Foliación

En matemáticas ( geometría diferencial ), una foliación es una relación de equivalencia en una n -variedad , las clases de equivalencia están conectadas, subvariedades sumergidas inyectivamente , todas de la misma dimensión p , modeladas en la descomposición del espacio de coordenadas reales R n en las clases laterales x + R p del subespacio incrustado estándar R p . Las clases de equivalencia se llaman hojas. de la foliación. [1] Si se requiere que la variedad y/o las subvariedades tengan una estructura lineal por partes , diferenciable (de clase C r ) o analítica , entonces se definen foliaciones lineales por partes, diferenciables o analíticas, respectivamente. En el caso más importante de foliación diferenciable de clase C r se suele entender que r ≥ 1 (en caso contrario, C 0 es una foliación topológica). [2] El número p (la dimensión de las hojas) se denomina dimensión de la foliación y q = n −p se llama su codimensión .

En algunos artículos sobre relatividad general escritos por físicos matemáticos, el término foliación (o corte ) se usa para describir una situación en la que la variedad de Lorentz relevante (un ( p +1) espacio-tiempo dimensional ) se ha descompuesto en hipersuperficies de dimensión p , especificadas como los conjuntos de nivel de una función suave de valor real ( campo escalar ) cuyo gradiente es en todas partes distinto de cero; Además, se suele suponer que esta función suave es una función de tiempo, lo que significa que su gradiente es en todas partes similar al tiempo., por lo que sus conjuntos de niveles son todas hipersuperficies similares al espacio. En deferencia a la terminología matemática estándar, estas hipersuperficies a menudo se denominan hojas (o, a veces , rebanadas ) de la foliación. [3] Tenga en cuenta que si bien esta situación constituye una foliación de codimensión-1 en el sentido matemático estándar, los ejemplos de este tipo son en realidad globalmente triviales; mientras que las hojas de una foliación (matemática) de codimensión-1 son siempre localmente los conjuntos de nivel de una función, generalmente no pueden expresarse de esta manera globalmente, [4] [5]como una hoja puede pasar a través de un gráfico de trivialización local infinitamente muchas veces, y la holonomía alrededor de una hoja también puede obstruir la existencia de funciones de definición globalmente consistentes para las hojas. Por ejemplo, mientras que la 3-esfera tiene una famosa foliación de codimensión 1 descubierta por Reeb, una foliación de codimensión 1 de una variedad cerrada no puede ser dada por los conjuntos de nivel de una función suave, ya que una función suave en una variedad cerrada necesariamente tiene puntos críticos en sus máximos y mínimos.

Para dar una definición más precisa de foliación, es necesario definir algunos elementos auxiliares.

Una vecindad rectangular en R n es un subconjunto abierto de la forma B = J 1 × ⋅⋅⋅ × J n , donde J i es un intervalo relativamente abierto (posiblemente ilimitado) en el i -ésimo eje de coordenadas. Si J 1 es de la forma ( a ,0], se dice que B tiene frontera [6]

En la siguiente definición, se consideran gráficos de coordenadas que tienen valores en R p × R q , lo que permite la posibilidad de variedades con límite y esquinas ( convexas ).

Sección bidimensional de la foliación de Reeb
Modelo tridimensional de la foliación de Reeb
Un gráfico foliado tridimensional con n = 3 y q = 1. Las placas son bidimensionales y las transversales son unidimensionales.
( a ) Foliación tangente al límite ∂ ≠ ∅ = ∂B τ ; ( b ) Foliación transversal al límite ∂B τ ≠ ∅ = ∂ ; ( c ) Foliación con una esquina que separa el límite tangencial del límite transversal ∂ ≠ ∅ ≠ ∂B τ .
Las placas de U α se encuentran cada una con dos placas de U β .
Gráficos de muestra en un atlas foliado regular.
Descomposición mediante la función de coordenadas x  : U → R n .
Una sección transversal N y el primer mapa de retorno f donde M = S 1 × D 2 y N = D 2 .
La foliación lineal en R 2 pasa a la foliación en T 2 . a) la pendiente es racional (foliación lineal); b) la pendiente es irracional (foliación de Kronecker).
Rotación irracional en un 2-torus.
Suspensión de toro de 2 agujeros después de cortar y volver a pegar. a) Toro de dos agujeros con los tramos a cortar; b) la figura geométrica después del corte con las cuatro caras.