En matemáticas , los polinomios de Laguerre , llamados así por Edmond Laguerre (1834-1886), son soluciones de la ecuación de Laguerre:
que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden . Esta ecuación tiene soluciones no singulares solo si n es un número entero no negativo.
A veces, el nombre de polinomios de Laguerre se usa para soluciones de
donde n sigue siendo un número entero no negativo. Luego también se denominan polinomios de Laguerre generalizados , como se hará aquí ( polinomios de Laguerre alternativamente asociados o, raramente, polinomios de Sonine , en honor a su inventor [1] Nikolay Yakovlevich Sonin ).
De manera más general, una función de Laguerre es una solución cuando n no es necesariamente un número entero no negativo.
Los polinomios de Laguerre también se utilizan para la cuadratura gaussiana para calcular numéricamente integrales de la forma
¡Los físicos a veces usan una definición para los polinomios de Laguerre que es mayor en un factor de n ! que la definición utilizada aquí. (Del mismo modo, algunos físicos pueden usar definiciones algo diferentes de los llamados polinomios de Laguerre asociados).
es un coeficiente binomial generalizado . Cuando n es un número entero, la función se reduce a un polinomio de grado n . Tiene la expresión alternativa [4]
en términos de la función de Kummer del segundo tipo .
La forma cerrada de estos polinomios de Laguerre generalizados de grado n es [5]
derivado aplicando el teorema de Leibniz para la diferenciación de un producto a la fórmula de Rodrigues.
Los primeros polinomios de Laguerre generalizados son:
El coeficiente del término principal es (−1) n / n !;
El término constante , que es el valor en 0, es
Si α no es negativo, entonces L n ( α ) tiene n raíces reales , estrictamente positivas (observe que es una cadena de Sturm ), que están todas en el intervalo [ cita requerida ]
El comportamiento asintótico de los polinomios para n grandes , pero α y x > 0 fijos , viene dado por [6] [7]
y resumiendo por
donde está la función de Bessel .
Como integral de contorno
Dada la función generadora especificada anteriormente, los polinomios pueden expresarse en términos de una integral de contorno
donde el contorno rodea el origen una vez en sentido antihorario sin encerrar la singularidad esencial en 1
Relaciones de recurrencia
La fórmula de suma para polinomios de Laguerre: [8]
.
Los polinomios de Laguerre satisfacen las relaciones de recurrencia
en particular
y
o
es más
Se pueden utilizar para derivar las cuatro reglas de los 3 puntos.
combinados dan estas relaciones de recurrencia adicionales y útiles
Dado que es un polinomio mónico de grado en , existe la descomposición de fracción parcial
La segunda igualdad sigue por la siguiente identidad, válido para número entero i y n e inmediata de la expresión de en términos de polinomios Charlier :
Para la tercera igualdad se aplican las identidades cuarta y quinta de esta sección.
Derivadas de polinomios de Laguerre generalizados
Diferenciar la representación en serie de potencias de un polinomio de Laguerre generalizado k veces conduce a
Esto apunta a un caso especial ( α = 0 ) de la fórmula anterior: para un entero α = k, el polinomio generalizado se puede escribir
el desplazamiento de k a veces causa confusión con la notación habitual entre paréntesis para una derivada.
Además, se cumple la siguiente ecuación:
que se generaliza con la fórmula de Cauchy para
La derivada con respecto a la segunda variable α tiene la forma, [9]
Esto es evidente a partir de la representación integral de contorno a continuación.
Los polinomios de Laguerre generalizados obedecen a la ecuación diferencial
que puede compararse con la ecuación obedecida por la k- ésima derivada del polinomio ordinario de Laguerre,
donde solo para esta ecuación.
En la forma de Sturm-Liouville, la ecuación diferencial es
que muestra que L(α) nes un vector propio para el valor propio n .
Ortogonalidad
Los polinomios de Laguerre generalizados son ortogonales sobre [0, ∞) con respecto a la medida con función de ponderación x α e - x : [10]
que se sigue de
Si denota la distribución Gamma, entonces la relación de ortogonalidad se puede escribir como
El polinomio de núcleo simétrico asociado tiene las representaciones ( fórmula de Christoffel-Darboux ) [ cita requerida ]
recursivamente
Además, [ aclaración necesaria ¿ Límite cuando n va al infinito? ]
Las desigualdades de Turán se pueden derivar aquí, que es
La siguiente integral es necesaria en el tratamiento mecánico cuántico del átomo de hidrógeno ,
Expansiones de series
Sea una función la expansión en serie (formal)
Luego
La serie converge en el espacio de Hilbert asociado L 2 [0, ∞) si y solo si
Más ejemplos de expansiones
Los monomios se representan como
mientras que los binomios tienen la parametrización
Esto conduce directamente a
para la función exponencial. La función gamma incompleta tiene la representación
En mecánica cuántica
En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger para el átomo similar al hidrógeno se puede resolver exactamente mediante la separación de variables en coordenadas esféricas. La parte radial de la función de onda es un polinomio de Laguerre (generalizado). [11]
Las transiciones vibrónicas en la aproximación de Franck-Condon también se pueden describir usando polinomios de Laguerre. [12]
Teoremas de multiplicación
Erdélyi da los siguientes dos teoremas de multiplicación [13]
Relación con los polinomios de Hermite
Los polinomios de Laguerre generalizados están relacionados con los polinomios de Hermite :
donde H n ( x ) son los polinomios de Hermite basados en la función de ponderación exp (- x 2 ), la llamada "versión del físico".
