En mecánica cuántica , la cuantificación de Landau se refiere a la cuantificación de las órbitas del ciclotrón de partículas cargadas en un campo magnético uniforme. Como resultado, las partículas cargadas solo pueden ocupar órbitas con valores de energía discretos y equidistantes, llamados niveles de Landau. Estos niveles son degenerados , con el número de electrones por nivel directamente proporcional a la fuerza del campo magnético aplicado. Lleva el nombre del físico soviético Lev Landau . [1]
La cuantificación de Landau es directamente responsable de la susceptibilidad electrónica de los metales, conocida como diamagnetismo de Landau . Bajo fuertes campos magnéticos, la cuantificación de Landau conduce a oscilaciones en las propiedades electrónicas de los materiales en función del campo magnético aplicado conocido como efectos De Haas-Van Alphen y Shubnikov-De Haas .
La cuantificación de Landau es un ingrediente clave para explicar el efecto Hall cuántico entero .
Derivación
Considere un sistema de partículas que no interactúan con carga q y espín S confinados a un área A = L x L y en el plano xy . Aplicar un campo magnético uniformea lo largo del eje z . En unidades CGS , el hamiltoniano de este sistema (aquí, se desprecian los efectos del giro) es
Aquí, es el operador canónico de impulso yes el potencial del vector electromagnético , que está relacionado con el campo magnético por
Existe cierta libertad de calibre en la elección del potencial vectorial para un campo magnético dado. El hamiltoniano es invariante de calibre , lo que significa que agregar el gradiente de un campo escalar a  cambia la fase general de la función de onda en una cantidad correspondiente al campo escalar. Pero las propiedades físicas no están influenciadas por la elección específica del calibre. Para simplificar el cálculo, elija el manómetro Landau , que es
donde B = | B | y x̂ es el componente x del operador de posición.
En este indicador, el hamiltoniano es
El operador conmuta con este hamiltoniano, ya que el operador ŷ está ausente por la elección del calibre. Por lo tanto, el operadorpuede ser reemplazado por su valor propio ħk y . Desde no aparece en el hamiltoniano y solo el momento z aparece en la energía cinética, este movimiento a lo largo de la dirección z es un movimiento libre.
El hamiltoniano también se puede escribir de manera más simple al señalar que la frecuencia del ciclotrón es ω c = qB / m , dando
Este es exactamente el hamiltoniano para el oscilador armónico cuántico , excepto con el mínimo del potencial desplazado en el espacio de coordenadas por x 0 = ħk y / mω c .
Para encontrar las energías, tenga en cuenta que la traducción del potencial del oscilador armónico no afecta las energías. Las energías de este sistema son, por tanto, idénticas a las del oscilador armónico cuántico estándar , [2]
La energía no depende del número cuántico k y , por lo que habrá un número finito de degeneraciones (si la partícula se coloca en un espacio no confinado, esta degeneración corresponderá a una secuencia continua de). El valor de es continua si la partícula no está confinada en la dirección z y discreta si la partícula también está limitada en la dirección z.
Para las funciones de onda, recuerde que conmuta con el hamiltoniano. Entonces los factores función de onda en un producto de estados propios impulso en el y dirección y estados propios oscilador armónicodesplazado por una cantidad x 0 en la dirección x :
dónde . En resumen, el estado del electrón se caracteriza por los números cuánticos, n , k y y k z .
Niveles de Landau
Cada conjunto de funciones de onda con el mismo valor de n se denomina nivel de Landau. Los efectos de los niveles de Landau solo se observan cuando la energía térmica media kT es menor que la separación del nivel de energía, kT ≪ ħω c , lo que significa temperaturas bajas y campos magnéticos fuertes.
Cada nivel de Landau está degenerado debido al segundo número cuántico k y , que puede tomar los valores
- ,
donde N es un número entero. Los valores permitidos de N están además restringidos por la condición de que el centro de fuerza del oscilador, x 0 , debe estar físicamente dentro del sistema, 0 ≤ x 0
Para partículas con carga q = Ze , el límite superior de N se puede escribir simplemente como una relación de flujos ,
donde Φ 0 = h / e es el cuanto de flujo magnético fundamental y Φ = BA es el flujo a través del sistema (con área A = L x L y ).
