En matemáticas , la desigualdad de Karamata , [1] llamada así por Jovan Karamata , [2] también conocida como desigualdad de mayorización , es un teorema en álgebra elemental para funciones convexas y cóncavas de valor real, definidas en un intervalo de la línea real. Generaliza la forma discreta de la desigualdad de Jensen y, a su vez, generaliza al concepto de funciones Schur-convexas .
Declaración de la desigualdad
Let Me ser un intervalo de la recta real y deja f denotar una de valor real, función convexa definida en I . Si x 1 ,…, x n y y 1 ,…, y n son números en I tales que ( x 1 ,…, x n ) mayoriza ( y 1 ,…, y n ) , entonces
( 1 )
Aquí, la mayorización significa que x 1 ,…, x n y y 1 ,…, y n satisface
- y
( 2 )
y tenemos las desigualdades
- para todo i ∈ {1,…, n - 1} .
( 3 )
y la igualdad
( 4 )
Si f es una función estrictamente convexa , entonces la desigualdad ( 1 ) se mantiene con igualdad si y solo si tenemos x i = y i para todo i ∈ {1,…, n } .
Observaciones
- Si la función convexa f no es decreciente , entonces la prueba de ( 1 ) a continuación y la discusión de la igualdad en el caso de convexidad estricta muestra que la igualdad ( 4 ) se puede relajar a
( 5 )
- La desigualdad ( 1 ) se invierte si f es cóncava , ya que en este caso la función - f es convexa.
Ejemplo
La forma finita de la desigualdad de Jensen es un caso especial de este resultado. Considere los números reales x 1 ,…, x n ∈ I y sea
denotar su media aritmética . Entonces ( x 1 ,…, x n ) mayoriza la n- tupla ( a , a ,…, a ) , ya que la media aritmética de los i números más grandes de ( x 1 ,…, x n ) es al menos tan grande como la media aritmética a de todos los n números, para cada i ∈ {1,…, n - 1} . Por la desigualdad de Karamata ( 1 ) para la función convexa f ,
Dividir entre n da la desigualdad de Jensen. El signo se invierte si f es cóncava.
Prueba de la desigualdad
Podemos suponer que los números están en orden decreciente como se especifica en ( 2 ).
Si x i = y i para todo i ∈ {1,…, n } , entonces la desigualdad ( 1 ) se cumple con igualdad, por lo que podemos suponer a continuación que x i ≠ y i para al menos un i .
Si x i = y i para un i ∈ {1,…, n - 1} , entonces la desigualdad ( 1 ) y las propiedades de mayorización ( 3 ) y ( 4 ) no se ven afectadas si eliminamos x i y y i . Por tanto, podemos suponer que x i ≠ y i para todo i ∈ {1,…, n - 1} .
Es una propiedad de las funciones convexas que para dos números x ≠ y en el intervalo I la pendiente
de la recta secante que pasa por los puntos ( x , f ( x )) y ( y , f ( y )) de la gráfica de f es una función monótona no decreciente en x para y fija (y viceversa ). Esto implica que
( 6 )
para todo i ∈ {1,…, n - 1} . Defina A 0 = B 0 = 0 y
para todo i ∈ {1,…, n } . Por la propiedad de mayorización ( 3 ), A i ≥ B i para todo i ∈ {1,…, n - 1} y por ( 4 ), A n = B n . Por eso,
( 7 )
lo que prueba la desigualdad de Karamata ( 1 ).
Para discutir el caso de igualdad en ( 1 ), observe que x 1 > y 1 por ( 3 ) y nuestra suposición x i ≠ y i para todo i ∈ {1,…, n - 1} . Sea i el índice más pequeño tal que ( x i , y i ) ≠ ( x i +1 , y i +1 ) , que existe debido a ( 4 ). Entonces A i > B i . Si f es estrictamente convexa, entonces hay una desigualdad estricta en ( 6 ), lo que significa que c i +1 < c i . Por tanto, hay un término estrictamente positivo en la suma del lado derecho de ( 7 ) y la igualdad en ( 1 ) no se puede mantener.
Si la función convexa f no es decreciente, entonces c n ≥ 0 . La condición relajada ( 5 ) significa que A n ≥ B n , lo cual es suficiente para concluir que c n ( A n - B n ) ≥ 0 en el último paso de ( 7 ).
Si la función f es estrictamente convexa y no decreciente, entonces c n > 0 . Solo queda discutir el caso A n > B n . Sin embargo, entonces hay un término estrictamente positivo en el lado derecho de ( 7 ) y la igualdad en ( 1 ) no puede sostenerse.
Referencias
- ^ Kadelburg, Zoran; Đukić, Dušan; Lukić, Milivoje; Matić, Ivan (2005), "Desigualdades de Karamata, Schur y Muirhead, y algunas aplicaciones" (PDF) , La enseñanza de las matemáticas , 8 (1): 31–45, ISSN 1451-4966
- ^ Karamata, Jovan (1932), "Sur une inégalité relativas aux fonctions convexes" (PDF) , Publ. Matemáticas. Univ. Belgrado (en francés), 1 : 145–148, Zbl 0005.20101
enlaces externos
Una explicación de la teoría de la desigualdad y de mayorización Karamata se puede encontrar aquí .