Prime regular

No confundir con el número regular .

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Hay infinitos números primos regulares y, de ser así, cuál es su densidad relativa ?${\displaystyle e^{-1/2}}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En teoría de números , un primo regular es un tipo especial de número primo , definido por Ernst Kummer en 1850 para probar ciertos casos del último teorema de Fermat . Los números primos regulares se pueden definir mediante la divisibilidad de los números de clase o de los números de Bernoulli .

Los primeros números primos impares regulares son:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (secuencia A007703 en la OEIS ).

Historia y motivación

En 1850, Kummer demostró que el último teorema de Fermat es verdadero para un exponente primo p si p es regular. Esto centró la atención en los números primos irregulares. ^[1] En 1852, Genocchi pudo demostrar que el primer caso del último teorema de Fermat es verdadero para un exponente p , si ( p , p - 3) no es un par irregular. Kummer mejoró esto aún más en 1857 al mostrar que para el "primer caso" del último teorema de Fermat (ver el teorema de Sophie Germain ) es suficiente establecer que ( p , p - 3) o (p , p - 5) no es un par irregular.

Kummer encontró los números primos irregulares menos de 165. En 1963, Lehmer informó resultados hasta 10000 y Selfridge y Pollack anunciaron en 1964 que habían completado la tabla de primos irregulares hasta 25000. Aunque las dos últimas tablas no aparecieron impresas, Johnson encontró que ( p , p - 3) es de hecho un par irregular para p = 16843 y que esta es la primera y única vez que esto ocurre para p <30000 . ^[2] En 1993 se descubrió que la próxima vez que esto suceda es para p = 2124679 ; ver Wolstenholme prime . ^[3]

Definición

Criterio de número de clase

Un número primo impar p se define como regular si no divide el número de clase del p - ésimo campo ciclotómico Q ( ζ _p ), donde ζ _p es una p -ésima raíz primitiva de la unidad, se enumera en OEIS :  A000927 . El número primo 2 a menudo también se considera regular.

El número de clase del campo ciclotómico es el número de ideales del anillo de enteros Z (ζ _p ) hasta la equivalencia. Dos ideales I , J se consideran equivalentes si hay un u distinto de cero en Q ( ζ _p ) de modo que I = uJ .

Criterio de Kummer

Ernst Kummer ( Kummer 1850 ) mostró que un criterio equivalente de regularidad es que p no divide el numerador de ninguno de los números de Bernoulli B _k para k = 2, 4, 6, ..., p - 3 .

La prueba de Kummer de que esto es equivalente a la definición de número de clase se ve reforzada por el teorema de Herbrand-Ribet , que establece ciertas consecuencias de p dividir uno de estos números de Bernoulli.

Conjetura de Siegel

Se ha conjeturado que hay infinitos números primos regulares. Más precisamente, Carl Ludwig Siegel  ( 1964 ) conjeturó que e ^−1/2 , o alrededor del 60,65%, de todos los números primos son regulares, en el sentido asintótico de densidad natural . Ninguna conjetura ha sido probada hasta la fecha.

Primos irregulares

Un primo impar que no es regular es un primo irregular (o Bernoulli irregular o B-irregular para distinguirlo de otros tipos o irregularidades que se analizan a continuación). Los primeros números primos irregulares son:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... (secuencia A000928 en la OEIS )

Infinitud

KL Jensen (un estudiante desconocido de Nielsen ^[4] ) demostró en 1915 que hay infinitos números primos irregulares de la forma 4 n + 3 .^[5] En 1954 Carlitz dio una prueba simple del resultado más débil de que, en general, hay infinitos números primos irregulares. ^[6]

Metsänkylä demostró que para cualquier número entero T > 6 , hay infinitos números primos irregulares que no son de la forma mT + 1 o mT - 1 , ^[7] y luego lo generalizó. ^[8]

Pares irregulares

Si p es un primo irregular y p divide el numerador del número de Bernoulli B _{2 k} para 0 <2 k < p - 1 , entonces ( p , 2 k ) se llama par irregular . En otras palabras, un par irregular es un dispositivo de contabilidad para registrar, para un primo irregular p , los índices particulares de los números de Bernoulli en los que falla la regularidad. Los primeros pares irregulares (cuando se ordenan por k ) son:

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797 , 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... (secuencia A189683 en la OEIS ).

