Colector G 2

En geometría diferencial , una variedad G ₂ es una variedad Riemanniana de siete dimensiones con un grupo de holonomía contenido en G ₂ . El grupo es uno de los cinco grupos de Lie simples excepcionales . Puede describirse como el grupo de automorfismo de los octoniones , o de manera equivalente, como un subgrupo propio del grupo ortogonal especial SO (7) que conserva un espinor en la representación de espinor de ocho dimensiones o, por último, como el subgrupo del grupo lineal general.${\displaystyle G_{2}}$GL (7) que conserva la forma 3 no degenerada , la forma asociativa. El Hodge dual , es entonces una 4-forma paralela, la forma coassociative. Estas formas son calibraciones en el sentido de Reese Harvey y H. Blaine Lawson , ^[1] y por lo tanto definen clases especiales de subvariedades de 3 y 4 dimensiones.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi =*\phi }$

Propiedades

Todo -manifold son 7-dimensionales, Ricci-planos , orientables colectores de giro . Además, cualquier variedad compacta con holonomía igual a tiene un grupo fundamental finito , una primera clase Pontryagin distinta de cero y un tercero y cuarto números Betti distintos de cero .${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

Historia

El hecho de que posiblemente podría ser el grupo de holonomía de ciertas variedades 7 de Riemann fue sugerido por primera vez por el teorema de clasificación de Marcel Berger de 1955 , y esto siguió siendo consistente con la demostración simplificada dada más tarde por Jim Simons en 1962. Aunque no hay un solo ejemplo de tal aún se había descubierto una variedad, Edmond Bonan hizo una contribución útil al mostrar que, si tal variedad existiera de hecho, llevaría una forma paralela de 3 y una forma paralela de 4, y que necesariamente sería Ricci -plano. ^[2]${\displaystyle G_{2}}$

Los primeros ejemplos locales de siete variedades con holonomía fueron finalmente construidos alrededor de 1984 por Robert Bryant , y su prueba completa de su existencia apareció en los Anales en 1987. ^[3] A continuación, las siete variedades completas (pero aún no compactas) con holonomía fueron construido por Bryant y Simon Salamon en 1989. ^[4] Los primeros 7 colectores compactos con holonomía fueron construidos por Dominic Joyce en 1994. Por lo tanto, los colectores compactos se conocen a veces como "colectores de Joyce", especialmente en la literatura de física. ^[5] En 2013, M. Firat Arikan, Hyunjoo Cho y Sema Salur demostraron que cualquier variedad con una estructura de espín y, por lo tanto, una${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$-estructura, admite una estructura métrica de casi contacto compatible, y se construyó una estructura de casi contacto compatible explícita para colectores con -estructura. ^[6] En el mismo artículo, se demostró que ciertas clases de colectores -admiten una estructura de contacto.${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

En 2015, una nueva construcción de variedades compactas , debida a Alessio Corti , Mark Haskins, Johannes Nordstrőm y Tommaso Pacini, combinó una idea de pegado sugerida por Simon Donaldson con nuevas técnicas algebro-geométricas y analíticas para construir variedades Calabi-Yau con extremos cilíndricos. , lo que da como resultado decenas de miles de tipos de difeomorfismo de nuevos ejemplos. ^[7]${\displaystyle G_{2}}$

Conexiones con la física

Estas variedades son importantes en la teoría de cuerdas . Rompen la supersimetría original a 1/8 de la cantidad original. Por ejemplo, la teoría M compactada en una variedad conduce a una teoría realista de cuatro dimensiones (11-7 = 4) con supersimetría N = 1. La supergravedad efectiva de baja energía resultante contiene un único supermultiplet de supergravedad , un número de supermultipletes quirales igual al tercer número Betti de la variedad y un número de supermultipletes de vector U (1) igual al segundo número Betti. Recientemente se demostró que casi las estructuras de contacto (construidas por Sema Salur${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$et al.) ^[6] juegan un papel importante en la geometría ". ^[8]${\displaystyle G_{2}}$

Ver también

• Spin (7) colector
• Colector Calabi – Yau

Referencias

1. Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine (1982), " Geometrías calibradas", Acta Mathematica , 148 : 47–157, doi : 10.1007 / BF02392726 , MR  0666108.
2. Bonan, Edmond (1966), "Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin (7)", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 262 : 127-129.
3. Bryant, Robert L. (1987), "Métricas con holonomía excepcional", Annals of Mathematics , 126 (2): 525–576, doi : 10.2307 / 1971360 , JSTOR 1971360 .
4. Bryant, Robert L .; Salamon, Simon M. (1989), "Sobre la construcción de algunas métricas completas con una holonomía excepcional", Duke Mathematical Journal , 58 : 829–850, doi : 10.1215 / s0012-7094-89-05839-0 , MR 1016448 .
5. Joyce, Dominic D. (2000), Manifolds compactos con holonomía especial , Monografías matemáticas de Oxford , Oxford University Press , ISBN 0-19-850601-5.
6. Arikan, M. Firat; Cho, Hyunjoo; Salur, Sema (2013), "Existencia de estructuras de contacto compatibles en -variedades", Asian Journal of Mathematics , 17 (2): 321–334, arXiv : 1112.2951 , doi : 10.4310 / AJM.2013.v17.n2.a3${\displaystyle G_{2}}$.
7. Corti, Alessio ; Haskins, Mark; Nordström, Johannes; Pacini, Tommaso (2015). "Colectores G2 y subvariedades asociativas vía semi-Fano 3-pliegues". Revista Matemática de Duke . 164 : 1971–2092.
8. de la Ossa, Xenia; Larfors, Magdalena; Magill, Matthew (2021). "Casi estructuras de contacto en colectores con estructura G2". arXiv : 2101.12605 .

Otras lecturas

• Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John H. (2007), "Manifolds with G ₂ and Spin (7) holonomy", String Theory and M-Theory: A Modern Introduction , Cambridge University Press, págs. 433–455, ISBN 978-0-521-86069-7.
• Fernández, M .; Gray, A. (1982), "Variedades de Riemann con grupo de estructura G ₂ ", Ann. Estera. Pura Appl. , 32 : 19–845, doi : 10.1007 / BF01760975.
• Karigiannis, Spiro (2011), "¿Qué es ... un colector G 2 ?" (PDF) , Avisos de AMS , 58 (04): 580–581.