Debido a esto, los polinomios de Laguerre generalizados surgen en el tratamiento del oscilador armónico cuántico .
Relación con las funciones hipergeométricas
Los polinomios de Laguerre pueden definirse en términos de funciones hipergeométricas , específicamente las funciones hipergeométricas confluentes , como
donde está el símbolo de Pochhammer (que en este caso representa el factorial ascendente).
Fórmula de Hardy-Hille
Los polinomios de Laguerre generalizados satisfacen la fórmula de Hardy-Hille [14] [15]
donde la serie de la izquierda converge para y . Usando la identidad
(ver función hipergeométrica generalizada ), esto también se puede escribir como
Esta fórmula es una generalización del núcleo de Mehler para polinomios de Hermite , que se puede recuperar utilizando las relaciones entre los polinomios de Laguerre y Hermite dadas anteriormente.
Ver también
Polinomios de angelescu
Polinomios de Bessel
Modo transversal , una aplicación importante de los polinomios de Laguerre para describir la intensidad del campo dentro de una guía de ondas o un perfil de rayo láser.
Notas
↑ N. Sonine (1880). "Recherches sur les fonctions cylindriques et le développement des fonctions continúa en séries" . Matemáticas. Ana. 16 (1): 1–80. doi : 10.1007 / BF01459227 .
^ A&S pág. 781
^ A&S pág. 509
^ A&S pág. 510
^ A&S pág. 775
^ Szegő, pág. 198.
^ D. Borwein, JM Borwein, RE Crandall, "Asintóticos efectivos de Laguerre", SIAM J. Numer. Anal. , vol. 46 (2008), núm. 6, págs. 3285–3312 doi : 10.1137 / 07068031X
^ Ecuación de A&S (22.12.6), p. 785
^ Koepf, Wolfram (1997). "Identidades para familias de polinomios ortogonales y funciones especiales". Transformaciones integrales y funciones especiales . 5 (1–2): 69–102. CiteSeerX 10.1.1.298.7657 . doi : 10.1080 / 10652469708819127 .
^ "Polinomio de Laguerre asociado" .
^ Ratner, Schatz, Mark A., George C. (2001). Mecánica cuántica en química . 0-13-895491-7: Prentice Hall. págs. 90–91.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
^ Jong, Mathijs de; Seijo, Luis; Meijerink, Andries; Rabouw, Freddy T. (24 de junio de 2015). "Resolver la ambigüedad en la relación entre el cambio de Stokes y el parámetro Huang-Rhys" . Física Química Física Química . 17 (26): 16959–16969. doi : 10.1039 / C5CP02093J . ISSN 1463-9084 .
^ C. Truesdell, " Sobre los teoremas de suma y multiplicación para las funciones especiales ", Actas de la Academia Nacional de Ciencias, Matemáticas , (1950) pp. 752-757.
^ Szegő, pág. 102.
^ WA Al-Salam (1964), "Representaciones operativas de Laguerre y otros polinomios" , Duke Math J. 31 (1): 127-142.
Referencias
Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 22" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
B. España, MG Smith, Funciones de la física matemática , Van Nostrand Reinhold Company, Londres, 1970. El capítulo 10 trata de los polinomios de Laguerre.
"Polinomios de Laguerre" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Eric W. Weisstein , " Polinomio de Laguerre ", de MathWorld — Un recurso web de Wolfram.
George Arfken y Hans Weber (2000). Métodos matemáticos para físicos . Prensa académica. ISBN 978-0-12-059825-0.
enlaces externos
Timothy Jones. "Los polinomios de Legendre y Laguerre y el modelo mecánico cuántico elemental del átomo de hidrógeno" .
Weisstein, Eric W. "Polinomio de Laguerre" . MathWorld .
Categorías :
Polinomios
Polinomios ortogonales
Funciones hipergeométricas especiales
Categorías ocultas:
CS1 maint: ubicación
Todos los artículos con declaraciones sin fuente
Artículos con declaraciones sin fuente de septiembre de 2011
Artículos con declaraciones sin fuente de octubre de 2011
Artículos de Wikipedia que necesitan aclaraciones a partir de enero de 2016