En física teórica , la teoría de campos escalares puede referirse a una teoría clásica o cuántica relativistamente invariante de campos escalares . Un campo escalar es invariante bajo cualquier transformación de Lorentz . [1]
El único campo cuántico escalar fundamental que se ha observado en la naturaleza es el campo de Higgs . Sin embargo, los campos cuánticos escalares aparecen en las descripciones de la teoría de campos efectivos de muchos fenómenos físicos. Un ejemplo es el pión , que en realidad es un pseudoescalar . [2]
Dado que no implican complicaciones de polarización , los campos escalares suelen ser los más fáciles de apreciar mediante una segunda cuantificación . Por esta razón, las teorías de campo escalar se utilizan a menudo con el propósito de introducir conceptos y técnicas novedosas. [3]
La firma de la métrica empleada a continuación es (+, -, -, -) .
Teoría clásica de campos escalares
Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (2001-12-21). Teoría de campo: una introducción moderna (segunda edición). Estados Unidos: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3 , capítulo 1.
Teoría lineal (libre)
La teoría de campo escalar más básica es la teoría lineal . A través de la descomposición de Fourier de los campos, representa los modos normales de una infinidad de osciladores acoplados donde el límite continuo del índice del oscilador i ahora se denota por x . La acción para la teoría del campo escalar relativista libre es entonces
dónde se conoce como densidad lagrangiana ; d 4−1 x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx 1 ⋅ dx 2 ⋅ dx 3 para las tres coordenadas espaciales; δ ij es la función delta de Kronecker ; y ∂ ρ = ∂ / ∂x ρ para la ρ -ésima coordenada x ρ .
Este es un ejemplo de una acción cuadrática, ya que cada uno de los términos es cuadrático en el campo, φ . El término proporcional am 2 se conoce a veces como término de masa, debido a su interpretación posterior, en la versión cuantificada de esta teoría, en términos de masa de partículas.
La ecuación de movimiento para esta teoría se obtiene al extremar la acción anterior. Toma la siguiente forma, lineal en φ ,
donde ∇ 2 es el operador de Laplace . Esta es la ecuación de Klein-Gordon , con la interpretación como una ecuación de campo clásica, en lugar de como una ecuación de onda de la mecánica cuántica.
Teoría no lineal (interactiva)
La generalización más común de la teoría lineal anterior es agregar un potencial escalar V (Φ) al Lagrangiano, donde típicamente, además de un término de masa, V es un polinomio en Φ . A veces se dice que esta teoría está interactuando , porque la ecuación de Euler-Lagrange ahora es no lineal, lo que implica una auto-interacción . La acción para la teoría más general es
¡La n ! Los factores en la expansión se introducen porque son útiles en la expansión del diagrama de Feynman de la teoría cuántica, como se describe a continuación.
La ecuación de movimiento de Euler-Lagrange correspondiente ahora es
Análisis dimensional y escalado
Las cantidades físicas en estas teorías de campos escalares pueden tener dimensiones de longitud, tiempo o masa, o alguna combinación de las tres.
Sin embargo, en una teoría relativista, cualquier cantidad t , con dimensiones de tiempo, puede convertirse fácilmente en una longitud , l = ct , utilizando la velocidad de la luz , c . De manera similar, cualquier longitud l es equivalente a una masa inversa, ħ = lmc , usando la constante de Planck , ħ . En unidades naturales, uno piensa en un tiempo como una longitud, o tiempo o longitud como una masa inversa.
En resumen, uno puede pensar en las dimensiones de cualquier cantidad física tal como se define en términos de una sola dimensión independiente, en lugar de en términos de las tres. Esto a menudo se denomina dimensión de masa de la cantidad. Conocer las dimensiones de cada cantidad permite restaurar de forma única las dimensiones convencionales a partir de una expresión de unidades naturales en términos de esta dimensión de masa, simplemente reinsertando los poderes necesarios de ħ y c requeridos para la consistencia dimensional.
