En las matemáticas del empaquetamiento de círculos , una espiral de Doyle es un patrón de círculos que no se cruzan en el plano, cada tangente a otros seis. Las secuencias de círculos vinculados entre sí a través de puntos opuestos de tangencia se encuentran en espirales logarítmicas (o, en casos degenerados , círculos o líneas) que tienen, en general, tres formas diferentes de espirales.
Estos patrones llevan el nombre del matemático Peter G. Doyle, quien hizo una importante contribución a su construcción matemática a fines de la década de 1980 o principios de la de 1990. [2] Sin embargo, su estudio sobre filotaxis (las matemáticas del crecimiento de las plantas) se remonta a principios del siglo XX. [3] [1]
Parametrización
La forma precisa de cualquier espiral Doyle se puede parametrizar mediante un par de números naturales que describen el número de brazos espirales para cada una de las tres formas de agrupar círculos por sus puntos opuestos de tangencia. Si el número de brazos de dos de los tres tipos de brazo en espiral es y , con y con menos de brazos del tercer tipo, entonces el número de brazos del tercer tipo es necesariamente . Como casos especiales de esta fórmula, cuandolos brazos del tercer tipo degeneran en círculos, y hay infinitos de ellos. Y cuando los dos tipos de brazos con el número más pequeño de copias son reflejos de espejo entre sí y los brazos con las copias degeneran en líneas rectas. Por ejemplo, en la ilustración que se muestra, hay ocho brazos espirales con la misma forma que el brazo sombreado, otros ocho brazos espirales con la forma reflejada en espejo y dieciséis líneas radiales de círculos, por lo que esta espiral se puede parametrizar como, . [4]
Alternativamente, la espiral de Doyle se puede parametrizar mediante un par de números reales y describiendo los tamaños relativos de los círculos. Peter Doyle observó que, cuando un círculo unitario está rodeado por otros seis círculos con radios, , , , , y , luego estos seis círculos circundantes se cierran para formar un anillo de círculos mutuamente tangentes, todos tangentes al círculo de la unidad central. [2] La espiral de Doyle se puede construir usando los mismos radios relativos para anillos de seis círculos que rodean cada círculo previamente construido. El sistema de círculos resultante se cierra sobre sí mismo para formar una espiral Doyle de círculos que no se cruzan en el plano solo para ciertos pares especiales de números. y , que se puede encontrar en los parámetros enteros y mediante una búsqueda numérica. Cuándo no es uno de estos pares especiales, el sistema de círculos resultante todavía consiste en brazos espirales que se envuelven alrededor de un punto central, pero con un ángulo de rotación alrededor de ese punto central que no es una fracción entera de , lo que hace que se superpongan de forma no local. Los dos parámetros reales también se pueden combinar en un solo número complejo , interpretando el plano en el que se dibujan los círculos como el plano complejo . [4] Los parámetrosasociados con una espiral de Doyle deben ser números algebraicos . [5]
Casos especiales
La secuencia loxodrómica de círculos tangentes de Coxeter es una espiral de Doyle con parámetros y o con y , dónde denota la proporción áurea . Dentro del único brazo en espiral de curvatura más cerrada, los círculos forman una secuencia cuyos radios son potencias de, en el que cada cuatro círculos consecutivos de la secuencia son tangentes. [7]
El empaquetamiento hexagonal estándar del plano por círculos unitarios también se puede interpretar como un caso especial degenerado de la espiral de Doyle, el caso obtenido mediante el uso de los parámetros. A diferencia de otras espirales Doyle, no tiene un punto límite central. [4]
Aplicaciones
Las espirales de Doyle forman un análogo discreto de la función exponencial [4] Las espirales de círculos tangentes se han utilizado para estudiar los grupos kleinianos . [8]
Las espirales de círculos tangentes, a menudo con números de brazos de Fibonacci , se han utilizado para modelar la filotaxis , los patrones de crecimiento en espiral característicos de ciertas especies de plantas, comenzando con el trabajo de Gerrit van Iterson en 1907. [3] En esta aplicación, una sola espiral de círculos puede llamarse parastichy y los parámetros y de la espiral de Doyle pueden llamarse números parastichy . La diferenciaes también un número parastichy (si es distinto de cero), el número de parastichies del tercer tipo. Cuando los dos números parastichy y son números de Fibonacci consecutivos o números de Fibonacci que están separados por un paso en la secuencia de números de Fibonacci, entonces el tercer número parastichy también será un número de Fibonacci. [9] Para modelar el crecimiento de las plantas de esta manera, también se pueden usar empaquetaduras en espiral de círculos tangentes en superficies distintas del plano, incluidos cilindros y conos . [10]
