Espectro de un C*-álgebra
En matemáticas, el espectro de un C*-álgebra o dual de un C*-álgebra A , denotado  , es el conjunto de clases de equivalencia unitaria de representaciones * irreducibles de A . Una representación * π de A en un espacio de Hilbert H es irreducible si, y solo si, no hay un subespacio cerrado K diferente de H y {0} que sea invariante bajo todos los operadores π( x ) con x ∈ A . Suponemos implícitamente que la representación irreducible significaRepresentación irreducible no nula , excluyendo así representaciones triviales (es decir, idénticamente 0) en espacios unidimensionales . Como se explica a continuación, el espectro  también es naturalmente un espacio topológico ; esto es similar a la noción del espectro de un anillo .
Una de las aplicaciones más importantes de este concepto es proporcionar una noción de objeto dual para cualquier grupo localmente compacto . Este objeto dual es adecuado para formular una transformada de Fourier y un teorema de Plancherel para grupos localmente compactos separables unimodulares de tipo I y un teorema de descomposición para representaciones arbitrarias de grupos localmente compactos separables de tipo I. La teoría de la dualidad resultante para grupos localmente compactos es, sin embargo, mucho más más débil que la teoría de la dualidad de Tannaka-Krein para grupos topológicos compactos o la dualidad de Pontryagin para abelianos localmente compactosgrupos, siendo ambos invariantes completos. Que el dual no es un invariante completo se ve fácilmente ya que el dual de cualquier álgebra de matriz completa de dimensión finita M n ( C ) consiste en un solo punto.
La topología de  se puede definir de varias formas equivalentes. Primero lo definimos en términos del espectro primitivo .
El espectro primitivo de A es el conjunto de ideales primitivos Prim( A ) de A , donde un ideal primitivo es el núcleo de una representación * irreducible. El conjunto de ideales primitivos es un espacio topológico con la topología casco-núcleo (o topología de Jacobson ). Esto se define de la siguiente manera: si X es un conjunto de ideales primitivos, su cierre casco-núcleo es
y se puede demostrar que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Como consecuencia, se puede demostrar que existe una topología única τ en Prim( A ) tal que la clausura de un conjunto X con respecto a τ es idéntica a la clausura casco-núcleo de X .
Dado que las representaciones unitariamente equivalentes tienen el mismo núcleo, la función π ↦ ker(π) se factoriza a través de una función sobreyectiva
