Una teoría de gauge es un tipo de teoría en física . La palabra calibre significa una medida , un grosor, una distancia intermedia (como en las vías del tren ) o una cantidad resultante de unidades por cierto parámetro (una cantidad de vueltas en una pulgada de tela o una cantidad de bolas de plomo en una libra). de municiones ). [1] Las teorías modernas describen las fuerzas físicas en términos de campos , por ejemplo, el campo electromagnético , el campo gravitacional y los campos que describen las fuerzas entre las partículas elementales.. Una característica general de estas teorías de campo es que los campos fundamentales no se pueden medir directamente; sin embargo, se pueden medir algunas cantidades asociadas, como cargas, energías y velocidades. Por ejemplo, digamos que no puede medir el diámetro de una bola de plomo, pero puede determinar cuántas bolas de plomo, que son iguales en todos los sentidos, se requieren para hacer una libra. Usando el número de bolas, la masa elemental de plomo y la fórmula para calcular el volumen de una esfera a partir de su diámetro, se podría determinar indirectamente el diámetro de una sola bola de plomo. En las teorías de campo, diferentes configuraciones de los campos no observables pueden resultar en cantidades observables idénticas. Una transformación de una de estas configuraciones de campo a otra se denomina transformación de calibre ; [2] [3] la falta de cambio en las cantidades medibles, a pesar de que el campo se está transformando, es una propiedad llamada invariancia de calibre . Por ejemplo, si pudieras medir el color de las bolas de plomo y descubrir que cuando cambias el color, todavía encajas la misma cantidad de bolas en una libra, la propiedad de "color" mostraría invariancia de calibre . Dado que cualquier tipo de invariancia bajo una transformación de campo se considera una simetría , la invariancia de calibre a veces se llama simetría de calibre . Generalmente, cualquier teoría que tenga la propiedad de invariancia de gauge se considera una teoría de gauge.
Por ejemplo, en el electromagnetismo los campos eléctrico y magnético, E y B son observables, mientras que los potenciales V ("voltaje") y A (el potencial vectorial ) no lo son. [4] En virtud de una transformación de norma en la que se añade una constante para V , ningún cambio observable se produce en E o B .
Con el advenimiento de la mecánica cuántica en la década de 1920, y con los sucesivos avances en la teoría cuántica de campos , la importancia de las transformaciones de gauge ha crecido constantemente. Las teorías de calibre restringen las leyes de la física, porque todos los cambios inducidos por una transformación de calibre tienen que anularse entre sí cuando se escriben en términos de cantidades observables. A lo largo del siglo XX, los físicos se dieron cuenta gradualmente de que todas las fuerzas ( interacciones fundamentales ) surgen de las restricciones impuestas por las simetrías de gauge locales , en cuyo caso las transformaciones varían de un punto a otro en el espacio y el tiempo . La teoría de campos cuánticos perturbativos (normalmente empleada para la teoría de la dispersión) describe las fuerzas en términos de partículas mediadoras de fuerzas llamadas bosones gauge . La naturaleza de estas partículas está determinada por la naturaleza de las transformaciones del medidor. La culminación de estos esfuerzos es el Modelo Estándar , una teoría cuántica de campos que predice con precisión todas las interacciones fundamentales excepto la gravedad .
