Coordenadas de Kruskal-Szekeres

Diagrama de Kruskal-Szekeres, ilustrado para 2 GM = 1. Los cuadrantes son el interior del agujero negro (II), el interior del agujero blanco (IV) y las dos regiones exteriores (I y III). Las líneas punteadas de 45 °, que separan estas cuatro regiones, son los horizontes de eventos . Las hipérbolas más oscuras que delimitan la parte superior e inferior del diagrama son las singularidades físicas. Las hipérbolas más pálidas representan los contornos de la coordenada r de Schwarzschild , y las líneas rectas que atraviesan el origen representan los contornos de la coordenada t de Schwarzschild .

En relatividad general , las coordenadas de Kruskal-Szekeres , que llevan el nombre de Martin Kruskal y George Szekeres , son un sistema de coordenadas de la geometría de Schwarzschild para un agujero negro . Estas coordenadas tienen la ventaja de que cubren toda la variedad de espacio-tiempo de la solución de Schwarzschild extendida al máximo y se comportan bien en todas partes fuera de la singularidad física.

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres también se aplican al espacio-tiempo alrededor de un objeto esférico, pero en ese caso no dan una descripción del espacio-tiempo dentro del radio del objeto. El espacio-tiempo en una región donde una estrella colapsa en un agujero negro se aproxima por las coordenadas de Kruskal-Szekeres (o por las coordenadas de Schwarzschild ). La superficie de la estrella permanece fuera del horizonte de eventos en las coordenadas de Schwarzschild, pero la cruza en las coordenadas de Kruskal-Szekeres. (En cualquier "agujero negro" que observemos, lo vemos en un momento en el que su materia aún no ha terminado de colapsar, por lo que todavía no es realmente un agujero negro.) De manera similar, los objetos que caen en un agujero negro permanecen fuera del horizonte de eventos en las coordenadas de Schwarzschild, pero lo cruzan en Kruskal- Coordenadas de Szekeres.

Definición

Diagrama de Kruskal-Szekeres. Cada fotograma de la animación muestra una hipérbola azul como la superficie donde la coordenada radial de Schwarzschild es constante (y con un valor menor en cada fotograma sucesivo, hasta que termina en las singularidades).

Coordenadas de Kruskal-Szekeres en un agujero negro geometría se definen, a partir de las coordenadas de Schwarzschild , mediante la sustitución de t y r por un nuevo tipo tiempo de coordenadas T y coordinar un nuevo tipo espacio :${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle T=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

${\displaystyle X=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

para la región exterior fuera del horizonte de sucesos y:${\displaystyle r>2GM}$

${\displaystyle T=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

${\displaystyle X=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

para la región interior . Aquí está la constante gravitacional multiplicada por el parámetro de masa de Schwarzschild, y este artículo usa unidades donde = 1.${\displaystyle 0<r<2GM}$${\displaystyle GM}$${\displaystyle c}$

De ello se deduce que en la unión de la región exterior, el horizonte de eventos y la región interior, la coordenada radial de Schwarzschild (que no debe confundirse con el radio de Schwarzschild ), se determina en términos de coordenadas de Kruskal-Szekeres como la solución (única) de la ecuación:${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{s}=2GM}$

${\displaystyle T^{2}-X^{2}=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}\ ,T^{2}-X^{2}<1}$

Usando la función Lambert W, la solución se escribe como:

${\displaystyle r=2GM\left(1+W_{0}\left({\frac {X^{2}-T^{2}}{e}}\right)\right)}$.

Además, se ve inmediatamente que en la región externa al agujero negro ${\displaystyle T^{2}-X^{2}<0,\ X>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {arctanh} } (T/X)}$

mientras que en la región interna del agujero negro ${\displaystyle 0<T^{2}-X^{2}<1,\ T>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {arctanh} } (X/T)}$

En estas nuevas coordenadas, la métrica de la variedad de agujeros negros de Schwarzschild viene dada por

${\displaystyle g={\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(-dT^{2}+dX^{2})+r^{2}g_{\Omega },}$

escrito usando la convención de firma métrica (- + + +) y donde el componente angular de la métrica (la métrica de Riemann de la 2-esfera) es:

${\displaystyle g_{\Omega }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$.

