En mecánica cuántica , un nivel de energía está degenerado si corresponde a dos o más estados mensurables diferentes de un sistema cuántico . A la inversa, se dice que dos o más estados diferentes de un sistema de mecánica cuántica son degenerados si dan el mismo valor de energía en la medición. El número de estados diferentes correspondientes a un nivel de energía particular se conoce como el grado de degeneración del nivel. Está representado matemáticamente por el hamiltoniano para el sistema que tiene más de un autoestado linealmente independiente con el mismo autovalor de energía . [1] : pág. 48Cuando este es el caso, la energía por sí sola no es suficiente para caracterizar en qué estado se encuentra el sistema, y se necesitan otros números cuánticos para caracterizar el estado exacto cuando se desea la distinción. En la mecánica clásica , esto se puede entender en términos de diferentes trayectorias posibles correspondientes a la misma energía.
La degeneración juega un papel fundamental en la mecánica estadística cuántica . Para un sistema de N- partículas en tres dimensiones, un solo nivel de energía puede corresponder a varias funciones de onda o estados de energía diferentes. Estos estados degenerados en el mismo nivel son igualmente probables de ser llenados. El número de tales estados da la degeneración de un nivel de energía particular.
Matemáticas
Los posibles estados de un sistema de mecánica cuántica pueden tratarse matemáticamente como vectores abstractos en un espacio de Hilbert complejo y separable , mientras que los observables pueden representarse mediante operadores hermitianos lineales que actúan sobre ellos. Seleccionando una base adecuada , se pueden determinar los componentes de estos vectores y los elementos de la matriz de los operadores en esa base. Si A es una matriz N × N , X un vector distinto de cero y λ es un escalar , tal que, entonces se dice que el escalar λ es un valor propio de A y que el vector X es el vector propio correspondiente a λ . Junto con el vector cero, el conjunto de todos los autovectores correspondientes a un autovalor dado λ forma un subespacio de ℂ n , que se denomina autoespacio de λ . Un valor propio λ que corresponde a dos o más vectores propios linealmente independientes diferentes se dice que es degenerado , es decir, y , dónde y son vectores propios linealmente independientes. La dimensión del espacio propio correspondiente a ese valor propio se conoce como su grado de degeneración , que puede ser finita o infinita. Se dice que un valor propio no es degenerado si su espacio propio es unidimensional.
Los valores propios de las matrices que representan observables físicos en la mecánica cuántica dan los valores medibles de estos observables, mientras que los estados propios correspondientes a estos valores propios dan los estados posibles en los que se puede encontrar el sistema, después de la medición. Los valores medibles de la energía de un sistema cuántico están dados por los valores propios del operador hamiltoniano, mientras que sus estados propios dan los posibles estados de energía del sistema. Se dice que un valor de energía está degenerado si existen al menos dos estados de energía linealmente independientes asociados con él. Además, cualquier combinación lineal de dos o más estados propios degenerados es también un estado propio del operador hamiltoniano correspondiente al mismo valor propio de energía. Esto se deriva claramente del hecho de que el autoespacio del valor de energía autovalor λ es un subespacio (siendo el núcleo del hamiltoniano menos λ multiplicado por la identidad), por lo tanto, está cerrado bajo combinaciones lineales.
Prueba del teorema anterior. [2] : pág. 52 Si representa el operador hamiltoniano y y son dos estados propios correspondientes al mismo valor propio E , entonces Dejar , dónde y son constantes complejas (en general), sea cualquier combinación lineal de y . Luego,
que muestra que es un estado propio de con el mismo valor propio E .
Efecto de la degeneración en la medición de la energía.
En ausencia de degeneración, si se determina un valor medido de energía de un sistema cuántico, se supone que se conoce el estado correspondiente del sistema, ya que solo un estado propio corresponde a cada valor propio de energía. Sin embargo, si el hamiltoniano tiene un valor propio degenerado de grado g n , los autoestados asociados con él forman un subespacio vectorial de dimensión g n . En tal caso, varios estados finales pueden asociarse posiblemente con el mismo resultado., todas las cuales son combinaciones lineales de los g n vectores propios ortonormales.
