En matemáticas , el flujo potencial alrededor de un cilindro circular es una solución clásica para el flujo de un fluido incompresible y no viscoso alrededor de un cilindro que es transversal al flujo. Lejos del cilindro, el flujo es unidireccional y uniforme. El flujo no tiene vorticidad y, por lo tanto, el campo de velocidad es irrotacional y puede modelarse como un flujo potencial . A diferencia de un fluido real, esta solución indica un arrastre neto cero en el cuerpo, un resultado conocido como la paradoja de d'Alembert .
Solución matemática [1]
Un cilindro (o disco) de radio R se coloca en un flujo no viscoso, incompresible y bidimensional. El objetivo es encontrar el vector de velocidad constante V y la presión p en un plano, sujeto a la condición de que lejos del cilindro el vector de velocidad (relativo a los vectores unitarios i y j ) sea
donde U es una constante, y en el límite del cilindro
donde n̂ es el vector normal a la superficie del cilindro. El flujo aguas arriba es uniforme y no tiene vorticidad. El flujo es no viscoso, incompresible y tiene una densidad de masa constante ρ . Por lo tanto, el flujo permanece sin vorticidad, o se dice que es irrotacional , con ∇ × V = 0 en todas partes. Al ser irrotacional, debe existir un potencial de velocidad φ :
Siendo incompresible, ∇ · V = 0 , entonces φ debe satisfacer la ecuación de Laplace :
La solución para φ se obtiene más fácilmente en las coordenadas polares r y θ , relacionadas con las coordenadas cartesianas convencionales por x = r cos θ e y = r sin θ . En coordenadas polares, la ecuación de Laplace es (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas ):
La solución que satisface las condiciones de contorno es [2]
Las componentes de la velocidad en coordenadas polares se obtienen a partir de las componentes de ∇ φ en coordenadas polares:
y
Al ser no viscoso e irrotacional, la ecuación de Bernoulli permite que la solución para el campo de presión se obtenga directamente del campo de velocidad:
donde las constantes de U y p ∞ aparecen de manera que p → p ∞ lejos del cilindro, donde V = U . Usando V 2 = V2
r+ V2
θ,
En las figuras, el campo coloreado denominado "presión" es un gráfico de
En la superficie del cilindro, o r = R , la presión varía desde un máximo de 1 (mostrado en el diagrama en rojo ) en los puntos de estancamiento en θ = 0 y θ = π hasta un mínimo de −3 (mostrado en azul ) en los lados del cilindro, en θ =π/2y θ = 3π/2. Asimismo, V varía desde V = 0 en los puntos de estancamiento hasta V = 2 U en los lados, en la baja presión.
Función de corriente
Siendo el flujo incompresible, se puede encontrar una función de flujo tal que
De esta definición se desprende, utilizando identidades vectoriales ,
Por lo tanto, un contorno de un valor constante de ψ también será una línea de corriente, una línea tangente a V . Para el flujo que pasa por un cilindro, encontramos:
Interpretación física
La ecuación de Laplace es lineal y es una de las ecuaciones diferenciales parciales más elementales . Esta simple ecuación produce la solución completa tanto para V como para p debido a la restricción de la irrotacionalidad y la incompresibilidad. Después de haber obtenido la solución para V y p , la consistencia de la gradiente de presión con las aceleraciones se puede observar.
La presión dinámica en el punto de estancamiento aguas arriba tiene un valor de1/2ρU 2 . un valor necesario para desacelerar el flujo de corriente libre de la velocidad T . Este mismo valor aparece en el punto de estancamiento aguas abajo, esta alta presión se necesita nuevamente para desacelerar el flujo a velocidad cero. Esta simetría surge solo porque el flujo es completamente sin fricción.
La baja presión en los lados del cilindro es necesaria para proporcionar la aceleración centrípeta del flujo:
donde L es el radio de curvatura del flujo. [ Cita requerida ] Pero L ≈ R , y V ≈ U . La integral de la ecuación para la aceleración centrípeta, que sobre una distancia Δ r ≈ R, dará como resultado
La solución exacta tiene, para la presión más baja,
La baja presión, que debe estar presente para proporcionar la aceleración centrípeta, también aumentará la velocidad del flujo a medida que el fluido viaja de valores de presión más altos a más bajos. Así encontramos la velocidad máxima en el flujo, V = 2 U , en la baja presión en los lados del cilindro.
Un valor de V > U es consistente con la conservación del volumen de fluido. Con el cilindro bloqueando parte del flujo, V debe ser mayor que U en algún lugar del plano que pasa por el centro del cilindro y transversal al flujo.
