En matemáticas , dos operadores lineales se denominan isoespectrales o coespectrales si tienen el mismo espectro . En términos generales, se supone que tienen los mismos conjuntos de valores propios , cuando se cuentan con multiplicidad .
La teoría de los operadores isoespectrales es marcadamente diferente dependiendo de si el espacio es de dimensión finita o infinita. En dimensiones finitas, uno trata esencialmente con matrices cuadradas .
En dimensiones infinitas, el espectro no tiene por qué consistir únicamente en valores propios aislados. Sin embargo, el caso de un operador compacto en un espacio de Hilbert (o espacio de Banach ) todavía es manejable, ya que los valores propios son contables como máximo con un único punto límite λ = 0. El problema isoespectral más estudiado en dimensiones infinitas es el de el operador de Laplace en un dominio en R 2 . Dos de estos dominios se denominan isoespectrales si sus laplacianos son isoespectrales. El problema de inferir las propiedades geométricas de un dominio a partir del espectro de su laplaciano se conoce a menudo como escuchar la forma de un tambor .
En el caso de operadores en espacios vectoriales de dimensión finita, para matrices cuadradas complejas, la relación de ser isoespectral para dos matrices diagonalizables es solo similitud . Sin embargo, esto no reduce por completo el interés del concepto, ya que podemos tener una familia isoespectral de matrices de forma A ( t ) = M ( t ) −1 AM ( t ) dependiendo de un parámetro t de forma complicada. Esta es una evolución de una matriz que ocurre dentro de una clase de similitud.
Una idea fundamental en la teoría del solitón fue que el análogo infinitesimal de esa ecuación, a saber
estaba detrás de las leyes de conservación que se encargaban de evitar que los solitones se disiparan. Es decir, la preservación del espectro era una interpretación del mecanismo de conservación. La identificación de los llamados pares de Lax (P,L) que dan lugar a ecuaciones análogas, por parte de Peter Lax , mostró cómo la maquinaria lineal podría explicar el comportamiento no lineal.