La óptica hamiltoniana [1] y la óptica lagrangiana [2] son dos formulaciones de óptica geométrica que comparten gran parte del formalismo matemático con la mecánica hamiltoniana y la mecánica lagrangiana .
Principio de Hamilton
En física , el principio de Hamilton establece que la evolución de un sistema descrito por coordenadas generalizadas entre dos estados especificados en dos parámetros especificados σ A y σ B es un punto estacionario (un punto donde la variación es cero) de la acción funcional , o
dónde . Condición es válido si y solo si se satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange
con .
El impulso se define como
y las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden entonces reescribirse como
dónde .
Un enfoque diferente para resolver este problema consiste en definir un hamiltoniano (tomando una transformada de Legendre del lagrangiano ) como
para lo cual se puede derivar un nuevo conjunto de ecuaciones diferenciales observando cómo el diferencial total del Lagrangiano depende del parámetro σ , posiciones y sus derivados relativo a σ . Esta derivación es la misma que en la mecánica hamiltoniana, solo que con el tiempo t ahora reemplazado por un parámetro general σ . Esas ecuaciones diferenciales son las ecuaciones de Hamilton.
con . Las ecuaciones de Hamilton son ecuaciones diferenciales de primer orden , mientras que las ecuaciones de Euler-Lagrange son de segundo orden.
Óptica lagrangiana
Los resultados generales presentados anteriormente para el principio de Hamilton se pueden aplicar a la óptica. [3] [4] En el espacio euclidiano 3D , las coordenadas generalizadas son ahora las coordenadas del espacio euclidiano .
Principio de Fermat
El principio de Fermat establece que la longitud óptica del camino seguido por la luz entre dos puntos fijos, A y B , es un punto estacionario. Puede ser un punto máximo, mínimo, constante o de inflexión . En general, a medida que viaja la luz, se mueve en un medio de índice de refracción variable que es un campo escalar de posición en el espacio, es decir,en el espacio euclidiano 3D . Suponiendo ahora que la luz viaja a lo largo del eje x 3 , la trayectoria de un rayo de luz se puede parametrizar como comenzando en un punto y terminando en un punto . En este caso, en comparación con el principio de Hamilton anterior, las coordenadas y tomar el papel de las coordenadas generalizadas tiempo toma el papel de parámetro , es decir, parámetro σ = x 3 y N = 2.
En el contexto del cálculo de variaciones, esto se puede escribir como [2]
donde ds es un desplazamiento infinitesimal a lo largo del rayo dado por y
es el lagrangiano óptico y .
La longitud del camino óptico (OPL) se define como
donde n es el índice de refracción local como una función de la posición a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B .
Las ecuaciones de Euler-Lagrange
Los resultados generales presentados anteriormente para el principio de Hamilton se pueden aplicar a la óptica utilizando el Lagrangiano definido en el principio de Fermat . Las ecuaciones de Euler-Lagrange con parámetro σ = x 3 y N = 2 aplicadas al principio de Fermat dan como resultado
con k = 1,2 y donde L es el lagrangiano óptico y.
Impulso óptico
El momento óptico se define como
y de la definición del lagrangiano óptico esta expresión se puede reescribir como
o en forma vectorial
dónde es un vector unitario y los ángulos α 1 , α 2 y α 3 son los ángulos que forman p con el eje x 1 , x 2 y x 3 respectivamente, como se muestra en la figura "momento óptico". Por tanto, el momento óptico es un vector de norma
donde n es el índice de refracción en el que se calcula p . El vector p apunta en la dirección de propagación de la luz. Si la luz se propaga en una óptica de índice de gradiente, la trayectoria del rayo de luz es curva y el vector p es tangente al rayo de luz.