Expresar la métrica de esta forma muestra claramente que las geodésicas radiales nulas, es decir, con constante, son paralelas a una de las líneas . En las coordenadas de Schwarzschild, el radio de Schwarzschild es la coordenada radial del horizonte de eventos . En las coordenadas de Kruskal-Szekeres, el horizonte de eventos viene dado por . Tenga en cuenta que la métrica está perfectamente bien definida y no es singular en el horizonte de eventos. La singularidad de curvatura se encuentra en .${\displaystyle \Omega =\Omega (\theta ,\phi )}$${\displaystyle T=\pm X}$${\displaystyle r_{s}=2GM}$ ${\displaystyle r=r_{s}=2GM}$${\displaystyle T^{2}-X^{2}=0}$${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

La solución Schwarzschild ampliada al máximo

La transformación entre las coordenadas de Schwarzschild y las coordenadas de Kruskal-Szekeres definidas para r  > 2 GM y puede extenderse, como función analítica, al menos a la primera singularidad que ocurre en . Por tanto, la métrica anterior es una solución de las ecuaciones de Einstein en toda esta región. Los valores permitidos son${\displaystyle -\infty <t<\infty }$${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

${\displaystyle -\infty <X<\infty \,}$

${\displaystyle -\infty <T^{2}-X^{2}<1}$

Tenga en cuenta que esta extensión asume que la solución es analítica en todas partes.

En la solución extendida al máximo, en realidad hay dos singularidades en r = 0, una para T positiva y otra para T negativa . La singularidad T negativa es el agujero negro invertido en el tiempo, a veces denominado " agujero blanco ". Las partículas pueden escapar de un agujero blanco pero nunca regresar.

La geometría de Schwarzschild máximamente extendida se puede dividir en 4 regiones, cada una de las cuales se puede cubrir con un conjunto adecuado de coordenadas de Schwarzschild. Las coordenadas de Kruskal-Szekeres, por otro lado, cubren toda la variedad del espacio-tiempo. Las cuatro regiones están separadas por horizontes de eventos.

I	región exterior	${\displaystyle -X<T<+X}$	${\displaystyle 2GM<r}$
II	agujero negro interior	${\displaystyle \vert X\vert <T<{\sqrt {1+X^{2}}}}$	${\displaystyle 0<r<2GM}$
III	región exterior paralela	${\displaystyle +X<T<-X}$	${\displaystyle 2GM<r}$
IV	agujero blanco interior	${\displaystyle -{\sqrt {1+X^{2}}}<T<-\vert X\vert }$	${\displaystyle 0<r<2GM}$

La transformación dada anteriormente entre las coordenadas de Schwarzschild y Kruskal-Szekeres se aplica solo en las regiones I y II (si tomamos la raíz cuadrada como positiva). Se puede escribir una transformación similar en las otras dos regiones.

La coordenada de tiempo t de Schwarzschild viene dada por

${\displaystyle \tanh \left({\frac {t}{4GM}}\right)={\begin{cases}T/X&{\mbox{(in I and III)}}\\X/T&{\mbox{(in II and IV)}}\end{cases}}}$

En cada región va de a con los infinitos en los horizontes de eventos.${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$

Basado en los requisitos de que el proceso cuántico de la radiación de Hawking es unitario , 't Hooft propuso ^[1] que las regiones I y III, y II y IV son solo artefactos matemáticos que provienen de la elección de ramas para raíces en lugar de universos paralelos y que la equivalencia relación

${\displaystyle (T,X,\Omega )\sim (-T,-X,-\Omega )}$

debe imponerse, donde está la antípoda de en la 2-esfera. Si pensamos que las regiones III y IV tienen coordenadas esféricas pero con una opción negativa para calcular la raíz cuadrada , entonces usamos los puntos opuestos en la esfera para denotar el mismo punto en el espacio, por ejemplo. ${\displaystyle -\Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle (t^{(I)},r^{(I)},\Omega ^{(I)})=(t,r,\Omega )\sim (t^{(III)},r^{(III)},\Omega ^{(III)})=(t,-r,-\Omega ).}$

Esto significa eso . Dado que esta es una acción libre del grupo que preserva la métrica, esto da una variedad Lorentziana bien definida (en todas partes excepto en la singularidad). Identifica el límite de la región interior II correspondiente al segmento de la línea de coordenadas con el límite de la región exterior I correspondiente a . La identificación significa que mientras que cada par corresponde a una esfera, el punto (correspondiente al horizonte de eventos en la imagen de Schwarzschild) no corresponde a una esfera sino al plano proyectivo , y la topología de la variedad subyacente ya no lo es . El colector ya no es${\displaystyle r^{(I)}\Omega ^{(I)}=r^{(III)}\Omega ^{(III)}=r\Omega }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle t^{(II)}=-\infty }$${\displaystyle T=-X,\ T>0,X<0}$${\displaystyle t^{(I)}=-\infty }$${\displaystyle T=-X,\ T<0,X>0}$${\displaystyle (T,X)\sim (-T,-X)\neq (0,0)}$${\displaystyle (T,X)=(0,0)}$${\displaystyle r=2GM}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}=S^{2}/\pm }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}-\mathrm {line} =\mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$simplemente conectado , porque un bucle (que implica porciones superlumínicas) que va desde un punto en un tiempo rápido de regreso a sí mismo pero en las coordenadas opuestas de Kruskal-Szekeres no se puede reducir a un bucle nulo.

