En estadística , la distribución de Wishart inversa , también llamada distribución de Wishart invertida , es una distribución de probabilidad definida en matrices definidas positivas de valor real . En la estadística bayesiana se utiliza como el conjugado previo para la matriz de covarianza de una distribución normal multivariante .
Notación | |||
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Parámetros | grados de libertad ( reales ) , matriz de escala ( pos. def. ) | ||
Apoyo | es p × p positivo definido | ||
| |||
Significar | Para | ||
Modo | [1] : 406 | ||
Diferencia | vea abajo |
Decimos sigue una distribución de Wishart inversa, denotada como , si es inverso tiene una distribución Wishart . Se han derivado identidades importantes para la distribución inversa de Wishart. [2]
Densidad
La función de densidad de probabilidad del inverso de Wishart es: [3]
dónde y están matrices definidas positivas ,es el determinante y Γ p (·) es la función gamma multivariante .
Teoremas
Distribución de la inversa de una matriz distribuida de Wishart
Si y es de tamaño , luego tiene una distribución de Wishart inversa . [4]
Distribuciones marginales y condicionales de una matriz distribuida de Wishart inversa
Suponer tiene una distribución Wishart inversa. Particionar las matrices y conforme entre sí
dónde y están matrices, entonces tenemos
I) es independiente de y , dónde es el complemento de Schur de en ;
ii) ;
iii) , dónde es una distribución normal matricial ;
iv) , dónde ;
Distribución conjugada
Supongamos que deseamos hacer una inferencia sobre una matriz de covarianza. cuyo anterior tiene un distribución. Si las observaciones son variables gaussianas p-variables independientes extraídas de un distribución, luego la distribución condicional tiene un distribución, donde .
Debido a que las distribuciones anterior y posterior son la misma familia, decimos que la distribución de Wishart inversa está conjugada con la Gaussiana multivariante.
Debido a su conjugación con el gaussiano multivariado, es posible marginar (integrar) el parámetro gaussiano, usando la fórmula y la identidad del álgebra lineal :
(esto es útil porque la matriz de varianza no se conoce en la práctica, sino porque se conoce a priori , yse puede obtener a partir de los datos, el lado derecho se puede evaluar directamente). La distribución inversa de Wishart como anterior se puede construir a través del conocimiento previo transferido existente . [5]
Momentos
Lo siguiente se basa en Press, SJ (1982) "Applied Multivariate Analysis", 2ª ed. (Dover Publications, Nueva York), después de volver a parametrizar el grado de libertad para que sea consistente con la definición de pdf anterior.
Dejar con y , así que eso .
La media: [4] : 85
La varianza de cada elemento de :
La varianza de la diagonal usa la misma fórmula que la anterior con , que se simplifica a:
La covarianza de elementos de están dados por:
Los resultados se expresan en la forma de producto Kronecker más sucinta de von Rosen [6] como sigue.
dónde , matriz de conmutación y hemos utilizado la notación. Hay un error tipográfico en el documento por el cual el coeficiente de se da como en vez de . También la expresión para el cuadrado medio inverso de Wishart, corolario 3.1, debe leer
Para mostrar cómo los términos que interactúan se vuelven escasos cuando la covarianza es diagonal, sea e introducir algunos parámetros arbitrarios :
entonces la matriz del segundo momento se convierte en
Las variaciones del producto Wishart también las obtienen Cook et. Alabama. [7] en el caso singular y, por extensión, en el caso de rango completo. En el caso complejo, el complejo inverso "blanco" WishartShaman [8] demostró que tiene una estructura estadística diagonal en la que los elementos diagonales principales están correlacionados, mientras que todos los demás elementos no están correlacionados. Brennan y Reed [9] también demostraron usando un procedimiento de partición matricial, aunque en el dominio de la variable compleja, que el pdf marginal del elemento diagonal [1,1] de esta matriz tiene una distribución inversa de chi cuadrado . Esto se extiende fácilmente a todos los elementos diagonales ya que es estadísticamente invariante bajo transformaciones ortogonales, lo que incluye intercambios de elementos diagonales.
Para la distribución inversa de Chi cuadrado, con arbitrarias grados de libertad, el pdf es
cuya media y varianza son respectivamente. Estos dos parámetros se corresponden con los momentos diagonales de Wishart inversos correspondientes cuando y de ahí el pdf marginal del elemento diagonal de se convierte en:
que, a continuación, se generaliza a todos los elementos diagonales. Tenga en cuenta que la media del complejo inverso Wishart es por lo tanto y difiere del caso Wishart de valor real que es .