La expresión de la longitud del camino óptico también se puede escribir en función del momento óptico. Teniendo en consideración que la expresión del lagrangiano óptico se puede reescribir como
y la expresión de la longitud del camino óptico es
Ecuaciones de Hamilton
De manera similar a lo que sucede en la mecánica hamiltoniana , también en óptica el hamiltoniano se define por la expresión dada anteriormente para N = 2 correspondiente a funciones y estar determinado
Comparando esta expresión con para los resultados lagrangianos en
Y las ecuaciones de Hamilton correspondiente con el parámetro σ = x 3 y k = 1,2 aplicado a la óptica son [5] [6]
con y .
Aplicaciones
Se supone que la luz viaja a lo largo del eje x 3 , en el principio de Hamilton anterior, las coordenadas y tomar el papel de las coordenadas generalizadas tiempo toma el papel de parámetro , es decir, parámetro σ = x 3 y N = 2.
Refracción y reflexión
Si el plano x 1 x 2 separa dos medios de índice de refracción n A por debajo yn B por encima de él, el índice de refracción viene dado por una función escalonada
y de las ecuaciones de Hamilton
y por lo tanto o para k = 1,2.
Un rayo de luz entrante tiene momento p A antes de la refracción (debajo del plano x 1 x 2 ) y momento p B después de la refracción (arriba del plano x 1 x 2 ). El rayo de luz forma un ángulo θ A con eje x 3 (la normal a la superficie refractiva) antes de la refracción y un ángulo θ B con eje x 3 después de la refracción. Dado que los p 1 y p 2 componentes del momento son constantes, sólo p 3 cambios de p 3 A a p 3 B .
La figura "refracción" muestra la geometría de esta refracción a partir de la cual . Desde y , esta última expresión se puede escribir como
que es la ley de refracción de Snell .
En la figura "refracción", la normal a la superficie refractiva apunta en la dirección del eje x 3 , y también del vector. Una unidad normal a la superficie refractiva se puede obtener a partir de los momentos de los rayos entrantes y salientes por
donde i y r son una vectores unitarios en las direcciones de la incidente y rayos refractados. Además, el rayo saliente (en la dirección de) está contenido en el plano definido por el rayo entrante (en la dirección de ) y lo normal a la superficie.
Un argumento similar puede ser utilizado para la reflexión en la derivación de la ley de la reflexión especular , sólo que ahora con n A = n B , resultando en θ A = θ B . Además, si i y r son vectores unitarios en las direcciones del incidente y rayo refractado respectivamente, el correspondiente normal a la superficie está dada por la misma expresión que para la refracción, sólo que con n A = n B
En forma vectorial, si i es un vector unitario que apunta en la dirección del rayo incidente yn es la unidad normal a la superficie, la dirección r del rayo refractado viene dada por: [3]
con
Si i · n <0, entonces - n debe usarse en los cálculos. Cuándo, la luz sufre una reflexión interna total y la expresión del rayo reflejado es la de reflexión:
Rayos y frentes de onda
De la definición de la longitud del camino óptico
con k = 1,2 donde las ecuaciones de Euler-Lagrange con k = 1,2. Además, de la última de las ecuaciones de Hamilton y de sobre
La combinación de las ecuaciones para los componentes de la cantidad de movimiento p da como resultado
Dado que p es un vector tangente a los rayos de luz, las superficies S = Constante deben ser perpendiculares a esos rayos de luz. Estas superficies se denominan frentes de onda . La figura "rayos y frentes de onda" ilustra esta relación. También se muestra el momento óptico p , tangente a un rayo de luz y perpendicular al frente de onda.