Historia e importancia
La teoría de campo más antigua que tenía una simetría de gauge fue la formulación de Maxwell , en 1864-1865, de la electrodinámica (" Una teoría dinámica del campo electromagnético "). La importancia de esta simetría pasó desapercibida en las primeras formulaciones. De manera igualmente inadvertida, Hilbert había derivado las ecuaciones de la relatividad general de Einstein postulando una simetría bajo cualquier cambio de coordenadas. [ cita requerida ] [ cuando? ] Más tarde, Hermann Weyl , inspirado por el éxito en la relatividad general de Einstein , conjeturaba (incorrectamente, como resultó) en 1919 que la invariancia bajo el cambio de escala o "ancho" (un término inspirado en los diversos anchos de vía de los ferrocarriles) también podría ser una simetría local del electromagnetismo. [5] [6] : 5, 12 Aunque la elección de Weyl del indicador fue incorrecta, el nombre "indicador" se mantuvo en el enfoque. Después del desarrollo de la mecánica cuántica , Weyl, Fock y London modificaron su elección de calibre reemplazando el factor de escala con un cambio de fase de onda y aplicándolo con éxito al electromagnetismo. [7] La simetría de calibre fue generalizada matemáticamente en 1954 por Chen Ning Yang y Robert Mills en un intento de describir las fuertes fuerzas nucleares . Esta idea, denominada teoría de Yang-Mills , encontró más tarde aplicación en la teoría cuántica de campos de la fuerza débil y su unificación con el electromagnetismo en la teoría electrodébil .
La importancia de las teorías de gauge para la física se deriva de su tremendo éxito al proporcionar un marco unificado para describir el comportamiento mecánico-cuántico del electromagnetismo , la fuerza débil y la fuerza fuerte . Esta teoría de gauge, conocida como Modelo Estándar , describe con precisión las predicciones experimentales con respecto a tres de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza.
En física clásica
Electromagnetismo
Históricamente, el primer ejemplo de simetría de gauge que se descubrió fue el electromagnetismo clásico . [ aclaración necesaria No para campos gravitacionales clásicos? ] Un campo eléctrico estático se puede describir en términos de un potencial eléctrico (voltaje) que se define en cada punto del espacio, y en el trabajo práctico es convencional tomar la Tierra como una referencia física que define el nivel cero del potencial, o tierra . Pero solo las diferencias de potencial se pueden medir físicamente, razón por la cual un voltímetro debe tener dos sondas y solo puede informar la diferencia de voltaje entre ellas. Por lo tanto, se podría optar por definir todas las diferencias de voltaje en relación con algún otro estándar, en lugar de la Tierra, lo que resulta en la adición de un desplazamiento constante. [8] Si el potenciales una solución a las ecuaciones de Maxwell, luego, después de esta transformación de calibre, el nuevo potenciales también una solución a las ecuaciones de Maxwell y ningún experimento puede distinguir entre estas dos soluciones. En otras palabras, las leyes de la física que gobiernan la electricidad y el magnetismo (es decir, las ecuaciones de Maxwell) son invariantes bajo la transformación de calibre. [9] Las ecuaciones de Maxwell tienen una simetría de calibre.
Generalizando de la electricidad estática al electromagnetismo, tenemos un segundo potencial, el potencial del vector magnético A , que también puede sufrir transformaciones de calibre. Estas transformaciones pueden ser locales. Es decir, en lugar de agregar una constante a V , se puede agregar una función que tome diferentes valores en diferentes puntos en el espacio y el tiempo. Si A también se cambia de determinadas formas correspondientes, resultan los mismos campos E y B. La relación matemática detallada entre los campos E y B y los potenciales V y A se da en el artículo Fijación de calibre , junto con la declaración precisa de la naturaleza de la transformación de calibre. El punto relevante aquí es que los campos siguen siendo los mismos bajo la transformación de calibre y, por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell aún se satisfacen.