Características cualitativas del diagrama de Kruskal-Szekeres

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres tienen una serie de características útiles que las hacen útiles para construir intuiciones sobre el espacio-tiempo de Schwarzschild. El principal de ellos es el hecho de que todas las geodésicas radiales similares a la luz (las líneas del mundo de los rayos de luz que se mueven en una dirección radial) parecen líneas rectas en un ángulo de 45 grados cuando se dibujan en un diagrama de Kruskal-Szekeres (esto se puede derivar de la ecuación métrica dada anteriormente, lo que garantiza que si entonces es el momento adecuado ). ^[2] Todas las líneas del mundo en forma de tiempo de objetos más lentos que la luz tendrán en cada punto una pendiente más cercana al eje de tiempo vertical (la coordenada T ) que 45 grados. Entonces, un cono de luz${\displaystyle dX=\pm dT\,}$ ${\displaystyle ds=0}$dibujado en un diagrama de Kruskal-Szekeres tendrá el mismo aspecto que un cono de luz en un diagrama de Minkowski en relatividad especial .

Los horizontes de eventos que delimitan las regiones interiores del agujero negro y del agujero blanco también son un par de líneas rectas a 45 grados, lo que refleja el hecho de que un rayo de luz emitido en el horizonte en una dirección radial (apuntando hacia afuera en el caso del agujero negro, hacia adentro en el caso del agujero blanco) permanecería en el horizonte para siempre. Por lo tanto, los dos horizontes de agujero negro coinciden con los límites del cono de luz futuro de un evento en el centro del diagrama (en T = X= 0), mientras que los dos horizontes de agujero blanco coinciden con los límites del cono de luz pasado de este mismo evento. Cualquier evento dentro de la región interior del agujero negro tendrá un cono de luz futuro que permanecerá en esta región (de modo que cualquier línea del mundo dentro del cono de luz futuro del evento eventualmente golpeará la singularidad del agujero negro, que aparece como una hipérbola delimitada por los dos agujeros negros). horizontes), y cualquier evento dentro de la región interior del agujero blanco tendrá un cono de luz pasado que permanecerá en esta región (tal que cualquier línea de mundo dentro de este cono de luz pasado debe haberse originado en la singularidad del agujero blanco, una hipérbola delimitada por los dos horizontes de agujero). Tenga en cuenta que, aunque el horizonte parece un cono que se expande hacia afuera, el área de esta superficie, dada por r, es simplemente${\displaystyle 16\pi M^{2}}$, una constante. Es decir, estas coordenadas pueden resultar engañosas si no se tiene cuidado.

Puede ser instructivo considerar cómo se verían las curvas de la coordenada constante de Schwarzschild cuando se trazaran en un diagrama de Kruskal-Szekeres. Resulta que las curvas de coordenada r constante en las coordenadas de Schwarzschild siempre se ven como hipérbolas limitadas por un par de horizontes de eventos a 45 grados, mientras que las líneas de coordenada t constante en las coordenadas de Schwarzschild siempre se ven como líneas rectas en varios ángulos que pasan por el centro. del diagrama. El horizonte de sucesos del agujero negro que bordea la región exterior I coincidiría con una coordenada t de Schwarzschild, mientras que el horizonte de sucesos del agujero blanco que bordea esta región coincidiría con una coordenada t de Schwarzschild de${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$, lo que refleja el hecho de que en las coordenadas de Schwarzschild, una partícula que cae necesita un tiempo de coordenadas infinito para alcanzar el horizonte (es decir, la distancia de la partícula desde el horizonte se acerca a cero cuando la coordenada t de Schwarzschild se acerca al infinito), y una partícula que se aleja del horizonte debe lo he cruzado un tiempo de coordenadas infinito en el pasado. Esto es solo un artefacto de cómo se definen las coordenadas de Schwarzschild; una partícula en caída libre solo tomará un tiempo finito adecuado (tiempo medido por su propio reloj) para pasar entre un observador externo y un horizonte de eventos, y si la línea del mundo de la partícula se dibuja en el diagrama de Kruskal-Szekeres, esto también solo será tome un tiempo de coordenadas finito en coordenadas Kruskal-Szekeres.