Por lo tanto, para partículas con espín S , el número máximo D de partículas por nivel de Landau es
que para los electrones (donde Z = 1 y S = 1/2 ) da D = 2Φ / Φ 0 , dos estados disponibles para cada cuanto de flujo que penetra en el sistema.
Lo anterior da solo una idea aproximada de los efectos de la geometría de tamaño finito. Estrictamente hablando, usar la solución estándar del oscilador armónico solo es válido para sistemas ilimitados en la dirección x (franjas infinitas). Si el tamaño L x es finito, las condiciones de contorno en esa dirección dan lugar a condiciones de cuantificación no estándar en el campo magnético, que involucran (en principio) ambas soluciones de la ecuación de Hermite. El llenado de estos niveles con muchos electrones es todavía [3] un área activa de investigación.
En general, los niveles de Landau se observan en sistemas electrónicos. A medida que aumenta el campo magnético, más y más electrones pueden caber en un nivel de Landau dado. La ocupación del nivel más alto de Landau varía desde completamente lleno hasta completamente vacío, lo que lleva a oscilaciones en varias propiedades electrónicas (ver efecto De Haas-Van Alphen y efecto Shubnikov-De Haas ).
Si se incluye la división de Zeeman , cada nivel de Landau se divide en un par, uno para hacer girar los electrones y el otro para hacer girar los electrones. Entonces, la ocupación de cada nivel Landau de espín es solo la relación de flujos D = Φ / Φ 0 . La división de Zeeman tiene un efecto significativo en los niveles de Landau porque sus escalas de energía son las mismas, 2 μ B B = ħω c . Sin embargo, la energía de Fermi y la energía del estado fundamental permanecen aproximadamente iguales en un sistema con muchos niveles llenos, ya que los pares de niveles de energía divididos se cancelan entre sí cuando se suman.
Discusión
Este trata de derivación x y y como ligeramente asimétrica. Sin embargo, por la simetría del sistema, no existe una cantidad física que distinga estas coordenadas. El mismo resultado podría haber sido obtenido con un intercambio apropiado de x y y .
Además, la derivación anterior supuso un electrón confinado en la dirección z , que es una situación experimental relevante, que se encuentra en gases de electrones bidimensionales, por ejemplo. Aún así, esta suposición no es esencial para los resultados. Si los electrones pueden moverse libremente a lo largo de la dirección z , la función de onda adquiere un término multiplicativo adicional exp ( ik z z ); la energía correspondiente a este movimiento libre, ( ħ k z ) 2 / ( 2m ) , se suma a la E discutida. Este término luego completa la separación de energía de los diferentes niveles de Landau, difuminando el efecto de la cuantificación. Sin embargo, el movimiento en el plano x - y , perpendicular al campo magnético, todavía está cuantificado.
Niveles de Landau en ancho simétrico
El calibre simétrico se refiere a la elección
En términos de energías y longitudes adimensionales, el hamiltoniano se puede expresar como
Las unidades correctas se pueden restaurar introduciendo factores de y
Considere los operadores
Estos operadores siguen ciertas relaciones de conmutación
- .
En términos de los operadores anteriores, el hamiltoniano se puede escribir como
Índice de nivel de Landau es el valor propio de
La componente z del momento angular es
Explotando la propiedad Elegimos funciones propias que diagonalizan y , El valor propio de se denota por , donde está claro que en el el nivel Landau. Sin embargo, puede ser arbitrariamente grande, lo cual es necesario para obtener la degeneración infinita (o degeneración finita por unidad de área) que exhibe el sistema.
La aplicación de aumenta por una unidad conservando , mientras que la aplicación aumenta simultáneamente y disminuye por una unidad. La analogía con el oscilador armónico cuántico proporciona soluciones
Cada nivel de Landau tiene orbitales degenerados etiquetados por los números cuánticos k y yen los calibres Landau y simétricos respectivamente. La degeneración por unidad de área es la misma en cada nivel de Landau.
Se puede verificar que los estados anteriores corresponden a la elección de funciones de onda proporcionales a
dónde .
En particular, el nivel más bajo de Landau Consiste en funciones analíticas arbitrarias que multiplican un gaussiano, .
Efectos de la transformación de calibre
La definición de momentos cinemáticos es
dónde son los momentos canónicos. El hamiltoniano es un indicador invariante, por lo que y permanecerá invariante bajo transformaciones de calibre pero Dependerá del calibre. Para observar el efecto de la transformación de gauge en el estado cuántico de la partícula, considere el estado con A y A 'como potencial vectorial , con estados y .