La simetría de calibre está estrechamente relacionada con la conservación de la carga . Supongamos que existiera algún proceso mediante el cual se pudiera violar brevemente la conservación de la carga creando una carga q en un cierto punto del espacio, 1, moviéndola a algún otro punto 2 y luego destruyéndola. Podríamos imaginar que este proceso fue consistente con la conservación de energía. Podríamos postular una regla que establezca que la creación de la carga requiere una entrada de energía E 1 = qV 1 y su destrucción libera E 2 = qV 2 , lo que parecería natural ya que qV mide la energía extra almacenada en el campo eléctrico debido a la existencia de una carga en un momento determinado. Fuera del intervalo durante el cual existe la partícula, se satisfaría la conservación de energía, porque la energía neta liberada por la creación y destrucción de la partícula, qV 2 - qV 1 , sería igual al trabajo realizado al mover la partícula de 1 a 2, qV 2 - qV 1 . Pero aunque este escenario salva la conservación de la energía, viola la simetría de calibre. La simetría de calibre requiere que las leyes de la física sean invariantes bajo la transformación, lo que implica que ningún experimento debería poder medir el potencial absoluto, sin referencia a algún estándar externo como una tierra eléctrica. Pero las normas propuestas E 1 = qV 1 y E 2 = qV 2 para las energías de creación y destrucción serían permitir un experimentador para determinar el potencial absoluto, simplemente mediante la comparación de la energía de entrada requerida para crear la carga q en un punto particular en el espacio en el caso de que el potencial sea y respectivamente. La conclusión es que si se mantiene la simetría de gauge y se conserva la energía, entonces se debe conservar la carga. [10]
Relatividad general
Como se discutió anteriormente, las transformaciones de gauge para la relatividad general clásica (es decir, no mecánica cuántica) son transformaciones de coordenadas arbitrarias. [11] Técnicamente, las transformaciones deben ser invertibles, y tanto la transformación como su inversa deben ser suaves, en el sentido de ser diferenciables un número arbitrario de veces.
Un ejemplo de simetría en una teoría física: invariancia de traducción
Algunas simetrías globales bajo cambios de coordenadas son anteriores tanto a la relatividad general como al concepto de indicador. Por ejemplo, Galileo y Newton introdujeron la noción de invariancia de traducción [ ¿cuándo? ] , un avance del concepto aristotélico de que diferentes lugares en el espacio, como la tierra versus los cielos, obedecían diferentes reglas físicas.
Supongamos, por ejemplo, que un observador examina las propiedades de un átomo de hidrógeno en la Tierra, el otro, en la Luna (o en cualquier otro lugar del universo), el observador encontrará que sus átomos de hidrógeno exhiben propiedades completamente idénticas. Nuevamente, si un observador hubiera examinado un átomo de hidrógeno hoy y el otro hace 100 años (o en cualquier otro momento en el pasado o en el futuro), los dos experimentos producirían nuevamente resultados completamente idénticos. La invariancia de las propiedades de un átomo de hidrógeno con respecto al tiempo y lugar donde se investigaron estas propiedades se llama invariancia de traducción.
Recordando a nuestros dos observadores de diferentes edades: el tiempo de sus experimentos se desplaza en 100 años. Si el tiempo en que el observador más viejo hizo el experimento fue t , el tiempo del experimento moderno es t +100 años. Ambos observadores descubren las mismas leyes de la física. Debido a que la luz de los átomos de hidrógeno en galaxias distantes puede llegar a la Tierra después de haber viajado a través del espacio durante miles de millones de años, en efecto, se pueden hacer tales observaciones cubriendo períodos de tiempo casi desde el Big Bang , y muestran que las leyes de la física siempre ha sido la misma.
En otras palabras, si en la teoría cambiamos el tiempo t a t +100 años (o cualquier otro cambio de tiempo), las predicciones teóricas no cambian. [12]
Otro ejemplo de simetría: la invariancia de la ecuación de campo de Einstein bajo transformaciones de coordenadas arbitrarias
En Einstein de la relatividad general , como las coordenadas x , y , z y t son no sólo "relativo" en el sentido global de la traducción como, rotaciones, etc., pero se vuelven completamente arbitrarias, de modo que, por ejemplo, uno puede definir una coordenada similar al tiempo completamente nueva de acuerdo con alguna regla arbitraria como , dónde tiene dimensiones de tiempo y, sin embargo, las ecuaciones de Einstein tendrán la misma forma. [11] [13]
La invariancia de la forma de una ecuación bajo una transformación de coordenadas arbitrarias se denomina habitualmente covarianza general , y las ecuaciones con esta propiedad se denominan escritas en forma covariante. La covarianza general es un caso especial de invariancia de calibre.
Las ecuaciones de Maxwell también se pueden expresar en una forma generalmente covariante, que es tan invariante bajo la transformación de coordenadas general como la ecuación de campo de Einstein.