El más pequeño par k tal que n- ésimo primo irregular divide B _k son

32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, ​​126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... (secuencia A035112 en la OEIS )

Para un primo p dado , el número de tales pares se denomina índice de irregularidad de p . ^[9] Por tanto, un primo es regular si y solo si su índice de irregularidad es cero. De manera similar, un primo es irregular si y solo si su índice de irregularidad es positivo.

Se descubrió que ( p , p - 3) es de hecho un par irregular para p = 16843 , así como para p = 2124679 . No hay más ocurrencias para p <10 ⁹ .

Índice irregular

Un primo impar p tiene un índice irregular n si y solo si hay n valores de k para los cuales p divide B _2k y estos k s son menores que ( p - 1) / 2 . El primer primo irregular con índice irregular mayor que 1 es 157 , que divide B ₆₂ y B ₁₁₀ , por lo que tiene un índice irregular 2. Claramente, el índice irregular de un primo regular es 0.

El índice irregular del n- ésimo primo es

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Empiece con n = 2, o el primo = 3) (secuencia A091888 en la OEIS )

El índice irregular del n- ésimo primo irregular es

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... (secuencia A091887 en la OEIS )

Los números primos que tienen un índice irregular 1 son

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... (secuencia A073276 en la OEIS )

Los números primos que tienen un índice irregular 2 son

157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... (secuencia A073277 en la OEIS )

Los números primos que tienen un índice irregular 3 son

491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... (secuencia A060975 en la OEIS )

Los mínimos primos que tienen un índice n irregular son

2, 3, 37, 157, 491, 12613, 78233, 527377, 3238481, ... (secuencia A061576 en el OEIS ) (Esta secuencia define "el índice irregular de 2" como −1, y también comienza en n = - 1. )

Generalizaciones

Números primos irregulares de Euler

De manera similar, podemos definir un primo irregular de Euler (o E-irregular) como un primo p que divide al menos un número de Euler E _2n con 0 <2 n ≤ p - 3 . Los primeros números primos irregulares de Euler son

19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... (secuencia A120337 en la OEIS )

Los pares irregulares de Euler son

(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437 , 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22 ), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...

Vandiver demostró que el último teorema de Fermat ( x ^p + y ^p = z ^p ) no tiene solución para los enteros x , y , z con mcd ( xyz , p ) = 1 si p es regular de Euler. Gut demostró que x ^{2 p} + y ^{2 p} = z ^{2 p} no tiene solución si p tiene un índice de irregularidad E menor que 5. ^[10]

Se comprobó que existe una infinidad de números primos E irregulares. Se obtuvo un resultado más fuerte: hay una infinidad de primos E-irregulares congruentes a 1 módulo 8. Como en el caso de los primos B-regulares de Kummer, todavía no hay pruebas de que haya infinitos números primos E-regulares, aunque esto parece probable que sea cierto.

Primos irregulares fuertes

Un primo p se llama fuerte irregular si es tanto B-irregular como E-irregular (los índices de los números de Bernoulli y Euler que son divisibles por p pueden ser iguales o diferentes). Los primeros números primos irregulares fuertes son

67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... (secuencia A128197 en la OEIS )

Probar el último teorema de Fermat para un primo irregular fuerte p es más difícil (dado que Kummer demostró el primer caso del último teorema de Fermat para primos regulares B, Vandiver demostró el primer caso del último teorema de Fermat para primos regulares E), el más difícil es que p no solo es un número primo irregular fuerte, sino que 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 y 16 p + 1 también son todos compuestos (Legendre demostró el primer caso del último teorema de Fermat para primos p tal que al menos uno de 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 y 16 p + 1 es primo ), los primeros p son

263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

Primos irregulares débiles

Un primo p es débil irregular si es B-irregular o E-irregular (o ambos). Los primeros primos irregulares débiles son

19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... (secuencia A250216 en la OEIS )

Como la irregularidad de Bernoulli, la regularidad débil se relaciona con la divisibilidad de los números de clase de los campos ciclotómicos . De hecho, un primo p es débilmente irregular si y solo si p divide el número de clase del 4 p -ésimo campo ciclotómico Q ( ζ _4p ).