Como y es invariante bajo la transformación de calibre que obtenemos
Considere un operador tal que
de la relación anterior deducimos que
de esto concluimos
Caso relativista
Un electrón que sigue la ecuación de Dirac bajo un campo magnético constante, se puede resolver analíticamente. [4] [5] Las energías están dadas por
donde c es la velocidad de la luz, el signo depende del componente partícula-antipartícula y ν es un número entero no negativo. Debido al giro, todos los niveles están degenerados excepto el estado fundamental en ν = 0.
El caso 2D sin masa se puede simular en materiales de una sola capa como el grafeno cerca de los conos de Dirac , donde las autoenergías están dadas por [6]
donde la velocidad de la luz debe ser reemplazada por la velocidad de Fermi v F del material y el signo menos corresponde a los huecos de electrones .
Susceptibilidad magnética de un gas Fermi
El gas Fermi (un conjunto de fermiones que no interactúan ) es parte de la base para comprender las propiedades termodinámicas de los metales. En 1930, Landau obtuvo una estimación de la susceptibilidad magnética de un gas de Fermi, conocida como susceptibilidad de Landau , que es constante para pequeños campos magnéticos. Landau también notó que la susceptibilidad oscila con alta frecuencia para grandes campos magnéticos, [7] este fenómeno físico se conoce como el efecto De Haas-Van Alphen .
Celosía bidimensional
Se sabe que el estrecho espectro de energía de enlace de las partículas cargadas en una red infinita bidimensional es auto-similar y fractal , como se demuestra en la mariposa de Hofstadter . Para una relación entera del cuanto de flujo magnético y el flujo magnético a través de una celda de celosía, se recuperan los niveles de Landau para números enteros grandes. [8]
Ver también
- Efecto Barkhausen
- Efecto De Haas-Van Alphen
- Efecto Shubnikov – de Haas
- Efecto Hall cuántico
- Función de onda de Laughlin
- Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético
Referencias
- ^ Landau, LD (1930). Diamagnetismo de metales. Zeitschrift für Physik, 64 (9-10), 629-637.
- ^ Landau, LD y Lifshitz, EM, (1981). Mecánica cuántica; Teoría no relativista. 3ª edición. Butterworth-Heinemann. págs. 424-426.
- ^ Mikhailov, SA (2001). "Un nuevo enfoque para el estado fundamental de los sistemas de Hall cuánticos. Principios básicos". Physica B: Materia condensada . 299 (1–2): 6–31. arXiv : cond-mat / 0008227 . Código Bibliográfico : 2001PhyB..299 .... 6M . doi : 10.1016 / S0921-4526 (00) 00769-9 . S2CID 118500817 .
- ^ Rabi, II (1928). "Das freie Elektron im homogenen Magnetfeld nach der Diracschen Theorie" . Zeitschrift für Physik (en alemán). 49 (7-8): 507-511. doi : 10.1007 / BF01333634 . ISSN 1434-6001 . S2CID 121121095 .
- ^ Berestetskii, VB; Pitaevskii, LP; Lifshitz, EM (2 de diciembre de 2012). Electrodinámica cuántica: Volumen 4 . Elsevier. ISBN 978-0-08-050346-2.
- ^ Yin, Long-Jing; Bai, Ke-Ke; Wang, Wen-Xiao; Li, Si-Yu; Zhang, Yu; Él, Lin (2017). "Cuantización de Landau de fermiones de Dirac en grafeno y sus multicapas" . Fronteras de la física . 12 (4): 127208. doi : 10.1007 / s11467-017-0655-0 . ISSN 2095-0462 .
- ^ Landau, LD; Lifshitz, EM (22 de octubre de 2013). Física estadística: Volumen 5 . Elsevier. pag. 177. ISBN 978-0-08-057046-4.
- ^ Analytis, James G .; Blundell, Stephen J .; Ardavan, Arzhang (mayo de 2004). "Niveles de Landau, orbitales moleculares y la mariposa de Hofstadter en sistemas finitos" . Revista estadounidense de física . 72 (5): 613–618. doi : 10.1119 / 1.1615568 . ISSN 0002-9505 .
Otras lecturas
- Landau, LD; y Lifschitz, EM; (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista. Curso de Física Teórica . Vol. 3 (3ª ed. Londres: Pergamon Press). ISBN 0750635398 .