En matemáticas, una orientación de un conjunto de vectores real es una generalización de la orientación de un espacio vectorial ; así, dado un paquete de vectores real π: E → B , una orientación de E significa: para cada fibra E x , hay una orientación del espacio vectorial E x y uno exige que cada mapa de trivialización (que es un mapa de paquete)
es la conservación de la orientación de las fibras, donde a R n se le da la orientación estándar . En términos más concisos, esto dice que el grupo de estructura del paquete de tramas de E , que es el grupo lineal general real GL n ( R ), se puede reducir al subgrupo que consiste en aquellos con determinante positivo.
Si E es un paquete de vectores real de rango n , entonces una elección de métrica en E equivale a una reducción del grupo de estructura al grupo ortogonal O ( n ). En esa situación, una orientación de E equivale a una reducción de O ( n ) al grupo ortogonal especial SO ( n ).
Un paquete de vectores junto con una orientación se denomina paquete orientado . Un conjunto de vectores al que se le puede dar una orientación se denomina conjunto de vectores orientable .
El invariante básico de un paquete orientado es la clase de Euler . La multiplicación (es decir, el producto de taza) por la clase de Euler de un paquete orientado da lugar a una secuencia de Gysin .
Ejemplos de
Un paquete de vectores complejo está orientado de forma canónica.
La noción de una orientación de un conjunto de vectores generaliza una orientación de una variedad diferenciable : una orientación de una variedad diferenciable es una orientación de su conjunto tangente. En particular, una variedad diferenciable es orientable si y solo si su paquete tangente es orientable como un paquete vectorial. (nota: como variedad, un paquete tangente siempre es orientable).
Operaciones
Dar una orientación a un conjunto de vectores reales E de rango n es dar una orientación al conjunto de determinantes (reales) del E . Del mismo modo, para dar una orientación a E es dar una orientación a la bundle esfera unidad de E .
Así como un conjunto de vectores reales es clasificado por el Grassmanniano infinito real , los paquetes orientados se clasifican por el Grassmanniano infinito de espacios vectoriales reales orientados.
Thom espacio
Desde el punto de vista cohomológico, para cualquier anillo Λ, una orientación Λ de un conjunto de vectores reales E de rango n significa una elección (y existencia) de una clase
en el anillo de cohomología del espacio de Thom T ( E ) tal que u genera como gratis -módulo global y localmente: es decir,
es un isomorfismo (llamado isomorfismo de Thom ), donde "tilde" significa cohomología reducida , que restringe a cada isomorfismo
inducida por la banalización . Se puede demostrar, con algo de trabajo, [ cita requerida ] que la noción habitual de una orientación coincide con una Z orientación-.
Ver también
- La integración a lo largo de la fibra
- Paquete de orientación (o haz de orientación ): se utiliza para formular el isomorfismo de Thom para paquetes no orientados.
Referencias
- Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90613-4
- JP May, Un curso conciso en topología algebraica. Prensa de la Universidad de Chicago, 1999.
- Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), clases de características , Annals of Mathematics Studies, 76 , Princeton University Press; Prensa de la Universidad de Tokio, ISBN 978-0-691-08122-9