea
![(\pi _{*}\alpha )_{b}(w_{1},\dots ,w_{{k-m}})=\int _{{\pi ^{{-1}}(b)}}\beta](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es la forma superior inducida en la fibra
; es decir, un
-forma dada por: con
ascensores de
a E ,
![{\displaystyle \beta (v_{1},\dots ,v_{m})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{m},{\widetilde {w_{1}}},\dots ,{\widetilde {w_{k-m}}}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(Para ver
es suave, resuélvalo en coordenadas; cf. un ejemplo a continuación.)
Luego
es un mapa lineal
. Según la fórmula de Stokes, si las fibras no tienen límites (es decir,
), el mapa desciende a la cohomología de De Rham :
![{\displaystyle \pi _{*}:\operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{k-m}(B;\mathbb {R} ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A esto también se le llama integración de fibra.
Ahora suponga
es un paquete de esferas ; es decir, la fibra típica es una esfera. Entonces hay una secuencia exacta
, K el kernel, lo que conduce a una secuencia larga y exacta, dejando caer el coeficiente
y usando
:
,
llamada secuencia de Gysin .
Dejar
ser una proyección obvia. Primero asume
con coordenadas
y considere una forma k :
![\alpha =f\,dx_{{i_{1}}}\wedge \dots \wedge dx_{{i_{k}}}+g\,dt\wedge dx_{{j_{1}}}\wedge \dots \wedge dx_{{j_{{k-1}}}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces, en cada punto de M ,
[1]
De este cálculo local, la siguiente fórmula se sigue fácilmente: si
¿Hay alguna forma k en
![\pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d\pi _{*}(\alpha )](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es la restricción de
a
.
Como una aplicación de esta fórmula, deje
ser un mapa suave (considerado como una homotopía). Entonces la composicion
es un operador de homotopía :
![d\circ h+h\circ d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M),](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
lo que implica
induce el mismo mapa en cohomología, el hecho conocido como la invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham. Como corolario, por ejemplo, sea U una bola abierta en R n con centro en el origen y sea
. Luego
, el hecho conocido como el lema de Poincaré .
Dado un paquete de vectores π : E → B sobre una variedad, decimos que una forma diferencial α en E tiene soporte vertical-compacto si la restricción
tiene soporte compacto para cada b en B . Nosotros escribimos
para el espacio vectorial de formas diferenciales en E con soporte vertical-compacto. Si E está orientado como un paquete vectorial, exactamente como antes, podemos definir la integración a lo largo de la fibra:
![{\displaystyle \pi _{*}:\Omega _{vc}^{*}(E)\to \Omega ^{*}(B).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Lo siguiente se conoce como fórmula de proyección. [2] Hacemos
un derecho
-módulo por configuración
.
Prueba: 1. Dado que la afirmación es local, podemos suponer que π es trivial: es decir,
es una proyección. Dejar
sean las coordenadas de la fibra. Si
, entonces, desde
es un homomorfismo de anillo,
![{\displaystyle \pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1},\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera similar, ambos lados son cero si α no contiene dt . La prueba de 2. es similar.