En la teoría cuántica de campos , la fórmula de reducción LSZ es un método para calcular los elementos de la matriz S (las amplitudes de dispersión ) a partir de las funciones de correlación ordenadas en el tiempo de una teoría cuántica de campos. Es un paso del camino que parte del Lagrangiano de alguna teoría cuántica de campos y conduce a la predicción de cantidades mensurables. Lleva el nombre de los tres físicos alemanes Harry Lehmann , Kurt Symanzik y Wolfhart Zimmermann .
Aunque la fórmula de reducción LSZ no puede manejar estados ligados , partículas sin masa y solitones topológicos , se puede generalizar para cubrir estados ligados, mediante el uso de campos compuestos que a menudo no son locales. Además, el método, o variantes del mismo, han resultado ser también fructíferos en otros campos de la física teórica. Por ejemplo, en física estadística se pueden utilizar para obtener una formulación particularmente general del teorema de fluctuación-disipación .
Dentro y fuera de los camposElementos de S-matriz son amplitudes de las transiciones entre en estados y fuera estados. Una de Estadodescribe el estado de un sistema de partículas que, en un lejano pasado, antes de interactuar, se movían libremente con cantidades de movimiento definida { p }, y, a la inversa, un cabo estadodescribe el estado de un sistema de partículas que, mucho después de la interacción, se moverá libremente con momentos definidos { p }.
Los estados de entrada y salida son estados en la imagen de Heisenberg, por lo que no se debe pensar que describen partículas en un tiempo definido, sino que describen el sistema de partículas en toda su evolución, de modo que el elemento de la matriz S:
es la amplitud de probabilidad de un conjunto de partículas que se prepararon con momentos definidos { p } para interactuar y medirse posteriormente como un nuevo conjunto de partículas con momentos { q }.
La forma más fácil de construir en y fuera estados es la búsqueda de operadores de campo apropiadas que proporcionen las correctas operadores de creación y aniquilación . Estos campos se llaman, respectivamente, en y fuera campos.
Solo para fijar ideas, supongamos que tratamos con un campo de Klein-Gordon que interactúa de alguna manera que no nos concierne:
puede contener una interacción con uno mismo gφ 3 o una interacción con otros campos, como una interacción Yukawa . A partir de este lagrangiano , utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange , sigue la ecuación de movimiento:
donde, si no contiene acoplamientos derivados:
Podemos esperar que el campo in se parezca al comportamiento asintótico del campo libre cuando x 0 → −∞ , asumiendo que en el pasado lejano la interacción descrita por la corriente j 0 es insignificante, ya que las partículas están lejos unas de otras. Esta hipótesis se denomina hipótesis adiabática . Sin embargo, la interacción del yo nunca se desvanece y, además de muchos otros efectos, causa una diferencia entre la masa lagrangiana m 0 y la masa física m del bosón φ . Este hecho debe tenerse en cuenta reescribiendo la ecuación de movimiento de la siguiente manera: [ cita requerida ]
Esta ecuación se puede resolver formalmente usando la función de Green retardada del operador de Klein-Gordon:
permitiéndonos separar la interacción de la conducta asintótica. La solucion es:
El factor √ Z es un factor de normalización que será útil más adelante, el campo φ en es una solución de la ecuación homogénea asociada con la ecuación de movimiento:
y por lo tanto es un campo libre que describe una onda entrante no perturbada, mientras que el último término de la solución da la perturbación de la onda debido a la interacción.
El campo φ in es de hecho el campo in que estábamos buscando, ya que describe el comportamiento asintótico del campo en interacción como x 0 → −∞ , aunque esta afirmación se hará más precisa más adelante. Es un campo escalar libre por lo que se puede expandir en ondas planas:
dónde:
La función inversa para los coeficientes en términos del campo se puede obtener fácilmente y poner en forma elegante:
dónde:
Los coeficientes de Fourier satisfacen el álgebra de los operadores de creación y aniquilación :
y pueden ser utilizados para construir en los estados de la forma habitual:
La relación entre el campo que interactúa y el campo in no es muy simple de usar, y la presencia de la función de Green retardado nos tienta a escribir algo como:
implícitamente asumiendo que todas las interacciones se vuelven insignificantes cuando las partículas están lejos unas de otras. Sin embargo, la corriente j ( x ) también contiene interacciones propias como las que producen el desplazamiento de masa de m 0 a m . Estas interacciones no se desvanecen a medida que las partículas se separan, por lo que se debe tener mucho cuidado al establecer relaciones asintóticas entre el campo que interactúa y el campo in .
La prescripción correcta, desarrollada por Lehmann, Symanzik y Zimmermann, requiere dos estados normalizables y y una solución normalizable f ( x ) de la ecuación de Klein-Gordon . Con estas piezas se puede enunciar una relación asintótica correcta y útil pero muy débil:
El segundo miembro es de hecho independiente del tiempo, como se puede demostrar al diferenciar y recordar que tanto φ in como f satisfacen la ecuación de Klein-Gordon.