Comparación con el flujo de un fluido real que pasa por un cilindro
La simetría de esta solución ideal tiene un punto de estancamiento en la parte trasera del cilindro, así como en la parte delantera. La distribución de la presión sobre los lados delantero y trasero es idéntica, lo que lleva a la propiedad peculiar de tener cero arrastre en el cilindro, una propiedad conocida como paradoja de d'Alembert . A diferencia de un fluido no viscoso ideal, un flujo viscoso que pasa por un cilindro, sin importar cuán pequeña sea la viscosidad, adquirirá una capa límite delgada adyacente a la superficie del cilindro. Se producirá una separación de la capa límite y existirá una estela de arrastre en el flujo detrás del cilindro. La presión en cada punto del lado de la estela del cilindro será menor que en el lado de aguas arriba, lo que resultará en una fuerza de arrastre en la dirección de aguas abajo.
Expansión de Janzen-Rayleigh
El problema del flujo compresible potencial sobre un cilindro circular fue estudiado por primera vez por O. Janzen en 1913 [3] y por Lord Rayleigh en 1916 [4] con pequeños efectos compresibles. Aquí, el pequeño parámetro es el cuadrado del número de Mach , donde c es la velocidad del sonido . Entonces, la solución a la aproximación de primer orden en términos del potencial de velocidad es
dónde es el radio del cilindro.
Flujo potencial sobre un cilindro circular con ligeras variaciones
El análisis de perturbación regular para un flujo alrededor de un cilindro con una ligera perturbación en las configuraciones se puede encontrar en Milton Van Dyke (1975). [5] A continuación, ε representará un pequeño parámetro positivo y a es el radio del cilindro. Para análisis y discusiones más detallados, los lectores pueden consultar el libro Perturbación Methods in Fluid Mechanics de Milton Van Dyke de 1975 . [5]
Cilindro ligeramente distorsionado
Aquí el radio del cilindro no es r = a , sino una forma ligeramente distorsionada r = a (1 - ε sin 2 θ ) . Entonces la solución a la aproximación de primer orden es
Círculo ligeramente pulsante
Aquí, el radio del cilindro varía ligeramente con el tiempo, de modo que r = a (1 + ε f ( t )) . Entonces la solución a la aproximación de primer orden es
Flujo con ligera vorticidad
En general, la velocidad de flujo libre U es uniforme, en otras palabras ψ = Uy , pero aquí se impone una pequeña vorticidad en el flujo externo.
Cizalla lineal
Aquí se introduce una cizalladura lineal en la velocidad.
donde ε es el pequeño parámetro. La ecuación gobernante es
Entonces la solución a la aproximación de primer orden es
Cizalla parabólica
Aquí se introduce una cizalladura parabólica en la velocidad exterior.
Entonces la solución a la aproximación de primer orden es
donde χ es la solución homogénea de la ecuación de Laplace que restaura las condiciones de contorno.
Cilindro ligeramente poroso
Sea C ps representar el coeficiente de presión superficial para un cilindro impermeable:
donde p s es la presión superficial del cilindro impermeable. Ahora sea C pi el coeficiente de presión interna dentro del cilindro, entonces una ligera velocidad normal debido a la ligera porosidad viene dada por
pero la condición de flujo neto cero
requiere que C pi = −1 . Por lo tanto,
Entonces la solución a la aproximación de primer orden es
Cuasicilindro corrugado
Si el cilindro tiene un radio variable en la dirección axial, el eje z , r = a ( 1 + ε sin z/B) , entonces la solución a la aproximación de primer orden en términos del potencial de velocidad tridimensional es
donde K 1 (r/B) es lafunción de Bessel modificada del primer tipode orden uno.
Ver también
- Transformada de Joukowsky
- Condición de Kutta
- Efecto Magnus
Referencias
- ^ Batchelor, George Keith (2000). Introducción a la dinámica de fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521663960.[ página necesaria ]
- ^ Acheson, David J. (1990). Dinámica de fluidos elemental . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780198596790.[ página necesaria ]
- ^ O. JANZEN, Beitrag zu eincr Theorie der stationaren Stromung kompressibler Flussigkeiten. Phys. Zeits., 14 (1913)
- ^ Rayleigh, L. (1916). I. En el flujo de fluido compresible más allá de un obstáculo. The London, Edinburgh y Dublin Philosophical Magazine y Journal of Science, 32 (187), 1-6.
- ^ a b Van Dyke, Milton (1975). Métodos de perturbación en mecánica de fluidos . Prensa parabólica.[ Falta el ISBN ] [ página necesaria ]