En topología , una rama de las matemáticas , una variedad M puede descomponerse o dividirse escribiendo M como una combinación de piezas más pequeñas. Al hacer esto, uno debe especificar cuáles son esas piezas son y cómo se ponen juntos para formar M .
La descomposición del colector funciona en dos direcciones: se puede comenzar con las piezas más pequeñas y construir un colector, o comenzar con un colector grande y descomponerlo. Este último ha demostrado ser una forma muy útil de estudiar variedades: sin herramientas como la descomposición, a veces es muy difícil entender una variedad. En particular, ha sido útil en los intentos de clasificar 3 variedades y también en la prueba de la conjetura de Poincaré de dimensiones superiores .
La siguiente tabla es un resumen de las diversas técnicas de descomposición múltiple. La columna denominada " M " indica qué tipo de colector se puede descomponer; la columna denominada "Cómo se descompone" indica cómo, comenzando con un colector, se puede descomponer en pedazos más pequeños; la columna denominada "Las piezas" indica lo que pueden ser las piezas; y la columna denominada "Cómo se combinan" indica cómo se combinan las piezas más pequeñas para formar la gran variedad.
Tipo de descomposición | METRO | Como se descompone | Las piezas | Como se combinan |
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Triangulación | Depende de la dimensión. En la dimensión 3, un teorema de Edwin E. Moise da que cada tres variedades tiene una triangulación única, única hasta la subdivisión común. En la dimensión 4, no todos los colectores son triangulables. Para dimensiones superiores, se desconoce la existencia general de triangulaciones. | simplices | Pegue pares de caras de codimensión uno | |
Descomposición del toro de Jaco-Shalen / Johannson | 3 colectores compactos , orientables e irreductibles | Cortar a lo largo de toros incrustados | 3 colectores Atoroidal o con fibra de Seifert | Unión a lo largo de su límite, utilizando el homeomorfismo trivial |
Primera descomposición | Esencialmente superficies y 3 colectores . La descomposición es única cuando el colector es orientable. | Cortar a lo largo de esferas incrustadas ; luego unión por el homeomorfismo trivial a lo largo de los límites resultantes con bolas disjuntas . | Colectores de cebado | Suma conectada |
Heegaard partiendo | cerrados , orientables 3-variedades | Dos mangos de igual género | Unión a lo largo de la frontera por algún homeomorfismo | |
Manejar la descomposición | Cualquier colector n compacto ( suave ) (y la descomposición nunca es única) | Mediante funciones Morse se asocia un asa a cada punto crítico . | Bolas (llamadas asas ) | Unión a lo largo de un subconjunto de los límites . Tenga en cuenta que las asas generalmente se deben agregar en un orden específico. |
Jerarquía de Haken | Cualquier colector Haken | Cortar a lo largo de una secuencia de superficies incompresibles | 3 bolas | |
Descomposición en disco | Certain compacto , orientables 3-variedades | Suture el colector, luego corte a lo largo de superficies especiales (condición en las curvas de límite y suturas ...) | 3 bolas | |
Descomposición a libro abierto | Cualquier colector 3 orientable cerrado | un enlace y una familia de 2 variedades que comparten un límite con ese enlace | ||
Trigenus | 3 colectores compactos y cerrados | Cirugías | tres manijas orientables | Uniones a lo largo de subsuperficies en los límites de los mangos |
Ver también
- Teoría de la cirugía