Interior (topología)
En matemáticas , específicamente en topología , el interior de un subconjunto S de un espacio topológico X es la unión de todos los subconjuntos de S que están abiertos en X. Un punto que está en el interior de S es un punto interior de S.
El interior de S es el complemento de la clausura del complemento de S. En este sentido interior y clausura son nociones duales .
El exterior de un conjunto S es el complemento de la clausura de S ; consiste en los puntos que no están ni en el conjunto ni en su frontera . El interior, el límite y el exterior de un subconjunto juntos dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de estos están vacíos ). El interior y el exterior siempre están abiertos mientras que el límite siempre está cerrado . Los conjuntos con interior vacío han sido llamados conjuntos límite . [1]
Si S es un subconjunto de un espacio euclidiano , entonces x es un punto interior de S si existe una bola abierta centrada en x que está completamente contenida en S. (Esto se ilustra en la sección introductoria de este artículo).
Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto S de un espacio métrico X con métrica d : x es un punto interior de S si existe r > 0 , tal que y está en S siempre que la distancia d ( x , y ) < r .
Esta definición se generaliza a espacios topológicos reemplazando "bola abierta" por " conjunto abierto ". Sea S un subconjunto de un espacio topológico X . Entonces x es un punto interior de S si x está contenido en un subconjunto abierto de X que está completamente contenido en S. (Equivalentemente, x es un punto interior de S si S es una vecindad de x ).