En este caso, la probabilidad de que el valor de energía medido para un sistema en el estado dará el valor viene dada por la suma de las probabilidades de encontrar el sistema en cada uno de los estados de esta base, es decir
Degeneración en diferentes dimensiones
Esta sección pretende ilustrar la existencia de niveles de energía degenerados en sistemas cuánticos estudiados en diferentes dimensiones. El estudio de sistemas unidimensionales y bidimensionales ayuda a la comprensión conceptual de sistemas más complejos.
Degeneración en una dimensión
En varios casos, los resultados analíticos se pueden obtener más fácilmente en el estudio de sistemas unidimensionales. Para una partícula cuántica con función de onda moviéndose en un potencial unidimensional , la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede escribir como
Dado que esta es una ecuación diferencial ordinaria, hay dos funciones propias independientes para una energía dada a lo sumo, de modo que el grado de degeneración nunca exceda de dos. Se puede probar que en una dimensión, no existen estados degenerados ligados para funciones de onda normalizables . Una condición suficiente en un potencial continuo por partes y la energia es la existencia de dos números reales con tal que tenemos . [3] En particular, se limita a continuación en este criterio.
Prueba del teorema anterior. Considerando un sistema cuántico unidimensional en un potencial con estados degenerados y correspondiente al mismo valor propio de energía , escribiendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el sistema: Multiplicando la primera ecuación por y el segundo por y restando uno del otro, obtenemos:
Integrando ambos lados
En el caso de funciones de onda bien definidas y normalizables, la constante anterior se desvanece, siempre que ambas funciones de onda se desvanezcan en al menos un punto, y encontramos: dónde es, en general, una constante compleja. Para funciones propias de estado ligado (que tienden a cero cuando), y asumiendo y satisfacen la condición dada anteriormente, se puede demostrar [3] que también la primera derivada de la función de onda se acerca a cero en el límite, de modo que la constante anterior sea cero y no tengamos degeneración.
Degeneración en sistemas cuánticos bidimensionales
Los sistemas cuánticos bidimensionales existen en los tres estados de la materia y gran parte de la variedad que se ve en la materia tridimensional se puede crear en dos dimensiones. Los materiales bidimensionales reales están hechos de capas monoatómicas en la superficie de los sólidos. Algunos ejemplos de sistemas de electrones bidimensionales consiguen experimentalmente incluyen MOSFET , bidimensionales superredes de helio , neón , argón , xenón etc. y la superficie del helio líquido . Se estudia la presencia de niveles de energía degenerados en los casos de partícula en una caja y oscilador armónico bidimensional , que actúan como modelos matemáticos útiles para varios sistemas del mundo real.
Partícula en un plano rectangular
Considere una partícula libre en un plano de dimensiones. y en un plano de paredes impenetrables. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para este sistema con función de onda Se puede escribir como
Los valores de energía permitidos son
La función de onda normalizada es
dónde
Entonces, números cuánticos y se requieren para describir los valores propios de energía y la energía más baja del sistema está dada por
Para algunas proporciones proporcionales de las dos longitudes y , ciertos pares de estados están degenerados. Si, donde pyq son números enteros, los estados y tienen la misma energía y, por lo tanto, están degenerados entre sí.
Partícula en una caja cuadrada
En este caso, las dimensiones de la caja y los valores propios de energía están dados por
Desde y se puede intercambiar sin cambiar la energía, cada nivel de energía tiene una degeneración de al menos dos cuando y son diferentes. Los estados degenerados también se obtienen cuando la suma de los cuadrados de los números cuánticos correspondientes a diferentes niveles de energía es la misma. Por ejemplo, los tres estados (n x = 7, n y = 1), (n x = 1, n y = 7) y (n x = n y = 5) todos tienen y constituyen un conjunto degenerado.