El sistema de coordenadas de Schwarzschild solo puede cubrir una única región exterior y una única región interior, como las regiones I y II en el diagrama de Kruskal-Szekeres. El sistema de coordenadas de Kruskal-Szekeres, por otro lado, puede cubrir un espacio-tiempo "extendido al máximo" que incluye la región cubierta por las coordenadas de Schwarzschild. Aquí, "extendido al máximo" se refiere a la idea de que el espacio-tiempo no debería tener "bordes": cualquier camino geodésico puede extenderse arbitrariamente lejos en cualquier dirección a menos que se encuentre con una singularidad gravitacional . Técnicamente, esto significa que un espaciotiempo máximo extendido es "geodésicamente completo" (lo que significa que cualquier geodésica puede extenderse a valores positivos o negativos arbitrariamente grandes de su "parámetro afín",^[3]que en el caso de una geodésica temporal podría ser el momento adecuado ), o si alguna geodésica está incompleta, solo puede ser porque termina en una singularidad. ^{[4] [5]} Para satisfacer este requisito, se encontró que además de la región interior del agujero negro (región II) a la que entran las partículas cuando caen a través del horizonte de eventos desde el exterior (región I), tiene que ser una región interior agujero blanco separado (región IV), que nos permite ampliar las trayectorias de partículas que un observador externo ve elevándose lejosdesde el horizonte de eventos, junto con una región exterior separada (región III) que nos permite extender algunas posibles trayectorias de partículas en las dos regiones interiores. En realidad, hay múltiples formas posibles de extender la solución de Schwarzschild exterior a un espacio-tiempo máximo extendido, pero la extensión de Kruskal-Szekeres es única en el sentido de que es una solución de vacío máxima, analítica y simplemente conectada en la que todas las geodésicas extendidas al máximo son completas o no. el escalar de curvatura diverge a lo largo de ellos en un tiempo afín finito. ^[6]

Variante Lightcone

En la literatura, las coordenadas de Kruskal-Szekeres a veces también aparecen en su variante de cono de luz:

${\displaystyle U=T-X}$

${\displaystyle V=T+X,}$

en el que la métrica está dada por

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(dUdV)+r^{2}d\Omega ^{2},}$

y r está definido implícitamente por la ecuación ^[7]

${\displaystyle UV=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}.}$

Estas coordenadas de cono de luz tienen la característica útil de que las geodésicas nulas salientes están dadas por , mientras que las geodésicas nulas entrantes están dadas por . Además, los horizontes de eventos (futuros y pasados) vienen dados por la ecuación , y la singularidad de la curvatura viene dada por la ecuación .${\displaystyle U={\text{constant}}}$${\displaystyle V={\text{constant}}}$${\displaystyle UV=0}$${\displaystyle UV=1}$

Las coordenadas del cono de luz se derivan estrechamente de las coordenadas de Eddington-Finkelstein . ^[8]

Ver también

• Coordenadas de Schwarzschild
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Coordenadas isotrópicas
• Coordenadas de Gullstrand-Painlevé

Notas

1. 't Hooft, Gerard (2019). "El Agujero Negro Cuántico como Laboratorio Teórico, un tratamiento pedagógico de un nuevo enfoque". arXiv : 1902.10469 [ gr-qc ].
2. Misner, Charles W .; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman . pag. 835. ISBN 978-0-7167-0344-0.
3. Hawking, Stephen W .; George FR Ellis (1975). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 257 . ISBN 978-0-521-09906-6.
4. Hobson, Michael Paul; George Efstathiou; Anthony N. Lasenby (2006). Relatividad general: una introducción para físicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 270 . ISBN 978-0-521-82951-9.
5. Ellis, George; Antonio Lanza; John Miller (1994). El renacimiento de la relatividad general y la cosmología: una encuesta para celebrar el 65 cumpleaños de Dennis Sciama . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.  26-27 . ISBN 978-0-521-43377-8.
6. Ashtekar, Abhay (2006). Cien años de relatividad . Compañía Editorial Científica Mundial . pag. 97 . ISBN 978-981-256-394-1.
7. Mukhanov, Viatcheslav; Sergei Winitzki (2007). Introducción a los efectos cuánticos en gravedad . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.  111–112 . ISBN 978-0-521-86834-1.
8. MWT, Gravitación.

Referencias

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.