En álgebra abstracta , el campo de fracciones de un dominio integral es el campo más pequeño en el que se puede incrustar .
Los elementos del campo de fracciones del dominio integral son clases de equivalencia (ver la construcción a continuación) escritas como
con
- y en y .
El campo de las fracciones de a veces se denota por o .
Los matemáticos se refieren a esta construcción como campo de fracciones, campo de fracciones , campo de cocientes o campo de cocientes . Los cuatro son de uso común. La expresión "campo de cociente" a veces puede correr el riesgo de confundirse con el cociente de un anillo por un ideal, que es un concepto bastante diferente.
Ejemplos de
- El campo de las fracciones del anillo de los enteros es el campo de los racionales ,.
- Dejar sea el anillo de los enteros gaussianos . Luego, el campo de los racionales gaussianos .
- El campo de fracciones de un campo es canónicamente isomorfo al campo mismo.
- Dado un campo , el campo de fracciones del anillo polinomial en uno indeterminado (que es un dominio integral), se llama campo de funciones racionales ocampo de fracciones racionales [1] [2] [3] y se denota.
Construcción
Dejar ser cualquier dominio integral .
Para con , la fracción
denota la clase de equivalencia de pares
dónde es equivalente a si y solo si .
(La definición de equivalencia se basa en la propiedad de los números racionales que si y solo si .)
El campo de las fracciones se define como el conjunto de todas esas fracciones .
La suma de y Se define como
y el producto de y Se define como
(se comprueba que estén bien definidos).
La incrustación de en mapas cada uno en a la fracción para cualquier distinto de cero (la clase de equivalencia es independiente de la elección ). Esto se basa en la identidad.
El campo de las fracciones de se caracteriza por la siguiente propiedad universal :
- Si es un homomorfismo de anillo inyectivo de en un campo , entonces existe un homomorfismo de anillo único que se extiende .
Hay una interpretación categórica de esta construcción. Dejarser la categoría de dominios integrales y mapas de anillos inyectivos. El functor dea la categoría de campos que lleva cada dominio integral a su campo de fracción y cada homomorfismo al mapa inducido de campos (que existe por la propiedad universal) es el adjunto izquierdo del funtor de inclusión de la categoría de campos a. Por tanto, la categoría de campos (que es una subcategoría completa) es una subcategoría reflexiva de.
No se requiere una identidad multiplicativa para el papel del dominio integral; esta construcción se puede aplicar a cualquier rng conmutativo distinto de cero sin divisores distintos de cero . La incrustación viene dada por para cualquier distinto de cero . [4]
Generalizaciones
Localización
Para cualquier anillo conmutativo y cualquier conjunto multiplicativo en , la localización es el anillo conmutativo que consta de fracciones
con y , donde ahora es equivalente a si y solo si existe tal que .
Dos casos especiales de esto son notables:
- Si es el complemento de un ideal primo , luego también se denota .
Cuándoes un dominio integral y es el ideal cero, es el campo de fracciones de . - Si es el conjunto de divisores distintos de cero en, luego se llama anillo del cociente total .
El anillo del cociente total de un dominio integral es su campo de fracciones , pero el anillo del cociente total se define para cualquier anillo conmutativo .
Tenga en cuenta que está permitido para para contener 0, pero en ese caso será el anillo trivial .
Semicampo de fracciones
El semicampo de fracciones de un semirector conmutativo sin divisores de cero es el semicampo más pequeño en el que se puede incrustar .
Los elementos del semicampo de fracciones del semirrígido conmutativo ¿Las clases de equivalencia están escritas como
con y en .
Ver también
- Condición del mineral ; esta es la condición que uno debe considerar en el caso no conmutativo.
- Línea proyectiva sobre un anillo ; estructura alternativa no limitada a dominios integrales.
Referencias
- ^ Ernest Borísovich Vinberg (2003). Un curso de álgebra . pag. 131.
- ^ Stephan Foldes (1994). Estructuras fundamentales de álgebra y matemáticas discretas . John Wiley e hijos. pag. 128 .
- ^ Pierre Antoine Grillet (2007). Álgebra abstracta . pag. 124.
- ^ Hungerford, Thomas W. (1980). Álgebra (3ª ed. Revisada). Nueva York: Springer. págs. 142-144. ISBN 3540905189.