En matemáticas , el teorema de extensión de Kolmogorov (también conocido como teorema de existencia de Kolmogorov , teorema de consistencia de Kolmogorov o teorema de Daniell-Kolmogorov ) es un teorema que garantiza que una colección adecuadamente "consistente" de distribuciones de dimensión finita definirá un proceso estocástico . Se le atribuye al matemático inglés Percy John Daniell y al matemático ruso Andrey Nikolaevich Kolmogorov . [1]
Declaración del teorema
Dejar denotar algún intervalo (considerado como " tiempo "), y dejar. Para caday secuencia finita de tiempos distintos, dejar ser una medida de probabilidad en. Supongamos que estas medidas satisfacen dos condiciones de coherencia:
1. para todas las permutaciones de y conjuntos medibles ,
2. para todos los conjuntos medibles ,
Entonces existe un espacio de probabilidad y un proceso estocástico tal que
para todos , y conjuntos medibles , es decir posee como sus distribuciones de dimensión finita en relación con los tiempos .
De hecho, siempre es posible tomar como espacio de probabilidad subyacente y tomar por el proceso canónico . Por lo tanto, una forma alternativa de enunciar el teorema de extensión de Kolmogorov es que, siempre que se cumplan las condiciones de consistencia anteriores, existe una medida (única) en con marginales para cualquier colección finita de tiempos . El teorema de extensión de Kolmogorov se aplica cuando es incontable, pero el precio a pagar por este nivel de generalidad es que la medida sólo se define en el producto σ-álgebra de, que no es muy rico.
Explicación de las condiciones
Las dos condiciones requeridas por el teorema se satisfacen trivialmente mediante cualquier proceso estocástico. Por ejemplo, considere un proceso estocástico de tiempo discreto con valor real. Entonces la probabilidad se puede calcular como o como . Por lo tanto, para que las distribuciones de dimensión finita sean consistentes, debe sostener que. La primera condición generaliza esta declaración para que sea válida para cualquier número de puntos de tiempo., y cualquier conjunto de control .
Continuando con el ejemplo, la segunda condición implica que . Además, esta es una condición trivial que será satisfecha por cualquier familia consistente de distribuciones de dimensión finita.
Implicaciones del teorema
Dado que las dos condiciones se satisfacen trivialmente para cualquier proceso estocástico, el poder del teorema es que no se requieren otras condiciones: para cualquier familia razonable (es decir, consistente) de distribuciones de dimensión finita, existe un proceso estocástico con estas distribuciones.
El enfoque de la teoría de medidas para los procesos estocásticos comienza con un espacio de probabilidad y define un proceso estocástico como una familia de funciones en este espacio de probabilidad. Sin embargo, en muchas aplicaciones, el punto de partida son realmente las distribuciones de dimensión finita del proceso estocástico. El teorema dice que siempre que las distribuciones de dimensión finita satisfagan los requisitos de consistencia obvios, siempre se puede identificar un espacio de probabilidad que se ajuste al propósito. En muchas situaciones, esto significa que no es necesario ser explícito sobre cuál es el espacio de probabilidad. Muchos textos sobre procesos estocásticos asumen, de hecho, un espacio de probabilidad pero nunca declaran explícitamente qué es.
El teorema se usa en una de las pruebas estándar de existencia de un movimiento browniano , especificando que las distribuciones dimensionales finitas sean variables aleatorias gaussianas, satisfaciendo las condiciones de consistencia anteriores. Como en la mayoría de las definiciones de movimiento browniano , se requiere que las rutas muestrales sean continuas casi con seguridad, y luego se usa el teorema de continuidad de Kolmogorov para construir una modificación continua del proceso construido por el teorema de extensión de Kolmogorov.
Forma general del teorema
El teorema de extensión de Kolmogorov nos da las condiciones para que una colección de medidas en espacios euclidianos sean las distribuciones de dimensión finita de algunos proceso estocástico valorado, pero la suposición de que el espacio de es innecesario. De hecho, cualquier colección de espacios medibles junto con una colección de medidas regulares internas definidas sobre los productos finitos de estos espacios sería suficiente, siempre que estas medidas satisfagan una cierta relación de compatibilidad. El enunciado formal del teorema general es el siguiente. [2]
Dejar ser cualquier conjunto. Dejar ser una colección de espacios medibles, y para cada , dejar ser una topología de Hausdorff en. Para cada subconjunto finito, definir
- .
Para subconjuntos , dejar denotar el mapa de proyección canónico .
Para cada subconjunto finito , supongamos que tenemos una medida de probabilidad en que es interna regular con respecto a la topología del producto (inducida por la) en . Supongamos también que esta colección de medidas satisface la siguiente relación de compatibilidad: para subconjuntos finitos , tenemos eso
dónde denota la medida de avance de inducida por el mapa de proyección canónica .
Entonces existe una medida de probabilidad única en tal que para cada subconjunto finito .
Como comentario, todas las medidas se definen en el producto álgebra sigma en sus respectivos espacios, que (como se mencionó anteriormente) es bastante burdo. La medida a veces puede extenderse apropiadamente a un álgebra sigma más grande, si hay una estructura adicional involucrada.
Tenga en cuenta que el enunciado original del teorema es solo un caso especial de este teorema con para todos , y por . El proceso estocástico sería simplemente el proceso canónico, definido en con medida de probabilidad . La razón por la que el enunciado original del teorema no menciona la regularidad interna de las medidases que esto seguiría automáticamente, ya que las medidas de probabilidad de Borel en espacios polacos son automáticamente Radón .
Este teorema tiene muchas consecuencias de gran alcance; por ejemplo, se puede utilizar para probar la existencia de lo siguiente, entre otros:
- El movimiento browniano, es decir, el proceso de Wiener ,
- una cadena de Markov que toma valores en un espacio de estados dado con una matriz de transición dada,
- productos infinitos de espacios de probabilidad (internos-regulares).
Historia
Según John Aldrich, el teorema fue descubierto independientemente por el matemático británico Percy John Daniell en un escenario ligeramente diferente de la teoría de la integración. [3]
Referencias
- ↑ Øksendal, Bernt (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. pag. 11. ISBN 3-540-04758-1.
- ^ Tao, T. (2011). Introducción a la teoría de la medida . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 126 . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 195. ISBN 978-0-8218-6919-2.
- ^ J. Aldrich, Pero hay que recordar a PJ Daniell de Sheffield, Revista electrónica de historia de probabilidad y estadística, vol. 3, número 2, 2007
enlaces externos
- Aldrich, J. (2007) "Pero hay que recordar a PJDaniell of Sheffield" Electronic Journ @ l for History of Probability and Statistics diciembre de 2007.