Distribuciones relacionadas
Una especialización univariante de la distribución de Wishart inversa es la distribución gamma inversa . Con (es decir, univariado) y , y la función de densidad de probabilidad de la distribución inversa de Wishart se convierte en
es decir, la distribución gamma inversa, donde es la función Gamma ordinaria .
La distribución de Wishart inversa es un caso especial de la distribución gamma de matriz inversa cuando el parámetro de forma y el parámetro de escala .
Otra generalización se ha denominado distribución de Wishart inversa generalizada, . A matriz definida positiva se dice que se distribuye como Si se distribuye como . Aquí denota la raíz cuadrada de la matriz simétrica de , Los parametros están matrices definidas positivas, y el parámetro es un escalar positivo mayor que . Tenga en cuenta que cuando es igual a una matriz de identidad, . Esta distribución de Wishart inversa generalizada se ha aplicado para estimar las distribuciones de procesos autorregresivos multivariados. [10]
Un tipo diferente de generalización es la distribución normal-inversa-Wishart , esencialmente el producto de una distribución normal multivariada con una distribución Wishart inversa.
Cuando la matriz de escala es una matriz de identidad, es una matriz ortogonal arbitraria, reemplazo de por no cambia el pdf de entonces pertenece a la familia de procesos aleatorios esféricamente invariantes (SIRP) en cierto sentido.
Por lo tanto, un p-vector arbitrario con se puede rotar en el vector sin cambiar el pdf de , es más puede ser una matriz de permutación que intercambia elementos diagonales. De ello se deduce que los elementos diagonales de tienen una distribución de chi cuadrado inversa idéntica, con pdf en la sección anterior, aunque no son mutuamente independientes. El resultado se conoce en las estadísticas óptimas de cartera, como en el Teorema 2 Corolario 1 de Bodnar et al, [11] donde se expresa en forma inversa..
Ver también
- Distribución gamma de matriz inversa
- Distribución normal de la matriz
- Distribución Wishart
- Distribución de Wishart inversa compleja
Referencias
- ^ A. O'Hagan y JJ Forster (2004). Teoría avanzada de estadística de Kendall: inferencia bayesiana . 2B (2 ed.). Arnold. ISBN 978-0-340-80752-1.
- ^ Haff, LR (1979). "Una identidad para la distribución Wishart con aplicaciones". Revista de análisis multivariante . 9 (4): 531–544. doi : 10.1016 / 0047-259x (79) 90056-3 .
- ^ Gelman, Andrew; Carlin, John B .; Stern, Hal S .; Dunson, David B .; Vehtari, Aki; Rubin, Donald B. (1 de noviembre de 2013). Análisis de datos bayesianos, tercera edición (3ª ed.). Boca Raton: Chapman y Hall / CRC. ISBN 9781439840955.
- ^ a b Kanti V. Mardia , JT Kent y JM Bibby (1979). Análisis multivariado . Prensa académica . ISBN 978-0-12-471250-8.
- ^ Shahrokh Esfahani, Mohammad; Dougherty, Edward (2014). "Incorporación del conocimiento de la vía biológica en la construcción de priores para una clasificación bayesiana óptima". Transacciones IEEE sobre bioinformática y biología computacional . 11 (1): 202–218. doi : 10.1109 / tcbb.2013.143 . PMID 26355519 .
- ^ Rosen, Dietrich von (1988). "Momentos para la distribución de Wishart invertida". Scand J Estadística . 15 : 97–109 - vía JSTOR.
- ^ Cook, RD; Forzani, Liliana (agosto de 2019). "Sobre la media y la varianza de la inversa generalizada de una matriz de Wishart singular" . Revista Electrónica de Estadística . 5 .
- ^ Chamán, Paul (1980). "La distribución de Wishart compleja invertida y su aplicación a la estimación espectral" (PDF) . Revista de análisis multivariante . 10 : 51–59.
- ^ Brennan, LE; Reed, IS (enero de 1982). "Un algoritmo de procesamiento de señales de matriz adaptable para comunicaciones". IEEE Trans sobre sistemas electrónicos y aeroespaciales . AES-18, núm. 1: 120–130.
- ^ Triantafyllopoulos, K. (2011). "Estimación de covarianza en tiempo real para el modelo a nivel local". Revista de análisis de series de tiempo . 32 (2): 93-107. arXiv : 1311.0634 . doi : 10.1111 / j.1467-9892.2010.00686.x .
- ^ Bodnar T, Mazur S, Podg'orski K (enero de 2015). "Distribución Singular Inverse Wishart con aplicación a la teoría de la cartera" . Departamento de Estadística, Universidad de Lund . Departamento de Estadística, Universidad de Lund. (Documentos de trabajo en estadística, Nr. 2): 1-17.