Campo vectorial es un campo vectorial conservador . El teorema del gradiente se puede aplicar a la longitud del camino óptico (como se indica arriba ) dando como resultado
y la longitud de la trayectoria óptica S calculada a lo largo de una curva C entre los puntos A y B es una función únicamente de sus puntos extremos A y B y no de la forma de la curva entre ellos. En particular, si la curva está cerrada, comienza y termina en el mismo punto, o A = B de modo que
Este resultado se puede aplicar a un camino cerrado ABCDA como en la figura "longitud del camino óptico".
para el segmento de curva AB, el momento óptico p es perpendicular a un desplazamiento d s a lo largo de la curva AB , o. Lo mismo ocurre con el segmento CD . Por segmento BC el impulso óptico p tiene la misma dirección que el desplazamiento d s y. Por segmento DA el impulso óptico p tiene la dirección opuesta al desplazamiento d s y. Sin embargo, al invertir la dirección de la integración de modo que la integral se tome de A a D , d s invierte la dirección y. De estas consideraciones
o
y la longitud de la trayectoria óptica S BC entre los puntos B y C a lo largo del rayo que los conecta es la misma que la longitud de la trayectoria óptica S AD entre los puntos A y D a lo largo del rayo que los conecta. La longitud del camino óptico es constante entre frentes de onda.
Espacio de fase
La figura "Espacio de fase 2D" muestra en la parte superior algunos rayos de luz en un espacio bidimensional. Aquí x 2 = 0 y p 2 = 0 entonces la luz viaja en el plano x 1 x 3 en direcciones de valores crecientes de x 3 . En este casoy la dirección de un rayo de luz está completamente especificada por la componente p 1 del momentoya que p 2 = 0. Si p 1 se da, p 3 se puede calcular (dado el valor del índice de refracción n ) y por lo tanto p 1 basta para determinar la dirección del rayo de luz. El índice de refracción del medio en el que viaja el rayo está determinado por.
Por ejemplo, rayos r C cruces eje x 1 en la coordenada x B con un impulso óptico p C , que tiene su punta en un círculo de radio n centrada en la posición x B . La coordenada x B y la coordenada horizontal p 1 C del momento p C definen completamente el rayo r C cuando cruza el eje x 1 . Este rayo puede definirse entonces por un punto r C = ( x B , p 1 C ) en el espacio x 1 p 1 como se muestra en la parte inferior de la figura. El espacio x 1 p 1 se llama espacio de fase y diferentes rayos de luz pueden estar representados por diferentes puntos en este espacio.
Como tal, el rayo r D que se muestra en la parte superior está representado por un punto r D en el espacio de fase en la parte inferior. Todos los rayos que cruzan el eje x 1 en la coordenada x B contenidos entre los rayos r C y r D están representados por una línea vertical que conecta los puntos r C y r D en el espacio de fase. En consecuencia, todos los rayos que cruzan el eje x 1 en la coordenada x A contenida entre los rayos r A y r B están representados por una línea vertical que conecta los puntos r A y r B en el espacio de fase. En general, todos los rayos que cruzan el eje x 1 entre x L y x R están representados por un volumen R en el espacio de fase. Los rayos en el límite ∂ R del volumen R se denominan rayos de borde. Por ejemplo, en la posición x A del eje x 1 , los rayos r A y r B son los rayos del borde ya que todos los demás rayos están contenidos entre estos dos. (Un rayo paralelo a x1 no estaría entre los dos rayos, ya que el momento no está entre los dos rayos)
En geometría tridimensional, el momento óptico está dado por con . Si se dan p 1 y p 2 , se puede calcular p 3 (dado el valor del índice de refracción n ) y, por lo tanto, p 1 y p 2 son suficientes para determinar la dirección del rayo de luz. Un rayo que viaja a lo largo del eje x 3 se define entonces por un punto ( x 1 , x 2 ) en el plano x 1 x 2 y una dirección ( p 1 , p 2 ). Entonces se puede definir por un punto en el espacio de fase de cuatro dimensiones x 1 x 2 p 1 p 2 .
Conservación de etendue
Figura muestra "variación de volumen" un volumen V obligado por un área A . Con el tiempo, si el límite A se mueve, el volumen de V puede variar. En particular, un área infinitesimal dA con una unidad que apunta hacia afuera normal n se mueve con una velocidad v .
