En el campo de las matemáticas conocido como topología algebraica , la secuencia de Gysin es una secuencia larga y exacta que relaciona las clases de cohomología del espacio base , la fibra y el espacio total de un haz de esferas . La secuencia de Gysin es una herramienta útil para calcular los anillos de cohomología dada la clase de Euler del haz de esferas y viceversa. Fue introducido por Gysin ( 1942 ) y se generaliza mediante la secuencia espectral de Serre .
Definición
Considere un paquete de esferas orientadas a fibra con espacio total E , espacio base M , fibra S k y mapa de proyección :
Cualquier paquete de este tipo define una clase de cohomología e de grado k + 1 llamada clase de Euler del paquete.
Cohomología de De Rham
La discusión de la secuencia es más clara en la cohomología de De Rham . Allí, las clases de cohomología están representadas por formas diferenciales , de modo que e puede ser representado por una forma ( k + 1).
El mapa de proyección induce un mapa en cohomología llamado su retroceso
En el caso de un paquete de fibra, también se puede definir un mapa de empuje hacia adelante
que actúa mediante la integración de formas diferenciales de fibra en la esfera orientada - tenga en cuenta que este mapa va "en el camino equivocado" : es un mapa covariante entre objetos asociados con un funtor contravariante.
Gysin demostró que la siguiente es una secuencia larga y exacta
dónde es el producto de la cuña de una forma diferencial con la clase e de Euler .
Cohomología integral
La secuencia de Gysin es una secuencia larga y exacta no solo para la cohomología de formas diferenciales de De Rham , sino también para la cohomología con coeficientes integrales. En el caso integral, es necesario reemplazar el producto de cuña con la clase Euler con el producto de taza , y el mapa de empuje hacia adelante ya no corresponde a la integración.
Homomorfismo de gysin en geometría algebraica
Sea i : X → Y una incrustación regular (cerrada) de codimensión d , Y ' → Y un morfismo e i ' : X ' = X × Y Y ' → Y ' el mapa inducido. Sea N el retroceso del paquete normal de i a X ' . Luego, el refinado homomorfismo de Gysin i ! se refiere a la composición
dónde
- σ es el homomorfismo de especialización ; que envía una k -dimensional subvariedad V para el cono de la normalidad a la intersección de V y X ' en V . El resultado se encuentra en N a.
- El segundo mapa es el homomorfismo de Gysin (habitual) inducido por la incrustación de sección cero .
El homomorfismo i ! codifica el producto de intersección en la teoría de la intersección en el sentido de que uno muestra o define el producto de intersección de X y V como: [1]
Ejemplo : Dado un paquete del vector E , deja s : X → E ser una sección de E . Entonces, cuando s es una sección regular ,es la clase de la cero-locus de s , en donde [ X ] es la clase fundamental de X . [2]
Ver también
Notas
- ^ Fulton 1998 , ejemplo 6.2.1 ..
- ^ Fulton 1998 , Proposición 14.1. (C).
Fuentes
- Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 978-038790613-3
- Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- Gysin, Werner (1942), "Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten" , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 61-122, doi : 10.1007 / bf02565612 , ISSN 0010-2571 , MR 0006511