En mecánica cuántica
Electrodinámica cuántica
Hasta el advenimiento de la mecánica cuántica, el único ejemplo conocido de simetría de gauge estaba en el electromagnetismo, y el significado general del concepto no se entendía por completo. Por ejemplo, no estaba claro si eran los campos E y B o los potenciales V y A los que eran las cantidades fundamentales; si es lo primero, entonces las transformaciones del indicador podrían considerarse nada más que un truco matemático.
Experimento de Aharonov-Bohm
En mecánica cuántica, una partícula como un electrón también se describe como onda. Por ejemplo, si el experimento de doble rendija se realiza con electrones, entonces se observa un patrón de interferencia en forma de onda. El electrón tiene la mayor probabilidad de ser detectado en lugares donde las partes de la onda que pasan a través de las dos ranuras están en fase entre sí, lo que resulta en una interferencia constructiva . La frecuencia de la onda electrónica está relacionada con la energía cinética de una partícula electrónica individual a través de la relación mecánica cuántica E = hf . Si no hay campos eléctricos o magnéticos presentes en este experimento, entonces la energía del electrón es constante y, por ejemplo, habrá una alta probabilidad de detectar el electrón a lo largo del eje central del experimento, donde por simetría las dos partes de la onda está en fase.
Pero supongamos ahora que los electrones del experimento están sujetos a campos eléctricos o magnéticos. Por ejemplo, si se impusiera un campo eléctrico en un lado del eje pero no en el otro, los resultados del experimento se verían afectados. La parte de la onda de electrones que pasa por ese lado oscila a una velocidad diferente, ya que a su energía se le ha agregado - eV , donde - e es la carga del electrón y V el potencial eléctrico. Los resultados del experimento serán diferentes, porque las relaciones de fase entre las dos partes de la onda de electrones han cambiado y, por lo tanto, las ubicaciones de la interferencia constructiva y destructiva se desplazarán hacia un lado o hacia el otro. Es el potencial eléctrico lo que ocurre aquí, no el campo eléctrico, y esto es una manifestación del hecho de que son los potenciales y no los campos los que son de importancia fundamental en la mecánica cuántica.
Explicación con potenciales
Incluso es posible tener casos en los que los resultados de un experimento difieran cuando se cambian los potenciales, incluso si ninguna partícula cargada se expone a un campo diferente. Un ejemplo de ello es el efecto Aharonov-Bohm , que se muestra en la figura. [14] En este ejemplo, encender el solenoide solo provoca que exista un campo magnético B dentro del solenoide. Pero el solenoide se ha posicionado de modo que el electrón no pueda pasar por su interior. Si se creyera que los campos eran las cantidades fundamentales, se esperaría que los resultados del experimento no cambiaran. En realidad, los resultados son diferentes, porque encender el solenoide cambió el potencial vectorial A en la región por la que pasan los electrones. Ahora que se ha establecido que son los potenciales V y A los que son fundamentales, y no los campos E y B , podemos ver que las transformaciones de calibre, que cambian V y A , tienen un significado físico real, en lugar de ser meramente matemático. artefactos.
Invarianza de calibre: los resultados de los experimentos son independientes de la elección del calibre para los potenciales.
Tenga en cuenta que en estos experimentos, la única cantidad que afecta el resultado es la diferencia de fase entre las dos partes de la onda de electrones. Supongamos que imaginamos las dos partes de la onda de electrones como pequeños relojes, cada uno con una sola mano que se mueve en un círculo, siguiendo su propia fase. Aunque esta caricatura ignora algunos detalles técnicos, conserva los fenómenos físicos que son importantes aquí. [15] Si ambos relojes se aceleran en la misma cantidad, la relación de fase entre ellos no cambia y los resultados de los experimentos son los mismos. No solo eso, sino que ni siquiera es necesario cambiar la velocidad de cada reloj en una cantidad fija . Podríamos cambiar el ángulo de la manecilla de cada reloj en una cantidad variable θ, donde θ podría depender tanto de la posición en el espacio como en el tiempo. Esto no tendría ningún efecto en el resultado del experimento, ya que la observación final de la ubicación del electrón ocurre en un solo lugar y tiempo, por lo que el cambio de fase en el "reloj" de cada electrón sería el mismo, y los dos efectos cancelaría. Este es otro ejemplo de una transformación de calibre: es local y no cambia los resultados de los experimentos.
