En matemáticas aplicadas , la transformada de Joukowsky, que lleva el nombre de Nikolai Zhukovsky (quien la publicó en 1910), [1] es un mapa conforme históricamente utilizado para comprender algunos principios del diseño de superficies aerodinámicas .
La transformación es
dónde es una variable compleja en el nuevo espacio yes una variable compleja en el espacio original. Este transformar también se llama la transformación Joukowsky , la Joukowski transformar , el Zhukovsky transformar y otras variaciones.
En aerodinámica , la transformación se utiliza para resolver el flujo potencial bidimensional alrededor de una clase de perfiles aerodinámicos conocidos como perfiles aerodinámicos Joukowsky. Se genera un perfil aerodinámico de Joukowsky en el plano complejo (-plano) aplicando la transformada de Joukowsky a un círculo en el -avión. Las coordenadas del centro del círculo son variables y variarlas modifica la forma del perfil aerodinámico resultante. El círculo encierra el punto (donde la derivada es cero) y se cruza con el punto Esto se puede lograr para cualquier posición central permitida. variando el radio del círculo.
Las aspas aerodinámicas de Joukowsky tienen una cúspide en su borde de fuga . Un mapeo conforme estrechamente relacionado, la transformada de Kármán-Trefftz , genera la clase mucho más amplia de perfiles aerodinámicos de Kármán-Trefftz al controlar el ángulo del borde de fuga. Cuando se especifica un ángulo de borde de salida de cero, la transformada de Kármán-Trefftz se reduce a la transformada de Joukowsky.
Transformación del general Joukowsky
La transformada de Joukowsky de cualquier número complejo a es como sigue:
Entonces el real () e imaginario () componentes son:
Muestra de perfil aerodinámico Joukowsky
La transformación de todos los números complejos en el círculo unitario es un caso especial.
Entonces el componente real se convierte en y el componente imaginario se convierte .
Por lo tanto, el círculo unitario complejo se asigna a una placa plana en la recta numérica real de -2 a +2.
La transformación de otros círculos crea una amplia gama de formas aerodinámicas.
Campo de velocidad y circulación para el perfil aerodinámico de Joukowsky
La solución al flujo potencial alrededor de un cilindro circular es analítica y bien conocida. Es la superposición de flujo uniforme , un doblete y un vórtice .
La velocidad compleja conjugada alrededor del círculo en el -plano es
dónde
- es la coordenada compleja del centro del círculo,
- es la velocidad de flujo libre del fluido,
- es el ángulo de ataque del perfil aerodinámico con respecto al flujo de corriente libre,
- es el radio del círculo, calculado usando ,
- es la circulación , que se encuentra utilizando la condición de Kutta , que se reduce en este caso a
La velocidad compleja alrededor de la superficie aerodinámica en el -plano es, de acuerdo con las reglas del mapeo conforme y usando la transformación de Joukowsky,
Aquí con y los componentes de la velocidad en el y direcciones respectivamente ( con y valor real). A partir de esta velocidad, se pueden calcular otras propiedades de interés del flujo, como el coeficiente de presión y elevación por unidad de tramo.
Un perfil aerodinámico de Joukowsky tiene una cúspide en el borde de fuga.
La transformación lleva el nombre del científico ruso Nikolai Zhukovsky . Su nombre históricamente ha sido romanizado de varias formas, de ahí la variación en la ortografía de transform.
Transformada de Kármán-Trefftz
La transformada de Kármán-Trefftz es un mapa conforme estrechamente relacionado con la transformada de Joukowsky. Mientras que un perfil aerodinámico Joukowsky tiene un borde de fuga en forma de cúspide, un perfil aerodinámico Kármán-Trefftz, que es el resultado de la transformación de un círculo en el-plano a lo físico -plano, análogo a la definición del perfil aerodinámico de Joukowsky, tiene un ángulo distinto de cero en el borde de fuga, entre la superficie superior e inferior del perfil aerodinámico. Por tanto, la transformada de Kármán-Trefftz requiere un parámetro adicional: el ángulo del borde de fugaEsta transformación es [2] [3]
( A )
dónde es una constante real que determina las posiciones donde , y es ligeramente menor que 2. El ángulo entre las tangentes de las superficies superior e inferior del perfil aerodinámico en el borde de fuga está relacionado concomo [2]
La derivada , requerido para calcular el campo de velocidad, es
Fondo
Primero, sume y reste 2 de la transformada de Joukowsky, como se indica arriba:
Dividir los lados izquierdo y derecho da
El lado derecho contiene (como factor) la simple ley de la segunda potencia de la teoría del flujo potencial , aplicada en el borde de fuga cerca A partir de la teoría del mapeo conforme, se sabe que este mapa cuadrático cambia un semiplano en el -espacio en flujo potencial alrededor de una línea recta semi-infinita. Además, los valores de la potencia inferiores a 2 darán como resultado un flujo alrededor de un ángulo finito. Entonces, al cambiar la potencia en la transformada de Joukowsky a un valor ligeramente menor que 2, el resultado es un ángulo finito en lugar de una cúspide. Reemplazando 2 poren la ecuación anterior da [2]
que es la transformada de Kármán-Trefftz. Resolviendo parada en la forma de la ecuación A .
Aros aerodinámicos Joukowsky simétricos
En 1943, Hsue-shen Tsien publicó una transformación de un círculo de radio en un perfil aerodinámico simétrico que depende del parámetro y ángulo de inclinación : [4]
El parámetro produce una placa plana cuando es cero y un círculo cuando es infinito; por lo tanto, corresponde al grosor del perfil aerodinámico.
Notas
- ^ Joukowsky, NE (1910). "Über die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger". Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt (en alemán). 1 : 281-284 y (1912) 3 : 81-86.
- ^ a b c Milne-Thomson, Louis M. (1973). Aerodinámica teórica (4ª ed.). Dover Publ. pp. 128 -131. ISBN 0-486-61980-X.
- ^ Blom, JJH (1981). "Algunas cantidades características de perfiles de Karman-Trefftz". Memorándum técnico de la NASA TM-77013. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Tsien, Hsue-shen (1943). "Aros aerodinámicos simétricos de Joukowsky en flujo de corte". Trimestral de Matemática Aplicada . 1 : 130–248.
Referencias
- Anderson, John (1991). Fundamentos de Aerodinámica (Segunda ed.). Toronto: McGraw – Hill. págs. 195-208. ISBN 0-07-001679-8.
- Zingg, DW (1989). "Cálculos de Euler de número de Mach bajo" . NASA TM-102205.
enlaces externos
- Applet de la NASA Transformar Joukowski
- Aplicación web interactiva Joukowsky Transform