Una objeción concebible es que esta teoría es clásica y, por lo tanto, no es obvio cómo la constante de Planck debería ser parte de la teoría en absoluto. Si se desea, se podría de hecho reformular la teoría sin dimensiones de masa en absoluto: sin embargo, esto sería a expensas de oscurecer ligeramente la conexión con el campo escalar cuántico. Dado que uno tiene dimensiones de masa, la constante de Planck se considera aquí como una cantidad de acción de referencia fija esencialmente arbitraria (no necesariamente conectada a la cuantificación), por lo tanto, con dimensiones apropiadas para convertir entre masa y longitud inversa .
Dimensión de escala
La dimensión de escala clásica , o dimensión de masa, Δ , de φ describe la transformación del campo bajo un cambio de escala de coordenadas:
Las unidades de acción son las mismas que las unidades de ħ , por lo que la acción en sí tiene una dimensión de masa cero. Esto fija la dimensión de escala del campo φ para que sea
Invarianza de escala
Hay un sentido específico en el que algunas teorías de campos escalares son invariantes en escala . Si bien las acciones anteriores están todas construidas para tener una dimensión de masa cero, no todas las acciones son invariantes bajo la transformación de escala
La razón de que no todas las acciones son invariantes es que por lo general se piensa en los parámetros m y g n como cantidades fijas, que no se reajustarán bajo la transformación anteriormente. La condición para que una teoría de campo escalar sea invariante de escala es entonces bastante obvia: todos los parámetros que aparecen en la acción deben ser cantidades adimensionales. En otras palabras, una teoría de escala invariante es aquella que no tiene ninguna escala de longitud fija (o equivalentemente, escala de masa) en la teoría.
Para una teoría de campo escalar con dimensiones de espacio-tiempo D , el único parámetro adimensional g n satisface n = 2 D ⁄ ( D - 2) . Por ejemplo, en D = 4, solo g 4 es clásicamente adimensional, por lo que la única teoría clásica de campo escalar invariante en escala en D = 4 es la teoría φ 4 sin masa .
La invariancia de escala clásica, sin embargo, normalmente no implica invariancia de escala cuántica, debido al grupo de renormalización involucrado - vea la discusión de la función beta a continuación.
Invariancia conforme
Una transformacion
se dice que es conforme si la transformación satisface
para alguna función λ ( x ) .
El grupo conforme contiene como subgrupos las isometrías de la métrica(el grupo de Poincaré ) y también las transformaciones de escala (o dilataciones ) consideradas anteriormente. De hecho, las teorías de escala invariante de la sección anterior también son conformemente invariantes.
φ 4 teoría
La teoría masiva de φ 4 ilustra una serie de fenómenos interesantes en la teoría de campos escalares.
La densidad de Lagrange es
Ruptura espontánea de la simetría
Este lagrangiano tiene una simetría ℤ₂ bajo la transformación φ → - φ . Este es un ejemplo de simetría interna , en contraste con una simetría espacio-temporal .
Si m 2 es positivo, el potencial
tiene un mínimo único, en el origen. La solución φ = 0 es claramente invariante bajo la simetría ℤ₂.
Por el contrario, si m 2 es negativo, entonces se puede ver fácilmente que el potencial
tiene dos minima. Esto se conoce como potencial de pozo doble , y los estados de energía más bajos (conocidos como vacua, en el lenguaje teórico del campo cuántico) en tal teoría no son invariantes bajo la simetría ℤ₂ de la acción (de hecho, mapea cada uno de los dos vacua en el otro). En este caso, se dice que la simetría ℤ₂ se rompe espontáneamente .
Soluciones Kink
La teoría φ 4 con un m 2 negativo también tiene una solución de torsión, que es un ejemplo canónico de un solitón . Tal solución tiene la forma
donde x es una de las variables espaciales ( φ se toma como independiente de t , y el resto de las variables espaciales). La solución se interpola entre los dos vacíos diferentes del potencial de pozo doble. No es posible deformar la torcedura en una solución constante sin pasar por una solución de energía infinita, y por esta razón se dice que la torcedura es estable. Para D > 2 (es decir, teorías con más de una dimensión espacial), esta solución se denomina muro de dominio .
Otro ejemplo bien conocido de una teoría de campo escalar con soluciones de torsión es la teoría del seno-Gordon .