Resumen
En resumen, la simetría de gauge alcanza su máxima importancia en el contexto de la mecánica cuántica. En la aplicación de la mecánica cuántica al electromagnetismo, es decir, la electrodinámica cuántica , la simetría de gauge se aplica tanto a las ondas electromagnéticas como a las ondas de electrones. De hecho, estas dos simetrías de calibre están íntimamente relacionadas. Si se aplica una transformación de calibre θ a las ondas de electrones, por ejemplo, entonces también se debe aplicar una transformación correspondiente a los potenciales que describen las ondas electromagnéticas. [16] Se requiere simetría de calibre para hacer de la electrodinámica cuántica una teoría renormalizable , es decir, una en la que las predicciones calculadas de todas las cantidades físicamente medibles son finitas.
Tipos de simetrías de calibre
La descripción de los electrones en la subsección anterior como pequeños relojes es en efecto un enunciado de las reglas matemáticas según las cuales las fases de los electrones deben sumarse y restarse: deben tratarse como números ordinarios, excepto en el caso en que el resultado del cálculo cae fuera del rango de 0≤θ <360 °, lo forzamos a "envolver" en el rango permitido, que cubre un círculo. Otra forma de decirlo es que un ángulo de fase de, digamos, 5 ° se considera completamente equivalente a un ángulo de 365 °. Los experimentos han verificado esta afirmación comprobable sobre los patrones de interferencia formados por ondas de electrones. Excepto por la propiedad "envolvente", las propiedades algebraicas de esta estructura matemática son exactamente las mismas que las de los números reales ordinarios.
En terminología matemática, las fases de electrones forman un grupo abeliano bajo adición, llamado grupo circular o U (1). "Abeliano" significa que la suma conmuta , de modo que θ + φ = φ + θ. Grupo significa que la adición se asocia y tiene un elemento de identidad , a saber, "0". Además, para cada fase existe una inversa tal que la suma de una fase y su inversa es 0. Otros ejemplos de grupos abelianos son los enteros bajo adición, 0 y negación, y las fracciones distintas de cero bajo producto, 1 y recíproco.
Como una forma de visualizar la elección de un calibre, considere si es posible saber si un cilindro se ha torcido. Si el cilindro no tiene golpes, marcas o rayones, no podemos decirlo. Sin embargo, podríamos dibujar una curva arbitraria a lo largo del cilindro, definida por alguna función θ ( x ), donde x mide la distancia a lo largo del eje del cilindro. Una vez que se ha hecho esta elección arbitraria (la elección del calibre), es posible detectarla si alguien más tarde gira el cilindro.
En 1954, Chen Ning Yang y Robert Mills propusieron generalizar estas ideas a grupos no conmutativos. Un grupo de calibre no conmutativo puede describir un campo que, a diferencia del campo electromagnético, interactúa consigo mismo. Por ejemplo, la relatividad general establece que los campos gravitacionales tienen energía y la relatividad especial concluye que la energía es equivalente a la masa. Por tanto, un campo gravitacional induce un campo gravitacional adicional. Las fuerzas nucleares también tienen esta propiedad de auto-interacción.