Pares irregulares débiles

En esta sección, " a _n " significa el numerador del n- ésimo número de Bernoulli si n es par, " a _n " significa el ( n - 1) ésimo número de Euler si n es impar (secuencia A246006 en la OEIS ).

Dado que para cada primo impar p , p divide a _p si y solo si p es congruente con 1 mod 4, y dado que p divide el denominador de ( p - 1) el número de Bernoulli para cada primo impar p , entonces para cualquier primo impar p , p no puede dividir a _{p −1} . Además, si y solo si un primo impar p divide a _n (y 2 p no divide n ), entonces p también divide a _{n + k( p −1)} (si 2 p divide n , entonces la oración debe cambiarse a " p también divide a _{n +2 kp} ". De hecho, si 2 p divide n y p ( p - 1) no divide n , entonces p divide a _n .) para cada entero k (una condición es n + k ( p - 1) debe ser> 1). Por ejemplo, dado que 19 divide a ₁₁ y 2 × 19 = 38no divide 11, por lo que 19 divide a _{18 k +11} para todo k . Por lo tanto, la definición de par irregular ( p , n ) , n debería ser como máximo p - 2 .

La siguiente tabla muestra todos los pares irregulares con primo impar p ≤ 661 :

pag	enteros 0 ≤ n ≤ p - 2 tales que p divide a n	pag	enteros 0 ≤ n ≤ p - 2 tales que p divide a n	pag	enteros 0 ≤ n ≤ p - 2 tales que p divide a n	pag	enteros 0 ≤ n ≤ p - 2 tales que p divide a n	pag	enteros 0 ≤ n ≤ p - 2 tales que p divide a n	pag	enteros 0 ≤ n ≤ p - 2 tales que p divide a n
3		79	19	181		293	156	421	240	557	222
5		83		191		307	88, 91, 137	431		563	175, 261
7		89		193	75	311	87, 193, 292	433	215, 366	569
11		97		197		313		439		571	389
13		101	63, 68	199		317		443		577	52, 209, 427
17		103	24	211		331		449		587	45, 90, 92
19	11	107		223	133	337		457		593	22
23		109		227		347	280	461	196, 427	599
29		113		229		349	19, 257	463	130, 229	601
31	23	127		233	84	353	71, 186, 300	467	94, 194	607	592
37	32	131	22	239		359	125	479		613	522
41		137	43	241	211, 239	367		487		617	20, 174, 338
43	13	139	129	251	127	373	163	491	292, 336, 338, 429	619	371, 428, 543
47	15	149	130, 147	257	164	379	100, 174, 317	499		631	80, 226
53		151		263	100, 213	383		503		641
59	44	157	62, 110	269		389	200	509	141	643
61	7	163		271	84	397		521		647	236, 242, 554
67	27, 58	167		277	9	401	382	523	400	653	48
71	29	173		281		409	126	541	86, 465	659	224
73		179		283	20	419	159	547	270, 486	661

Los únicos primos por debajo de 1000 con índice irregular débil 3 son 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751 y 929. Además, 491 es el único primo por debajo de 1000 con índice irregular débil 4 , y todos los demás primos impares por debajo de 1000 con índice irregular débil 0, 1 o 2. ( El índice irregular débil se define como "número de enteros 0 ≤ n ≤ p - 2 tal que p divide a _n .)

La siguiente tabla muestra todos los pares irregulares con n ≤ 63. (Para obtener estos pares irregulares, solo necesitamos factorizar un _n . Por ejemplo, a ₃₄ = 17 × 151628697551 , pero 17 <34 + 2 , por lo que el único par irregular con n = 34 es (151628697551, 34) ) (para obtener más información ( n pares hasta 300 y n impares hasta 201), consulte ^[11] ).

