En la teoría algebraica de números , el teorema del ideal primo es la generalización del campo numérico del teorema del número primo . Se proporciona una fórmula asintótica para contar el número de ideales primos de un campo de número K , con la norma en la mayoría de X .
Ejemplo
Lo que se puede esperar ya se puede ver para los enteros gaussianos . Allí, para cualquier número primo p de la forma 4 n + 1, p se factoriza como un producto de dos primos gaussianos de norma p . Los primos de la forma 4 n + 3 siguen siendo primos, lo que da un primo gaussiano de la norma p 2 . Por lo tanto, debemos estimar
donde r cuenta primos en la progresión aritmética 4 n + 1, y r ′ en la progresión aritmética 4 n + 3. Por la forma cuantitativa del teorema de Dirichlet sobre primos , cada r ( Y ) y r ′ ( Y ) es asintóticamente
Por tanto, el término 2 r ( X ) predomina, y es asintóticamente
Campos numéricos generales
Este patrón general es válido para los campos numéricos en general, de modo que el teorema del ideal primo está dominado por los ideales de la norma un número primo. Como demostró Edmund Landau en Landau 1903 , para la norma como máximo X la misma fórmula asintótica
siempre aguanta. Heurísticamente, esto se debe a que la derivada logarítmica de la función zeta de Dedekind de K siempre tiene un polo simple con residuo −1 en s = 1.
Al igual que con el Teorema de los números primos, se puede dar una estimación más precisa en términos de la función integral logarítmica . El número de ideales primos de norma ≤ X es
donde c K es una constante que depende de K .
Ver también
Referencias
- Alina Carmen Cojocaru ; M. Ram Murty . Introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 66 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 35–38. ISBN 0-521-61275-6.
- Landau, Edmund (1903). "Neuer Beweis des Primzahlsatzes und Beweis des Primidealsatzes" . Mathematische Annalen . 56 (4): 645–670. doi : 10.1007 / BF01444310 . S2CID 119669682 .
- Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge en matemáticas avanzadas. 97 . págs. 266–268. ISBN 978-0-521-84903-6.