En álgebra conmutativa, un anillo de Krull o dominio de Krull es un anillo conmutativo con una teoría de factorización prima bien desarrollada. Fueron introducidos por Wolfgang Krull ( 1931 ). Son una generalización de dimensiones superiores de los dominios de Dedekind , que son exactamente los dominios de Krull de dimensión como máximo 1.
En este artículo, un anillo es conmutativo y tiene unidad.
Definicion formal
Dejar ser un dominio integral y dejarser el conjunto de todos los ideales primordiales dede altura uno, es decir, el conjunto de todos los ideales primos que no contienen ningún ideal primo distinto de cero. Luegoes un anillo Krull si
- es un anillo de valoración discreto para todos,
- es la intersección de estos anillos de valoración discretos (considerados como subanillos del campo cociente de ).
- Cualquier elemento distinto de cero de está contenido sólo en un número finito de ideales primos de altura 1.
Propiedades
Un dominio de Krull es un dominio de factorización único si y solo si cada ideal primo de altura uno es principal. [1]
Sea A un anillo de Zariski (por ejemplo, un anillo noetheriano local). Si la finalizaciónes un dominio de Krull, entonces A es un dominio de Krull. [2]
Ejemplos de
- Cada dominio noetheriano integralmente cerrado es un anillo de Krull. En particular, los dominios de Dedekind son anillos de Krull. Por el contrario, los anillos de Krull están integralmente cerrados, por lo que un dominio noetheriano es Krull si y solo si está integralmente cerrado.
- Si es un anillo de Krull, entonces también lo es el anillo polinomial y el anillo formal de la serie power .
- El anillo polinomial en un número infinito de variables en un dominio de factorización único es un anillo de Krull que no es noetheriano. En general, cualquier dominio de factorización único es un anillo de Krull.
- Dejar ser un dominio noetheriano con campo de cociente , y ser una extensión algebraica finita de. Entonces el cierre integral de en es un anillo de Krull ( teorema de Mori-Nagata ). [3]
El grupo de clase divisor de un anillo Krull
Un divisor (de Weil) de un anillo de Krull A es una combinación lineal integral formal de los ideales primos de altura 1, y estos forman un grupo D ( A ). Un divisor de la formapara alguna x distinta de cero en K , el campo fraccionario de, se llama divisor principal y los divisores principales forman un subgrupo del grupo de divisores. El cociente del grupo de divisores por el subgrupo de divisores principales se llama el grupo de la clase divisor de A .
Un divisor Cartier de un anillo Krull es un divisor local principal (Weil). Los divisores de Cartier forman un subgrupo del grupo de divisores que contiene los divisores principales. El cociente de los divisores de Cartier por los divisores principales es un subgrupo del grupo de clases de divisores, isomorfo al grupo Picard de poleas invertibles en Spec ( A ).
Ejemplo: en el anillo k [ x , y , z ] / ( xy - z 2 ) el grupo de la clase del divisor tiene el orden 2, generado por el divisor y = z , pero el subgrupo Picard es el grupo trivial. [4]
Referencias
- ^ "Krull ring" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994] , consultado el 14 de abril de 2016
- ↑ Bourbaki, 7.1, no 10, Proposición 16.
- ^ Huneke, Craig; Swanson, Irena (12 de octubre de 2006). Cierre integral de ideales, anillos y módulos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521688604.
- ^ Hartshorne, GTM52, ejemplo 6.5.2, p.133 y ejemplo 6.11.3, p.142.
- N. Bourbaki. Álgebra conmutativa .
- "Krull ring" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Krull, Wolfgang (1931), "Allgemeine Bewertungstheorie" , J. Reine Angew. Matemáticas. , 167 : 160–196[ enlace muerto permanente ]
- Hideyuki Matsumura, álgebra conmutativa . Segunda edicion. Serie de notas de conferencias de matemáticas, 56. Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv + 313 págs. ISBN 0-8053-7026-9
- Hideyuki Matsumura, teoría del anillo conmutativo . Traducido del japonés por M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv + 320 pp. ISBN 0-521-25916-9
- Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Conferencias sobre dominios de factorización únicos , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, 30 , Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0214579