norte	primos p ≥ n + 2 tales que p divide a n	norte	primos p ≥ n + 2 tales que p divide a n
0		32	37, 683, 305065927
1		33	930157, 42737921, 52536026741617
2		34	151628697551
3		35	4153, 8429689, 2305820097576334676593
4		36	26315271553053477373
5		37	9257, 73026287, 25355088490684770871
6		38	154210205991661
7	61	39	23489580527043108252017828576198947741
8		40	137616929, 1897170067619
9	277	41	763601, 52778129, 359513962188687126618793
10		42	1520097643918070802691
11	19, 2659	43	137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971
12	691	44	59, 8089, 2947939, 1798482437
13	43, 967	45	587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111
14		46	383799511, 67568238839737
15	47, 4241723	47	285528427091, 1229030085617829967076190070873124909
dieciséis	3617	48	653, 56039, 153289748932447906241
17	228135437	49	5516994249383296071214195242422482492286460673697
18	43867	50	417202699, 47464429777438199
19	79, 349, 87224971	51	5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721
20	283, 617	52	577, 58741, 401029177, 4534045619429
21	41737, 354957173	53	1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619
22	131, 593	54	39409, 660183281, 1120412849144121779
23	31, 1567103, 1427513357	55	2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079
24	103, 2294797	56	113161, 163979, 19088082706840550550313
25	2137, 111691689741601	57	5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167
26	657931	58	67, 186707, 6235242049, 37349583369104129
27	67, 61001082228255580483	59	1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577
28	9349, 362903	60	2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911
29	71, 30211, 2717447, 77980901	61	6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247
30	1721, 1001259881	62	157, 266689, 329447317, 28765594733083851481
31	15669721, 28178159218598921101	63	101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393

La siguiente tabla muestra pares irregulares ( p , p - n ) ( n ≥ 2 ), es una conjetura que hay infinitos pares irregulares ( p , p - n ) para cada número natural n ≥ 2 , pero solo se encontraron unos pocos para fijo n . Para algunos valores de n , incluso no se conoce tal primo p .

norte	primos p de tal manera que p divide a p - n (estos p se comprueban hasta 20000)	Secuencia OEIS
2	149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ...	A198245
3	16843, 2124679, ...	A088164
4	...
5	37, ...
6	...
7	...
8	19, 31, 3701, ...
9	67, 877, ...	A212557
10	139, ...
11	9311, ...
12	...
13	...
14	...
15	59, 607, ...
dieciséis	1427, 6473, ...
17	2591, ...
18	...
19	149, 311, 401, 10133, ...
20	9643, ...
21	8369, ...
22	...
23	...
24	17011, ...
25	...
26	...
27	...
28	...
29	4219, 9133, ...
30	43, 241, ...
31	3323, ...
32	47, ...
33	101, 2267, ...
34	461, ...
35	...
36	1663, ...
37	...
38	101, 5147, ...
39	3181, 3529, ...
40	67, 751, 16007, ...
41	773, ...

Ver también

• Wolstenholme prime

Referencias

1. Gardiner, A. (1988), "Cuatro problemas sobre la divisibilidad de la potencia prima", American Mathematical Monthly , 95 (10): 926–931, doi : 10.2307 / 2322386 , JSTOR  2322386
2. Johnson, W. (1975), "Primas irregulares e invariantes ciclotómicas" , Matemáticas de la computación , 29 (129): 113-120, doi : 10.2307 / 2005468 , JSTOR 2005468 
3. Buhler, J .; Crandall, R .; Ernvall, R .; Metsänkylä, T. (1993). "Primos irregulares e invariantes ciclotómicas a cuatro millones" . Matemáticas. Comp . 61 : 151-153. doi : 10.1090 / s0025-5718-1993-1197511-5 .
4. Leo Corry: Crunching de números vs.Teoría de números: Computadoras y FLT, de Kummer a SWAC (1850-1960), y más allá
5. Jensen, KL (1915). "Om talteoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske Tal". Nyt Tidsskr. Mat . B 26 : 73–83. JSTOR 24532219 . 
6. Carlitz, L. (1954). "Nota sobre primos irregulares" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . AMS . 5 (2): 329–331. doi : 10.1090 / S0002-9939-1954-0061124-6 . ISSN 1088-6826 . Señor 0061124 .   
7. Tauno Metsänkylä (1971). "Nota sobre la distribución de primos irregulares". Ana. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI . 492 . Señor 0274403 . 
8. Tauno Metsänkylä (1976). "Distribución de números primos irregulares" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1976 (282). doi : 10.1515 / crll.1976.282.126 .
9. Narkiewicz, Władysław (1990), Teoría elemental y analítica de números algebraicos (2ª, ed. Sustancialmente revisada y ampliada), Springer-Verlag ; PWN-Polish Scientific Publishers , pág. 475 , ISBN 3-540-51250-0, Zbl  0717.11045
10. "Los veinte primeros: números primos irregulares de Euler" . primes.utm.edu . Consultado el 21 de julio de 2021 .
11. "Números de Bernoulli y Euler" . homes.cerias.purdue.edu . Consultado el 21 de julio de 2021 .