Grados de degeneración de diferentes niveles de energía para una partícula en una caja cuadrada:
Degeneración | |||
---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 1 |
2 1 | 1 2 | 5 5 | 2 |
2 | 2 | 8 | 1 |
3 1 | 1 3 | 10 10 | 2 |
3 2 | 2 3 | 13 13 | 2 |
4 1 | 1 4 | 17 17 | 2 |
3 | 3 | 18 | 1 |
... | ... | ... | ... |
7 5 1 | 1 5 7 | 50 50 50 | 3 |
... | ... | ... | ... |
8 7 4 1 | 1 4 7 8 | 65 65 65 65 | 4 |
... | ... | ... | ... |
9 7 6 2 | 2 6 7 9 | 85 85 85 85 | 4 |
... | ... | ... | ... |
11 10 5 2 | 2 5 10 11 | 125 125 125 125 | 4 |
... | ... | ... | ... |
14 10 2 | 2 10 14 | 200 200 200 | 3 |
... | ... | ... | ... |
17 13 7 | 7 13 17 | 338 338 338 | 3 |
Partícula en una caja cúbica
En este caso, las dimensiones de la caja y los valores propios de energía dependen de tres números cuánticos.
Desde , y se puede intercambiar sin cambiar la energía, cada nivel de energía tiene una degeneración de al menos tres cuando los tres números cuánticos no son todos iguales.
Encontrar una base propia única en caso de degeneración
Si dos operadores y conmutar, es decir , luego para cada vector propio de , es también un vector propio de con el mismo valor propio. Sin embargo, si este valor propio, digamos, es degenerado, se puede decir que pertenece al eigenspace de , que se dice que es globalmente invariante bajo la acción de .
Para dos observables A y B conmutados , se puede construir una base ortonormal del espacio de estados con vectores propios comunes a los dos operadores. Sin emabargo, es un autovalor degenerado de , entonces es un subespacio propio de que es invariante bajo la acción de , por lo que la representación de en la base propia de no es una diagonal sino una matriz diagonal de bloques , es decir, los vectores propios degenerados de no son, en general, autovectores de . Sin embargo, siempre es posible elegir, en cada subespacio propio degenerado de, una base de autovectores comunes a y .
Elegir un conjunto completo de observables de conmutación
Si un observable A dado no es degenerado, existe una base única formada por sus vectores propios. Por otro lado, si uno o varios valores propios deson degenerados, especificar un valor propio no es suficiente para caracterizar un vector base. Si, eligiendo un observable, que conmuta con , es posible construir una base ortonormal de autovectores comunes a y , que es único, para cada uno de los posibles pares de valores propios {a, b}, entonces y se dice que forman un conjunto completo de observables conmutados . Sin embargo, si todavía no se puede especificar un conjunto único de autovectores, para al menos uno de los pares de autovalores, un tercer observable, que conmuta con ambos y se puede encontrar de manera que los tres formen un conjunto completo de observables conmutados.
De ello se desprende que las funciones propias del hamiltoniano de un sistema cuántico con un valor de energía común deben etiquetarse dando alguna información adicional, lo que se puede hacer eligiendo un operador que conmuta con el hamiltoniano. Estas etiquetas adicionales requerían el nombre de una función propia de energía única y generalmente están relacionadas con las constantes de movimiento del sistema.
Eigenstates de energía degenerada y el operador de paridad
El operador de paridad se define por su acción en el representación del cambio de r por -r, es decir
Se puede demostrar que los valores propios de P están limitados a , que son valores propios degenerados en un espacio de estados de dimensión infinita. Un vector propio de P con valor propio +1 se dice que es par, mientras que el que tiene valor propio -1 se dice que es impar.
Ahora, un operador uniforme es uno que satisface,
mientras que un operador extraño es uno que satisface
Dado que el cuadrado del operador de impulso es par, si el potencial V (r) es par, el hamiltoniano se dice que es un operador uniforme. En ese caso, si cada uno de sus valores propios no es degenerado, cada vector propio es necesariamente un estado propio de P, y por lo tanto es posible buscar los estados propios deentre estados pares e impares. Sin embargo, si uno de los estados propios de energía no tiene paridad definida , se puede afirmar que el valor propio correspondiente es degenerado, y es un vector propio de con el mismo valor propio que .
Degeneración y simetría
El origen físico de la degeneración en un sistema mecánico cuántico es a menudo la presencia de alguna simetría en el sistema. El estudio de la simetría de un sistema cuántico puede, en algunos casos, permitirnos encontrar los niveles de energía y las degeneraciones sin resolver la ecuación de Schrödinger, reduciendo así el esfuerzo.