Bosones de calibre
Sorprendentemente, la simetría de gauge puede dar una explicación más profunda de la existencia de interacciones, como las interacciones eléctricas y nucleares. Esto surge de un tipo de simetría de gauge relacionada con el hecho de que todas las partículas de un tipo dado son experimentalmente indistinguibles unas de otras. Imagínese que Alice y Betty son gemelas idénticas, etiquetadas al nacer con brazaletes que dicen A y B. Dado que las niñas son idénticas, nadie podría saber si las cambiaron al nacer; las etiquetas A y B son arbitrarias y pueden intercambiarse. Un intercambio tan permanente de sus identidades es como una simetría de calibre global. También hay una simetría de calibre local correspondiente, que describe el hecho de que de un momento a otro, Alice y Betty podían intercambiar roles mientras nadie miraba, y nadie podría saberlo. Si observamos que el jarrón favorito de mamá está roto, solo podemos inferir que la culpa pertenece a uno de los gemelos o al otro, pero no podemos decir si la culpa es 100% de Alice y 0% de Betty, o viceversa. Si Alice y Betty son de hecho partículas de mecánica cuántica en lugar de personas, entonces también tienen propiedades de onda, incluida la propiedad de superposición , que permite sumar, restar y mezclar ondas de forma arbitraria. De ello se deduce que ni siquiera estamos restringidos a intercambios completos de identidad. Por ejemplo, si observamos que existe una cierta cantidad de energía en una determinada ubicación en el espacio, no hay ningún experimento que nos pueda decir si esa energía es 100% A y 0% B, 0% A y 100% B, o 20 % A's y 80% B's, o alguna otra mezcla. El hecho de que la simetría sea local significa que ni siquiera podemos contar con que estas proporciones permanezcan fijas mientras las partículas se propagan por el espacio. Los detalles de cómo esto se representa matemáticamente dependen de cuestiones técnicas relacionadas con los espines de las partículas, pero para nuestros propósitos actuales consideramos una partícula sin espín, para lo cual resulta que la mezcla se puede especificar mediante alguna elección arbitraria de calibre θ ( x ), donde un ángulo θ = 0 ° representa 100% A y 0% B, θ = 90 ° significa 0% A y 100% B, y los ángulos intermedios representan mezclas.
Según los principios de la mecánica cuántica, las partículas en realidad no tienen trayectorias a través del espacio. El movimiento solo se puede describir en términos de ondas, y el momento p de una partícula individual está relacionado con su longitud de onda λ por p = h / λ . En términos de medidas empíricas, la longitud de onda solo se puede determinar observando un cambio en la onda entre un punto en el espacio y otro punto cercano (matemáticamente, por diferenciación ). Una onda con una longitud de onda más corta oscila más rápidamente y, por lo tanto, cambia más rápidamente entre puntos cercanos. Ahora suponga que fijamos arbitrariamente un indicador en un punto del espacio, diciendo que la energía en ese lugar es 20% A y 80% B. Luego medimos las dos ondas en algún otro punto cercano, para determinar sus longitudes de onda. Pero hay dos razones completamente diferentes por las que las olas podrían haber cambiado. Podrían haber cambiado porque oscilaban con una determinada longitud de onda, o podrían haber cambiado porque la función de calibre cambió de una mezcla de 20–80 a, digamos, 21–79. Si ignoramos la segunda posibilidad, la teoría resultante no funciona; Aparecerán extrañas discrepancias en el impulso, violando el principio de conservación del impulso. Algo en la teoría debe cambiarse.
Nuevamente, existen problemas técnicos relacionados con el espín, pero en varios casos importantes, incluidas las partículas cargadas eléctricamente y las partículas que interactúan a través de fuerzas nucleares, la solución al problema es imputar la realidad física a la función de calibre θ ( x ). Decimos que si la función θ oscila, representa un nuevo tipo de onda de la mecánica cuántica, y esta nueva onda tiene su propio impulso p = h / λ , lo que resulta para reparar las discrepancias que de otro modo habrían roto la conservación del impulso. . En el contexto del electromagnetismo, las partículas A y B serían partículas cargadas como los electrones, y la onda mecánica cuántica representada por θ sería el campo electromagnético. (Aquí ignoramos las cuestiones técnicas planteadas por el hecho de que los electrones en realidad tienen espín 1/2, no espín cero. Esta simplificación excesiva es la razón por la que el campo de calibre be resulta ser un escalar, mientras que el campo electromagnético en realidad está representado por un vector que consta de V y A ). El resultado es que tenemos una explicación para la presencia de interacciones electromagnéticas: si intentamos construir una teoría de simetría de calibre de partículas idénticas que no interactúan, el resultado no es autoconsistente, y solo se puede reparar agregando campos eléctricos y magnéticos que hacen que las partículas interactúen.