Teoría del campo escalar complejo
En una teoría de campo escalar complejo, el campo escalar toma valores en números complejos, en lugar de números reales. El campo escalar complejo representa partículas de espín-0 y antipartículas con carga. La acción considerada normalmente toma la forma
Este tiene una simetría U (1) , equivalentemente O (2), cuya acción sobre el espacio de los campos gira, para algún ángulo de fase real α .
En cuanto al campo escalar real, la ruptura espontánea de la simetría se encuentra si m 2 es negativo. Esto da lugar al potencial sombrero mexicano de Goldstone, que es una rotación del potencial de doble pozo de un campo escalar real en 2π radianes sobre la Veje. La ruptura de la simetría tiene lugar en una dimensión superior, es decir, la elección del vacío rompe una simetría U (1) continua en lugar de una discreta. Los dos componentes del campo escalar se reconfiguran como un modo masivo y un bosón de Goldstone sin masa .
Teoría O ( N )
Se puede expresar la teoría del campo escalar complejo en términos de dos campos reales, φ 1 = Re φ y φ 2 = Im φ , que se transforman en la representación vectorial de la simetría interna U (1) = O (2). Aunque tales campos se transforman como un vector bajo la simetría interna , siguen siendo escalares de Lorentz.
Esto se puede generalizar a una teoría de N campos escalares que se transforman en la representación vectorial de la simetría O ( N ) . El lagrangiano para una teoría de campo escalar invariante O ( N ) es típicamente de la forma
utilizando un producto interno invariante de O ( N ) apropiado . La teoría también se puede expresar para campos vectoriales complejos, es decir, para, en cuyo caso el grupo de simetría es el grupo de Lie SU (N) .
Acoplamientos de campo de calibre
Cuando la teoría del campo escalar se acopla de forma invariante a la acción de Yang-Mills , se obtiene la teoría de superconductores de Ginzburg-Landau . Los solitones topológicos de esa teoría corresponden a vórtices en un superconductor ; el mínimo del potencial sombrero mexicano corresponde al parámetro de orden del superconductor.
Teoría cuántica del campo escalar
Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (2001-12-21). Teoría de campo: una introducción moderna (segunda edición). Estados Unidos: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3 , cap. 4
En la teoría cuántica de campos , los campos y todos los observables construidos a partir de ellos son reemplazados por operadores cuánticos en un espacio de Hilbert . Este espacio de Hilbert está construido sobre un estado de vacío , y la dinámica está gobernada por un hamiltoniano cuántico , un operador definido positivo que aniquila el vacío. La construcción de una teoría de campo escalar cuántica se detalla en el artículo de cuantificación canónica , que se basa en relaciones de conmutación canónicas entre los campos. Esencialmente, la infinidad de osciladores clásicos reempaquetados en el campo escalar como sus modos normales (desacoplados), arriba, ahora se cuantifican de la manera estándar, por lo que el campo del operador cuántico respectivo describe una infinidad de osciladores armónicos cuánticos que actúan en un espacio Fock respectivo .
En resumen, las variables básicas son el campo cuántico φ y su momento canónico π . Ambos campos valorados por el operador son hermitianos . En los puntos espaciales x → , y → y en momentos iguales, sus relaciones canónicas de conmutación están dadas por
mientras que el hamiltoniano libre es, de manera similar a lo anterior,
Una transformada espacial de Fourier conduce a campos espaciales de impulso
que resuelven a los operadores de aniquilación y creación
dónde .
Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación
El estado aniquilado por todos los operadores a se identifica como el vacío desnudo , y una partícula con momento k → se crea aplicando al vacío.
La aplicación de todas las combinaciones posibles de operadores de creación al vacío construye el espacio de Hilbert relevante : esta construcción se llama espacio de Fock . El vacío es aniquilado por el hamiltoniano
donde la energía de punto cero ha sido eliminada por pedido de Wick . (Ver cuantificación canónica ).