Matemáticamente, la relación de la degeneración con la simetría se puede aclarar de la siguiente manera. Considere una operación de simetría asociado con un operador unitario S . Bajo tal operación, el nuevo hamiltoniano se relaciona con el hamiltoniano original por una transformación de similitud generada por el operador S , tal que, ya que S es unitario. Si el hamiltoniano permanece sin cambios bajo la operación de transformación S , tenemos
Ahora si es un estado propio de energía,
donde E es el valor propio de energía correspondiente.
Lo que significa que es también un estado propio de energía con el mismo valor propio E . Si los dos estados y son linealmente independientes (es decir, físicamente distintos), por lo tanto, están degenerados.
En los casos en que S se caracteriza por un parámetro continuo , todos los estados de la forma tienen el mismo valor propio de energía.
Grupo de simetría del hamiltoniano
Se dice que el conjunto de todos los operadores que conmuta con el hamiltoniano de un sistema cuántico forma el grupo de simetría del hamiltoniano. Los conmutadores de los generadores de este grupo determinan el álgebra del grupo. Una representación n-dimensional del grupo de simetría conserva la tabla de multiplicar de los operadores de simetría. Las posibles degeneraciones del hamiltoniano con un grupo de simetría particular están dadas por las dimensionalidades de las representaciones irreductibles del grupo. Las funciones propias correspondientes a un valor propio degenerado n veces mayor forman una base para una representación irreducible de n dimensiones del grupo de simetría del hamiltoniano.
Tipos de degeneración
Las degeneraciones en un sistema cuántico pueden ser de naturaleza sistemática o accidental.
Degeneración sistemática o esencial
Esto también se denomina degeneración geométrica o normal y surge debido a la presencia de algún tipo de simetría en el sistema en consideración, es decir, la invariancia del hamiltoniano bajo una determinada operación, como se describió anteriormente. La representación obtenida de una degeneración normal es irreducible y las funciones propias correspondientes forman una base para esta representación.
Degeneración accidental
Es un tipo de degeneración resultante de algunas características especiales del sistema o de la forma funcional del potencial en consideración, y posiblemente se relaciona con una simetría dinámica oculta en el sistema. [4] También da como resultado cantidades conservadas, que a menudo no son fáciles de identificar. Las simetrías accidentales conducen a estas degeneraciones adicionales en el espectro de energía discreta. Una degeneración accidental puede deberse al hecho de que el grupo del hamiltoniano no está completo. Estas degeneraciones están conectadas a la existencia de órbitas ligadas en la Física clásica.
Ejemplos: potenciales de Coulomb y Oscilador Armónico
Para una partícula en un potencial 1 / r central , el vector de Laplace-Runge-Lenz es una cantidad conservada resultante de una degeneración accidental, además de la conservación del momento angular debido a la invariancia rotacional.
Para una partícula que se mueve sobre un cono bajo la influencia de los potenciales 1 / r y r 2 , centrada en la punta del cono, las cantidades conservadas correspondientes a la simetría accidental serán dos componentes de un equivalente del vector de Runge-Lenz, además a un componente del vector de momento angular. Estas cantidades generan simetría SU (2) para ambos potenciales.
Ejemplo: partícula en un campo magnético constante
Una partícula que se mueve bajo la influencia de un campo magnético constante, experimentando un movimiento de ciclotrón en una órbita circular es otro ejemplo importante de una simetría accidental. Los multipletes de simetría en este caso son los niveles de Landau que están infinitamente degenerados.
Ejemplos de
El átomo de hidrógeno
En física atómica , los estados ligados de un electrón en un átomo de hidrógeno nos muestran ejemplos útiles de degeneración. En este caso, el hamiltoniano conmuta con el momento angular orbital total , su componente a lo largo de la dirección z, , momento angular de giro total y su componente z . Los números cuánticos correspondientes a estos operadores son, , (siempre 1/2 para un electrón) y respectivamente.