Esto conduce a una variación de volumen. . Haciendo uso del teorema de Gauss , la variación en el tiempo del volumen total V volumen que se mueve en el espacio es
El término más a la derecha es una integral de volumen sobre el volumen V y el término medio es la integral de superficie sobre el límite A del volumen V . Además, v es la velocidad con la que se mueven los puntos en V.
En óptica coordinada asume el papel del tiempo. En el espacio de fase, un rayo de luz se identifica mediante un punto.que se mueve con una " velocidad " donde el punto representa una derivada relativa a . Un conjunto de rayos de luz se extienden. en coordenada , en coordenada , en coordenada y en coordenada ocupa un volumen en el espacio de fase. En general, un gran conjunto de rayos ocupa un gran volumen.en el espacio de fase al que se puede aplicar el teorema de Gauss
y usando las ecuaciones de Hamilton
o y lo que significa que el volumen del espacio de fase se conserva a medida que la luz viaja a lo largo de un sistema óptico.
El volumen ocupado por un conjunto de rayos en el espacio de fase se denomina etendue , que se conserva a medida que los rayos de luz avanzan en el sistema óptico en la dirección x 3 . Esto corresponde al teorema de Liouville , que también se aplica a la mecánica hamiltoniana .
Sin embargo, el significado del teorema de Liouville en mecánica es bastante diferente del teorema de conservación de étendue. El teorema de Liouville es de naturaleza esencialmente estadística y se refiere a la evolución en el tiempo de un conjunto de sistemas mecánicos de idénticas propiedades pero con diferentes condiciones iniciales. Cada sistema está representado por un solo punto en el espacio de fase, y el teorema establece que la densidad promedio de puntos en el espacio de fase es constante en el tiempo. Un ejemplo serían las moléculas de un gas clásico perfecto en equilibrio en un recipiente. Cada punto en el espacio de fase, que en este ejemplo tiene 2N dimensiones, donde N es el número de moléculas, representa uno de un conjunto de contenedores idénticos, un conjunto lo suficientemente grande para permitir tomar un promedio estadístico de la densidad de puntos representativos. El teorema de Liouville establece que si todos los contenedores permanecen en equilibrio, la densidad promedio de puntos permanece constante. [3]
Óptica de imágenes y no imágenes
La figura "conservación de etendue" muestra a la izquierda un sistema óptico bidimensional esquemático en el que x 2 = 0 yp 2 = 0 de modo que la luz viaja en el plano x 1 x 3 en direcciones de valores crecientes de x 3 .
Los rayos de luz que cruzan la apertura de entrada de la óptica en el punto x 1 = x I están contenidos entre los rayos de borde r A y r B representados por una línea vertical entre los puntos r A y r B en el espacio de fase de la apertura de entrada (derecha, parte inferior esquina de la figura). Todos los rayos que atraviesan la abertura de entrada están representados en el espacio de fases por una región R I .
Además, los rayos de luz que cruzan la apertura de salida de la óptica en el punto x 1 = x O están contenidos entre los rayos de borde r A y r B representados por una línea vertical entre los puntos r A y r B en el espacio de fase de la apertura de salida (derecha , esquina superior de la figura). Todos los rayos que atraviesan la abertura de salida están representados en el espacio de fases por una región R O .
La conservación de etendue en el sistema óptico significa que el volumen (o área en este caso bidimensional) en el espacio de fase ocupado por R I en la apertura de entrada debe ser el mismo que el volumen en el espacio de fase ocupado por R O en la apertura de salida. .
En la óptica de formación de imágenes, todos los rayos de luz que cruza la abertura de entrada en x 1 = x I son redirigidos por ella hacia la abertura de salida en x 1 = x O donde x I = mx O . Esto asegura que se forme una imagen de la entrada en la salida con un aumento m . En el espacio de fase, esto significa que las líneas verticales en el espacio de fase en la entrada se transforman en líneas verticales en la salida. Ese sería el caso de la línea vertical r A r B en R I transformado en línea vertical r A r B en R O .