Otras lecturas

• Kummer, EE (1850), "Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x λ + y λ = z λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ , welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten ( λ −3) / 2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen " , J. Reine Angew. Matemáticas. , 40 : 131-138
• Siegel, Carl Ludwig (1964), "Zu zwei Bemerkungen Kummers", Nachrichten der Akademie der Wissenschaften en Gotinga , 1964 : 51–57, MR  0163899
• Iwasawa, K .; Sims, CC (1966), "Computación de invariantes en la teoría de campos ciclotómicos" , Journal of the Mathematical Society of Japan , 18 (1): 86–96, doi : 10.2969 / jmsj / 01810086
• Wagstaff, Jr., SS (1978), "The Irregular Primes to 125000" , Mathematics of Computation , 32 (142): 583–591, doi : 10.2307 / 2006167 , JSTOR  2006167
• Granville, A .; Monagan, MB (1988), "El primer caso del último teorema de Fermat es verdadero para todos los exponentes primos hasta 714,591,416,091,389", Transactions of the American Mathematical Society , 306 (1): 329-359, doi : 10.1090 / S0002-9947- 1988-0927694-5 , MR  0927694
• Gardiner, A. (1988), "Four Problems on Prime Power Divisibility", American Mathematical Monthly , 95 (10): 926–931, doi : 10.2307 / 2322386 , JSTOR  2322386
• Ernvall, R .; Metsänkylä, T. (1991), "Ciclotomic Invariants for Primes Between 125000 and 150000" , Mathematics of Computation , 56 (194): 851–858, doi : 10.2307 / 2008413
• Ernvall, R .; Metsänkylä, T. (1992), "Invariantes ciclotómicas para primas hasta un millón" (PDF) , Matemáticas de la computación , 59 (199): 249-250, doi : 10.2307 / 2152994
• Buhler, JP; Crandall, RE; Sompolski, RW (1992), "Primas irregulares hasta un millón" , Matemáticas de la computación , 59 (200): 717–722, doi : 10.2307 / 2153086
• Boyd, DW (1994), "A p -adic Study of the Partial Sums of the Harmonic Series" , Experimental Mathematics , 3 (4): 287-302, doi : 10.1080 / 10586458.1994.10504298 , Zbl  0838.11015
• Shokrollahi, MA (1996), Computación de primas irregulares hasta ocho millones (Informe preliminar) , Informe técnico de ICSI, TR-96-002
• Buhler, J .; Crandall, R .; Ernvall, R .; Metsänkylä, T .; Shokrollahi, MA (2001), "Primas irregulares e invariantes ciclotómicas hasta 12 millones", Journal of Symbolic Computation , 31 (1–2): 89–96, doi : 10.1006 / jsco.1999.1011
• Richard K. Guy (2004), "Sección D2. El problema de Fermat", Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.), Springer Verlag , ISBN 0-387-20860-7
• Villegas, FR (2007), Experimental Number Theory , Nueva York: Oxford University Press, págs. 166-167, ISBN 978-0-19-852822-7

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Prima irregular" . MathWorld .
• Chris Caldwell, The Prime Glossary: ​​Prime regular en The Prime Pages .
• Keith Conrad, último teorema de Fermat para números primos regulares .
• Primo irregular de Bernoulli
• Euler prima irregular
• Primos irregulares de Bernoulli y Euler .
• Factorización de números de Bernoulli y Euler
• Factorización de números de Bernoulli y Euler