Los niveles de energía en el átomo de hidrógeno dependen únicamente del número cuántico principal n . Para una n dada , todos los estados correspondientes atienen la misma energía y están degenerados. De manera similar, para valores dados de n y l , el, estados con están degenerados. Por tanto, el grado de degeneración del nivel energético E n es:, que se duplica si se incluye la degeneración de espín. [1] : pág. 267f
La degeneración con respecto a es una degeneración esencial que está presente para cualquier potencial central y surge de la ausencia de una dirección espacial preferida. La degeneración con respecto ase describe a menudo como una degeneración accidental, pero puede explicarse en términos de simetrías especiales de la ecuación de Schrödinger que solo son válidas para el átomo de hidrógeno en el que la energía potencial está dada por la ley de Coulomb . [1] : pág. 267f
Oscilador armónico tridimensional isotrópico
Es una partícula sin espinas de masa m que se mueve en un espacio tridimensional , sujeta a una fuerza central cuyo valor absoluto es proporcional a la distancia de la partícula al centro de fuerza.
Se dice que es isotrópico ya que el potencial actuar sobre él es invariante rotacionalmente, es decir:
dónde es la frecuencia angular dada por.
Dado que el espacio de estado de dicha partícula es el producto tensorial de los espacios de estado asociados con las funciones de onda unidimensionales individuales, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para tal sistema viene dada por:
Entonces, los valores propios de energía son
o,
donde n es un número entero no negativo. Entonces, los niveles de energía están degenerados y el grado de degeneración es igual al número de conjuntos diferentes. satisfactorio
La degeneración del El estado se puede encontrar considerando la distribución de cuantos a través , y . Tener 0 en da posibilidades de distribución en y . Tener 1 quanta en da posibilidades a través y y así. Esto conduce al resultado general de y sumando todo conduce a la degerneracy de la Expresar,
Como se muestra, solo el estado fundamental donde es no degenerado (es decir, tiene una degeneración de ).
Eliminar la degeneración
La degeneración en un sistema de mecánica cuántica puede eliminarse si la simetría subyacente se rompe por una perturbación externa . Esto provoca la división de los niveles de energía degenerados. Se trata esencialmente de una división de las representaciones irreductibles originales en representaciones de dimensiones inferiores del sistema perturbado.
Matemáticamente, la división debida a la aplicación de un pequeño potencial de perturbación se puede calcular utilizando la teoría de perturbación degenerada independiente del tiempo . Este es un esquema de aproximación que se puede aplicar para encontrar la solución a la ecuación de valor propio para el Hamiltoniano H de un sistema cuántico con una perturbación aplicada, dada la solución para el Hamiltoniano H 0 para el sistema no perturbado. Implica expandir los valores propios y los mercados propios del Hamiltoniano H en una serie de perturbaciones. Los estados propios degenerados con un valor propio de energía dado forman un subespacio vectorial, pero no todas las bases de los estados propios de este espacio son un buen punto de partida para la teoría de la perturbación, porque típicamente no habría ningún estado propio del sistema perturbado cerca de ellos. La base correcta para elegir es aquella que diagonaliza la perturbación hamiltoniana dentro del subespacio degenerado.
Levantamiento de la degeneración mediante la teoría de la perturbación degenerada de primer orden. Considere un hamiltoniano imperturbable y perturbación , de modo que el perturbado hamiltoniano El estado propio perturbado, para no degeneración, viene dado por:
El eigenket de energía perturbado, así como los cambios de energía de orden superior, divergen cuando , es decir, en presencia de degeneración en los niveles de energía. Asumiendo posee N autoestados degenerados con el mismo valor propio de energía E, y también en general algunos estados propios no degenerados. Un estado propio perturbado puede escribirse como una expansión lineal en los eigenstates degenerados imperturbables como-
dónde se refieren a los valores propios de la energía perturbada. Desde es un autovalor degenerado de ,
Premultiplicar por otro eigenket degenerado imperturbable da-
Este es un problema de valores propios, y escribir , tenemos-
Los N autovalores obtenidos al resolver esta ecuación dan los cambios en el nivel de energía degenerada debido a la perturbación aplicada, mientras que los autovectores dan los estados perturbados en la base degenerada no perturbada. . Para elegir los buenos autoestados desde el principio, es útil encontrar un operador que conmuta con el hamiltoniano original y tiene autoestados simultáneos con él.
Ejemplos físicos de eliminación de degeneración por perturbación
A continuación se dan algunos ejemplos importantes de situaciones físicas en las que los niveles de energía degenerados de un sistema cuántico se dividen mediante la aplicación de una perturbación externa.