En la óptica sin imágenes , el objetivo no es formar una imagen, sino simplemente transferir toda la luz desde la apertura de entrada a la apertura de salida. Esto se logra mediante la transformación de los rayos marginales ∂ R I de R I a los rayos de borde ∂ R O de R O . Esto se conoce como el principio del rayo de borde .
Generalizaciones
Arriba se asumió que la luz viaja a lo largo del eje x 3 , en el principio de Hamilton anterior, las coordenadas y tomar el papel de las coordenadas generalizadas tiempo toma el papel de parámetro , es decir, parámetro σ = x 3 y N = 2. Sin embargo, son posibles diferentes parametrizaciones de los rayos de luz, así como el uso de coordenadas generalizadas .
Parametrización general de rayos
Se puede considerar una situación más general en la que la trayectoria de un rayo de luz se parametriza como en el que σ es un parámetro general. En este caso, en comparación con el principio de Hamilton anterior, las coordenadas, y tomar el papel de las coordenadas generalizadas con N = 3. Aplicar el principio de Hamilton a la óptica en este caso conduce a
donde ahora y y para el cual las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a esta forma del principio de Fermat dan como resultado
con k = 1,2,3 y donde L es el lagrangiano óptico. También en este caso el momento óptico se define como
y el Hamiltoniano P está definido por la expresión dada anteriormente para N = 3 correspondiente a funciones, y estar determinado
Y las ecuaciones de Hamilton correspondientes con k = 1,2,3 óptica aplicada son
con y .
El lagrangiano óptico está dado por
y no depende explícitamente del parámetro σ . Por esa razón no todas las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange serán posibles rayos de luz, ya que su derivación asumió una dependencia explícita de L de σ lo que no ocurre en óptica.
Los componentes del momento óptico se pueden obtener de
dónde . La expresión para el lagrangiano se puede reescribir como
Comparando esta expresión para L con la del hamiltoniano P se puede concluir que
De las expresiones de los componentes de los resultados del impulso óptico
El hamiltoniano óptico se elige como
aunque se podrían tomar otras decisiones. [3] [4] Las ecuaciones de Hamilton con k = 1, 2, 3 definidas anteriormente junto con definir los posibles rayos de luz.
Coordenadas generalizadas
Como en la mecánica hamiltoniana , también es posible escribir las ecuaciones de la óptica hamiltoniana en términos de coordenadas generalizadas. , momentos generalizados y Hamiltoniano P como [3] [4]
donde el impulso óptico está dado por
y , y son vectores unitarios . Se obtiene un caso particular cuando estos vectores forman una base ortonormal , es decir, son todos perpendiculares entre sí. En ese caso, es el coseno del ángulo el momento óptico hace al vector unitario .
Ver también
- Materiales de aprendizaje relacionados con una derivación unidimensional simple de la óptica hamiltoniana en Wikiversity
- Mecánica hamiltoniana
- Cálculo de variaciones
Referencias
- ^ HA Buchdahl, Introducción a la óptica de Hamilton , Publicaciones de Dover, 1993, ISBN 978-0486675978 .
- ^ a b Vasudevan Lakshminarayanan et al., Lagrangian Optics , Springer Países Bajos, 2011, ISBN 978-0792375821 .
- ^ a b c d e Chaves, Julio (2015). Introducción a la óptica sin imágenes, segunda edición . Prensa CRC . ISBN 978-1482206739.
- ^ a b c Roland Winston et al., Óptica sin imágenes , Academic Press, 2004, ISBN 978-0127597515 .
- ^ Dietrich Marcuse, Óptica de transmisión de luz , Van Nostrand Reinhold Company, Nueva York, 1972 ISBN 978-0894643057 .
- ^ Rudolf Karl Luneburg, Teoría matemática de la óptica , University of California Press, Berkeley, CA, 1964, p. 90.