Subgrupo cuasinormal
En matemáticas , en el campo de la teoría de grupos , un subgrupo cuasinormal , o subgrupo permutable , es un subgrupo de un grupo que conmuta (permuta) con cualquier otro subgrupo con respecto al producto de subgrupos . El término subgrupo cuasinormal fue introducido por Øystein Ore en 1937.
Se dice que dos subgrupos permutan (o conmutan) si cualquier elemento del primer subgrupo, multiplicado por un elemento del segundo subgrupo, puede escribirse como un elemento del segundo subgrupo, multiplicado por un elemento del primer subgrupo. Es decir, y como subgrupos de se dice que conmutan si HK = KH , es decir, cualquier elemento del formulario con y se puede escribir en el formulario donde y .
Cada subgrupo normal es cuasinormal, porque un subgrupo normal conmuta con cada elemento del grupo. Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, cualquier extensión de un grupo cíclico por otro grupo cíclico para el mismo número primo (impar) tiene la propiedad de que todos sus subgrupos son cuasinormales. Sin embargo, no es necesario que todos sus subgrupos sean normales.
Cada subgrupo cuasinormal es un subgrupo modular , es decir, un elemento modular en la red de subgrupos . Esto se deriva de la propiedad modular de los grupos . Si todos los subgrupos son cuasinormales, entonces el grupo se denomina grupo Iwasawa, a veces también llamado grupo modular , [1] aunque este último término tiene otros significados.
Un subgrupo permutable conjugado es aquel que conmuta con todos sus subgrupos conjugados. Cada subgrupo cuasinormal es permutable conjugado.
Cada subgrupo cuasinormal de un grupo finito es un subgrupo subnormal . Esto se sigue de la afirmación algo más fuerte de que todo subgrupo permutable conjugado es subnormal, que a su vez se sigue de la afirmación de que todo subgrupo permutable conjugado máximo es normal. (La finitud se usa de manera crucial en las demostraciones).