Aunque la función θ ( x ) describe una onda, las leyes de la mecánica cuántica requieren que también tenga propiedades de partícula. En el caso del electromagnetismo, la partícula correspondiente a las ondas electromagnéticas es el fotón. En general, estas partículas se denominan bosones gauge , donde el término "bosón" se refiere a una partícula con espín entero. En las versiones más simples de la teoría, los bosones gauge no tienen masa, pero también es posible construir versiones en las que tengan masa, como es el caso de los bosones gauge que transmiten las fuerzas de desintegración nuclear.
Referencias
- ^ "Definición de calibre" .
- ^ Donald H. Perkins (1982) Introducción a la física de altas energías . Addison-Wesley: 22.
- ^ Roger Penrose (2004) El camino a la realidad , p. 451. Para una formulación alternativa en términos de simetrías de la densidad lagrangiana , ver p. 489. Véase también JD Jackson (1975) Classical Electrodynamics , 2ª ed. Wiley e hijos: 176.
- ↑ Para un argumento de que V y A son más fundamentales, ver Feynman, Leighton y Sands, The Feynman Lectures , Addison Wesley Longman, 1970, II-15-7,8,12, pero esto es en parte una cuestión de preferencia personal.
- ^ Hermann Weyl (1919), "Eine neue Erweiterung der Relativitíatstheorie", Ann. der Physik 59 , 101-133.
- ^ K. Moriyasu (1983). Una cartilla elemental para la teoría del calibre . World Scientific. ISBN 978-9971-950-83-5.
- ↑ Para una revisión y referencias, consulte Lochlainn O'Raifeartaigh y Norbert Straumann, "Gauge theory: Historical orígenes y algunos desarrollos modernos", Reviews of Modern Physics , 72 (2000), págs. 1-22, doi : 10.1103 / RevModPhys. 72.1 .
- ^ Edward Purcell (1963) Electricidad y magnetismo . McGraw-Hill: 38 años.
- ^ JD Jackson (1975) Electrodinámica clásica , 2ª ed. Wiley e hijos: 176.
- ^ Donald H. Perkins (1982) Introducción a la física de altas energías . Addison-Wesley: 92.
- ^ a b Robert M. Wald (1984) Relatividad general . Prensa de la Universidad de Chicago: 260.
- ^ Charles Misner , Kip Thorne y John A. Wheeler (1973) Gravitación . WH Freeman: 68.
- ^ Misner, Thorne y Wheeler (1973) Gravitación . WH Freeman: 967.
- ^ Feynman, Leighton y Sands (1970) Las conferencias de Feynman sobre física . Addison Wesley, vol. II, cap. 15, sección 5.
- ^ Richard Feynman (1985) QED: La extraña teoría de la luz y la materia . Prensa de la Universidad de Princeton.
- ^ Donald H. Perkins (1982) Introducción a la física de altas energías . Addison-Wesley: 332.
Otras lecturas
Estos libros están destinados a lectores en general y emplean el mínimo de matemáticas.
- 't Hooft, Gerard : "Gauge Theories of the Force between Elementary Particles", Scientific American , 242 (6): 104-138 (junio de 1980).
- "Comunicado de prensa: Premio Nobel de Física de 1999" . Nobelprize.org . Nobel Media AB 2013.20 de agosto de 2013.
- Schumm, Bruce (2004) Cosas profundas . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. Un intento serio por parte de un físico de explicar la teoría de gauge y el modelo estándar.
- Feynman, Richard (2006) QED: La extraña teoría de la luz y la materia . Prensa de la Universidad de Princeton. Una descripción no técnica de la teoría cuántica de campos (no específicamente sobre la teoría de gauge).