Ruptura de simetría en sistemas de dos niveles
Un sistema de dos niveles se refiere esencialmente a un sistema físico que tiene dos estados cuyas energías están muy juntas y son muy diferentes de las de los otros estados del sistema. Todos los cálculos para dicho sistema se realizan en un subespacio bidimensional del espacio de estados.
Si el estado fundamental de un sistema físico es doblemente degenerado, cualquier acoplamiento entre los dos estados correspondientes reduce la energía del estado fundamental del sistema y lo hace más estable.
Si y son los niveles de energía del sistema, tales que , y la perturbación se representa en el subespacio bidimensional como la siguiente matriz 2 × 2
entonces las energías perturbadas son
Ejemplos de sistemas de dos estados en los que la degeneración en los estados de energía se rompe por la presencia de términos fuera de la diagonal en el hamiltoniano que resultan de una interacción interna debido a una propiedad inherente del sistema incluyen:
- Benceno , con dos posibles disposiciones de los tres dobles enlaces entre átomos de carbono vecinos .
- Molécula de amoníaco , donde el átomo de nitrógeno puede estar por encima o por debajo del plano definido por los tres átomos de hidrógeno .
- H+ 2 molécula, en la que el electrón puede estar localizado alrededor de cualquiera de los dos núcleos.
División de estructura fina
Las correcciones de la interacción de Coulomb entre el electrón y el protón en un átomo de hidrógeno debido al movimiento relativista y al acoplamiento espín-órbita dan como resultado la ruptura de la degeneración en los niveles de energía para diferentes valores de l correspondientes a un único número cuántico principal n .
La perturbación hamiltoniana debida a la corrección relativista viene dada por
dónde es el operador de impulso y es la masa del electrón. La corrección de energía relativista de primer orden en el la base está dada por
Ahora
dónde es la constante de estructura fina .
La interacción espín-órbita se refiere a la interacción entre el momento magnético intrínseco del electrón con el campo magnético que experimenta debido al movimiento relativo con el protón. La interacción hamiltoniana es
que puede estar escrito como
La corrección de energía de primer orden en el base donde la perturbación hamiltoniana es diagonal, está dada por
dónde es el radio de Bohr . El desplazamiento de energía total de estructura fina está dado por
por .
Efecto Zeeman
La división de los niveles de energía de un átomo cuando se coloca en un campo magnético externo debido a la interacción del momento magnético. del átomo con el campo aplicado se conoce como efecto Zeeman .
Teniendo en cuenta los momentos angulares orbital y de giro, y , respectivamente, de un solo electrón en el átomo de hidrógeno, la perturbación hamiltoniana viene dada por
dónde y . Por lo tanto,
Ahora, en el caso del efecto Zeeman de campo débil, cuando el campo aplicado es débil en comparación con el campo interno, el acoplamiento espín-órbita domina y y no se conservan por separado. Los números buena cuánticos son n , l , j y m j , y en esta base, la primera corrección de la energía orden pueden ser mostrados a ser dada por
- , dónde
se llama Bohr Magneton. Por lo tanto, dependiendo del valor de, cada nivel de energía degenerado se divide en varios niveles.
En el caso del efecto Zeeman de campo fuerte, cuando el campo aplicado es lo suficientemente fuerte, de modo que los momentos angulares orbital y de espín se desacoplan, los números cuánticos buenos son ahora n , l , m l y m s . Aquí, L z y S z se conservan, por lo que la perturbación hamiltoniana viene dada por:
asumiendo que el campo magnético está en la dirección z . Entonces,
Para cada valor de m l , hay dos valores posibles de m s ,.
Efecto Stark
La división de los niveles de energía de un átomo o molécula cuando se somete a un campo eléctrico externo se conoce como efecto Stark .
Para el átomo de hidrógeno, la perturbación hamiltoniana es
si el campo eléctrico se elige a lo largo de la dirección z .
Las correcciones de energía debidas al campo aplicado están dadas por el valor esperado de en el base. Puede mostrarse mediante las reglas de selección que Cuándo y .
La degeneración se levanta solo para ciertos estados que obedecen las reglas de selección, en el primer orden. La división de primer orden en los niveles de energía para los estados degenerados. y , ambos correspondientes an = 2, viene dado por.
Ver también
- Densidad de estados
Referencias
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