Con los cambios apropiados los mismos pasos se pueden seguir para construir un cabo campo que construye a cabo estados. En particular, la definición del campo de salida es:
donde Δ adv ( x - y ) es la función de Green avanzada del operador de Klein-Gordon. La relación asintótica débil entre el campo exterior y el campo que interactúa es:
La fórmula de reducción para escalaresLas relaciones asintóticas son todo lo que se necesita para obtener la fórmula de reducción LSZ. Para mayor comodidad, comenzamos con el elemento de matriz:
que es un poco más general que un elemento de matriz S. En efecto,es el valor esperado del producto ordenado por tiempo de varios camposentre un cabo del estado y una en el estado. El estado de salida puede contener cualquier cosa, desde el vacío hasta un número indefinido de partículas, cuyos momentos se resumen mediante el índice β . El estado in contiene al menos una partícula de momento p , y posiblemente muchas otras, cuyos momentos están resumidos por el índice α . Si no hay campos en el producto ordenado por tiempo, entonceses obviamente un elemento de matriz S. La partícula con impulso p se puede 'extraer' del estado in mediante el uso de un operador de creación:
donde el mejor en indica que se ha extraído una partícula. Suponiendo que ninguna partícula con momento p está presente en el estado de salida , es decir, ignoramos la dispersión hacia adelante, podemos escribir:
porque actuando a la izquierda da cero. Expresando los operadores de construcción en términos de en y fuera campos, tenemos:
Ahora podemos usar la condición asintótica para escribir:
Then we notice that the field φ(x) can be brought inside the time-ordered product, since it appears on the right when x0 → −∞ and on the left when x0 → ∞:
In the following, x dependence in the time-ordered product is what matters, so we set:
It's easy to show by explicitly carrying out the time integration that:
so that, by explicit time derivation, we have:
By its definition we see that fp (x) is a solution of the Klein–Gordon equation, which can be written as:
Substituting into the expression for and integrating by parts, we arrive at:
That is:
Starting from this result, and following the same path another particle can be extracted from the in state, leading to the insertion of another field in the time-ordered product. A very similar routine can extract particles from the out state, and the two can be iterated to get vacuum both on right and on left of the time-ordered product, leading to the general formula:
Which is the LSZ reduction formula for Klein–Gordon scalars. It gains a much better looking aspect if it is written using the Fourier transform of the correlation function:
Using the inverse transform to substitute in the LSZ reduction formula, with some effort, the following result can be obtained:
Leaving aside normalization factors, this formula asserts that S-matrix elements are the residues of the poles that arise in the Fourier transform of the correlation functions as four-momenta are put on-shell.
Fórmula reductora de fermionesRecall that solutions to the quantized free-field Dirac equation may be written as
where the metric signature is mostly plus, is an annihilation operator for b-type particles of momentum and spin , is a creation operator for d-type particles of spin , and the spinors and satisfy and . The Lorentz-invariant measure is written as , with . Consider now a scattering event consisting of an in state of non-interacting particles approaching an interaction region at the origin, where scattering occurs, followed by an out state of outgoing non-interacting particles. The probability amplitude for this process is given by
where no extra time-ordered product of field operators has been inserted, for simplicity. The situation considered will be the scattering of b-type particles to b-type particles. Suppose that the in state consists of particles with momenta and spins , while the out state contains particles of momenta and spins . The in and out states are then given by
Extracting an in particle from yields a free-field creation operator acting on the state with one less particle. Assuming that no outgoing particle has that same momentum, we then can write
where the prime on denotes that one particle has been taken out. Now recall that in the free theory, the b-type particle operators can be written in terms of the field using the inverse relation
where . Denoting the asymptotic free fields by and , we find
The weak asymptotic condition needed for a Dirac field, analogous to that for scalar fields, reads
and likewise for the out field. The scattering amplitude is then
where now the interacting field appears in the inner product. Rewriting the limits in terms of the integral of a time derivative, we have
where the row vector of matrix elements of the barred Dirac field is written as . Now, recall that is a solution to the Dirac equation:
Solving for , substituting it into the first term in the integral, and performing an integration by parts, yields
Switching to Dirac index notation (with sums over repeated indices) allows for a neater expression, in which the quantity in square brackets is to be regarded as a differential operator:
Consider next the matrix element appearing in the integral. Extracting an out state creation operator and subtracting the corresponding in state operator, with the assumption that no incoming particle has the same momentum, we have
Remembering that , where , we can replace the annihilation operators with in fields using the adjoint of the inverse relation. Applying the asymptotic relation, we find
Note that a time-ordering symbol has appeared, since the first term requires on the left, while the second term requires it on the right. Following the same steps as before, this expression reduces to
The rest of the in and out states can then be extracted and reduced in the same way, ultimately resulting in
The same procedure can be done for the scattering of d-type particles, for which 's are replaced by 's, and 's and 's are swapped.
Normalización de la intensidad de campoThe reason of the normalization factor Z in the definition of in and out fields can be understood by taking that relation between the vacuum and a single particle state with four-moment on-shell:
Remembering that both φ and φin are scalar fields with their Lorentz transform according to:
where Pμ is the four-momentum operator, we can write:
Applying the Klein–Gordon operator ∂2 + m2 on both sides, remembering that the four-moment p is on-shell and that Δret is the Green's function of the operator, we obtain:
So we arrive to the relation:
which accounts for the need of the factor Z. The in field is a free field, so it can only connect one-particle states with the vacuum. That is, its expectation value between the vacuum and a many-particle state is null. On the other hand, the interacting field can also connect many-particle states to the vacuum, thanks to interaction, so the expectation values on the two sides of the last equation are different, and need a normalization factor in between. The right hand side can be computed explicitly, by expanding the in field in creation and annihilation operators:
Using the commutation relation between ain and we obtain:
leading to the relation:
by which the value of Z may be computed, provided that one knows how to compute .
Referencias- The original paper is: H. Lehmann, K. Symanzik, and W. Zimmerman, "Zur Formulierung quantisierter Feldtheorien," Nuovo Cimento 1(1), 205 (1955).
- A pedagogical derivation of the LSZ reduction formula can be found in: M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1995, Section 7.2.