Las interacciones se pueden incluir agregando una interacción hamiltoniana. Para una teoría de φ 4 , esto corresponde a sumar un término ordenado de Wick g : φ 4 : / 4! al hamiltoniano, e integrando sobre x . Las amplitudes de dispersión se pueden calcular a partir de este hamiltoniano en la imagen de interacción . Estos se construyen en la teoría de la perturbación por medio de la serie de Dyson , que da los productos ordenados en el tiempo, o las funciones de Green de n- partículascomo se describe en el artículo de la serie Dyson . Las funciones de Green también se pueden obtener a partir de una función generadora que se construye como una solución a la ecuación de Schwinger-Dyson .
Integral de ruta de Feynman
La expansión del diagrama de Feynman también se puede obtener a partir de la formulación integral de trayectoria de Feynman . [4] Los valores de expectativa de vacío ordenados en el tiempo de los polinomios en φ , conocidos como funciones de Green de n- partículas, se construyen integrando todos los campos posibles, normalizados por el valor de expectativa de vacío sin campos externos,
Todas estas funciones de Green se pueden obtener expandiendo el exponencial en J ( x ) φ ( x ) en la función generadora
Se puede aplicar una rotación de Wick para hacer que el tiempo sea imaginario. Cambiar la firma a (++++) luego convierte la integral de Feynman en una función de partición de mecánica estadística en el espacio euclidiano ,
Normalmente, esto se aplica a la dispersión de partículas con momentos fijos, en cuyo caso, una transformada de Fourier es útil, dando en su lugar
dónde es la función delta de Dirac .
El truco estándar para evaluar esta integral funcional es escribirla como un producto de factores exponenciales, esquemáticamente,
Los segundos dos factores exponenciales se pueden expandir como series de potencias, y la combinatoria de esta expansión se puede representar gráficamente a través de los diagramas de Feynman de la interacción de Quartic .
La integral con g = 0 puede tratarse como un producto de un número infinito de integrales gaussianas elementales: el resultado puede expresarse como una suma de diagramas de Feynman , calculados utilizando las siguientes reglas de Feynman:
- Cada campo ( p ) en el punto n, la función de Euclidean Green está representada por una línea externa (medio borde) en el gráfico y asociada con el impulso p .
- Cada vértice está representado por un factor - g .
- En un orden dado g k , todos los diagramas con n líneas externas y k vértices se construyen de manera que los momentos que fluyen hacia cada vértice sean cero. Cada línea interna está representada por un propagador 1 / ( q 2 + m 2 ), donde q es el impulso que fluye a través de esa línea.
- Cualquier momento sin restricciones se integra en todos los valores.
- El resultado se divide por un factor de simetría, que es el número de formas en que las líneas y los vértices del gráfico se pueden reorganizar sin cambiar su conectividad.
- No incluya gráficos que contengan "burbujas de vacío", subgrafos conectados sin líneas externas.
La última regla tiene en cuenta el efecto de dividir por [0]. Las reglas de Feynman del espacio de Minkowski son similares, excepto que cada vértice está representado por −ig , mientras que cada línea interna está representada por un propagador i / ( q 2 - m 2 + iε ), donde el término ε representa la pequeña rotación de Wick necesaria para hacer converger la integral gaussiana del espacio de Minkowski.
Renormalización
Las integrales sobre momentos no restringidos, llamadas "integrales de bucle", en los gráficos de Feynman suelen divergir. Esto normalmente se maneja mediante renormalización , que es un procedimiento de agregar contra-términos divergentes al Lagrangiano de tal manera que los diagramas construidos a partir del Lagrangiano original y los contra-términos son finitos. [5] Se debe introducir una escala de renormalización en el proceso, y la constante de acoplamiento y la masa se vuelven dependientes de ella.
La dependencia de una constante de acoplamiento g en la escala λ está codificada por una función beta , β ( g ) , definida por
Esta dependencia de la escala de energía se conoce como "la ejecución del parámetro de acoplamiento", y el grupo de renormalización describe la teoría de esta dependencia de escala sistemática en la teoría cuántica de campos .
Las funciones beta generalmente se calculan en un esquema de aproximación, más comúnmente teoría de perturbaciones , donde se supone que la constante de acoplamiento es pequeña. Luego, se puede hacer una expansión en las potencias de los parámetros de acoplamiento y truncar los términos de orden superior (también conocidos como contribuciones de bucle superior , debido al número de bucles en los gráficos de Feynman correspondientes ).