Las empaquetaduras de círculos en espiral también se han estudiado como motivo decorativo en el diseño arquitectónico . [6]
Las espirales Doyle (y la empaquetadura hexagonal del plano) son las únicas posibles "empaquetaduras de círculos hexagonales coherentes" en el plano, donde "coherente" significa que no hay dos círculos superpuestos y "hexagonal" significa que cada círculo es tangente a otros seis que rodearlo de un anillo de círculos tangentes. [4] Aplicar una transformación de Möbius a una espiral de Doyle puede producir un patrón relacionado de círculos tangentes que no se cruzan, cada tangente a otros seis, con un patrón de doble espiral en el que las secuencias de círculos conectadas salen en espiral desde un punto central y hacia otro; sin embargo, algunos círculos de este patrón no estarán rodeados por sus seis círculos vecinos. [7] [8]
Son posibles patrones adicionales con seis círculos que rodean cada círculo interior pero que solo cubren un subconjunto parcial del plano y con círculos en el límite de esa región que no están completamente rodeados por otros círculos. [11] También es posible formar patrones espirales de círculos tangentes cuya estructura local se asemeja a una cuadrícula cuadrada en lugar de una cuadrícula hexagonal, o transformar continuamente estos patrones en empaquetaduras Doyle o viceversa. [9] Sin embargo, el espacio de realizaciones de empaquetaduras espirales localmente cuadradas es de dimensión infinita, a diferencia de las espirales Doyle, que sólo pueden determinarse mediante un número constante de parámetros. [12]
También es posible describir sistemas en espiral de círculos superpuestos que cubren el plano, en lugar de círculos que no se cruzan que empacan el plano, con cada punto del plano cubierto por como máximo dos círculos, excepto los puntos donde tres círculos se encuentran en ángulos, y con cada círculo rodeado por otros seis. Estos tienen muchas propiedades en común con las espirales Doyle. [13]
La espiral de Doyle, en la que los centros del círculo se encuentran en espirales logarítmicas y sus radios aumentan geométricamente en proporción a su distancia desde el punto límite central, debe distinguirse de un patrón de espiral diferente de círculos unitarios disjuntos pero no tangentes , que también se asemejan a ciertas formas. del crecimiento de las plantas, como las semillas de los girasoles . Este patrón diferente se puede obtener colocando los centros de los círculos unitarios en una espiral de Fermat con la escala adecuada , en desplazamientos angulares de entre sí en relación con el centro de la espiral, donde de nuevo es la proporción áurea. [14] [15] Para más información, véase la espiral de Fermat § La proporción áurea y el ángulo áureo .
Referencias
- ^ a b Emch, Arnold (noviembre de 1911), "Matemáticas e ingeniería en la naturaleza" , Popular Science Monthly , 79 : 450–458
- ^ a b La descripción de Doyle de los seis radios del anillo de discos que rodean un disco central en estas espirales parece no haber sido publicada; es citado como una "comunicación oral" por Carter, Ithiel; Rodin, Burt (1992), "Un problema inverso para el empaquetamiento circular y el mapeo conforme", Transactions of the American Mathematical Society , 334 (2): 861–875, doi : 10.2307 / 2154486 , MR 1081937, y se describe sin citar como una observación de Doyle en Beardon, Dubejko & Stephenson (1994)
- ^ a b Jean, Roger V. (mayo de 1983), "Revisión introductoria: Modelado matemático en filotaxis: el estado del arte", Biociencias matemáticas , 64 (1): 1–27, doi : 10.1016 / 0025-5564 (83) 90025- 1
- ^ a b c d e Beardon, Alan F .; Dubejko, Tomasz; Stephenson, Kenneth (1994), "Empaquetaduras de círculo hexagonal en espiral en el plano", Geometriae Dedicata , 49 (1): 39–70, doi : 10.1007 / BF01263534 , MR 1261573
- ^ Stephenson, Kenneth (2005), Introducción al empaquetado circular: la teoría de las funciones analíticas discretas , Cambridge University Press, Cambridge, p. 326 , ISBN 978-0-521-82356-2, MR 2131318
- ^ a b Fernández-Cabo, MC (junio de 2017), "Círculos tangentes en el plano con brújula variable", Journal of Architectural Engineering , 23 (2): 04017001, doi : 10.1061 / (asce) ae.1943-5568.0000233
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Otras lecturas
- Sutcliffe, Alan (2008), " Empaquetaduras de círculos en espiral Doyle animados" , en Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo H. (eds.), Bridges Leeuwarden: Matemáticas, Música, Arte, Arquitectura, Cultura , Londres: Tarquin Publications, págs. 131-138, ISBN 9780966520194
- Yamagishi, Yoshikazu; Sushida, Takamichi (abril de 2017), "Empaquetaduras de disco en espiral", Physica D: Nonlinear Phenomena , 345 : 1–10, doi : 10.1016 / j.physd.2016.12.003
enlaces externos
- Explorador de espirales Doyle , Robin Houston