La función β en un bucle (la primera contribución perturbativa) para la teoría φ 4 es
El hecho de que el signo delante del término de menor orden sea positivo sugiere que la constante de acoplamiento aumenta con la energía. Si este comportamiento persistiera en grandes acoplamientos, esto indicaría la presencia de un polo Landau en energía finita, que surge de la trivialidad cuántica . Sin embargo, la pregunta solo puede responderse de manera no perturbadora, ya que implica un fuerte acoplamiento.
Se dice que una teoría cuántica de campos es trivial cuando el acoplamiento renormalizado, calculado a través de su función beta , llega a cero cuando se elimina el límite ultravioleta. En consecuencia, el propagador se convierte en el de una partícula libre y el campo ya no interactúa.
Para una interacción φ 4 , Michael Aizenman demostró que la teoría es de hecho trivial, para la dimensión espacio-tiempo D ≥ 5. [6]
Para D = 4, la trivialidad aún no se ha probado de manera rigurosa, pero los cálculos de celosía han proporcionado una fuerte evidencia de esto. Este hecho es importante ya que la trivialidad cuántica se puede utilizar para unir o incluso predecir parámetros como la masa del bosón de Higgs . Esto también puede conducir a una masa de Higgs predecible en escenarios de seguridad asintóticos . [7]
Ver también
- Renormalización
- Trivialidad cuántica
- Poste Landau
- Invarianza de escala # descripción CFT
- Electrodinámica escalar
Notas
- ^ es decir, se transforma bajo la trivial (0, 0) -representación del grupo de Lorentz, dejando el valor del campo en cualquier punto del espacio-tiempo sin cambios, en contraste con un campo vectorial o tensorial , o más generalmente, espinor-tensores, cuyo los componentes se mezclan bajo las transformaciones de Lorentz. Dado que el espín de partícula o campo por definición está determinado por la representación de Lorentz bajo la cual se transforma, todos los campos y partículas escalares (y pseudoescalares) tienen espín cero y, como tales, son bosónicos según el teorema de estadística de espín . Véase Weinberg 1995 , Capítulo 5.
- ↑ Esto significa que no es invariante bajo transformaciones de paridad que invierten las direcciones espaciales, distinguiéndolo de un escalar verdadero, que es invariante en paridad. Ver Weinberg 1998 , Capítulo 19.
- ^ Brown, Lowell S. (1994). Teoría cuántica de campos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-46946-3. Capítulo 3.
- ^ Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (21 de diciembre de 2001). Teoría de campo: una introducción moderna (segunda ed.). Estados Unidos: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3.
- ^ Consulte la referencia anterior, o para obtener más detalles, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (24 de febrero de 2006). Teoría cuántica de campos . Dover. ISBN 0-07-032071-3.
- ^ Aizenman, M. (1981). "Prueba de la trivialidad de ϕ4
díasTeoría de campo y algunas características de campo medio de los modelos de Ising para d > 4 ". Physical Review Letters . 47 (1): 1–4. Bibcode : 1981PhRvL..47 .... 1A . Doi : 10.1103 / PhysRevLett.47.1 . - ^ Callaway, DJE (1988). "Búsqueda de trivialidad: ¿pueden existir partículas escalares elementales?". Informes de física . 167 (5): 241–320. Código Bibliográfico : 1988PhR ... 167..241C . doi : 10.1016 / 0370-1573 (88) 90008-7 .
Referencias
- Peskin, M .; Schroeder, D. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Westview Press. ISBN 978-0201503975.
- Weinberg, S. (1995). La teoría cuántica de los campos . Yo . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-55001-7.
- Weinberg, S. (1998). La teoría cuántica de los campos . II . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-55002-5.
- Srednicki, M. (2007). Teoría cuántica de campos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521864497.
- Zinn-Justin, J (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0198509233.
enlaces externos
- La base conceptual de la teoría cuántica de campos Haga clic en el enlace del Cap. 3 para encontrar una introducción extensa y simplificada a los escalares en la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos.