La teoría analítica abstracta de números es una rama de las matemáticas que toma las ideas y técnicas de la teoría analítica clásica de números y las aplica a una variedad de campos matemáticos diferentes. El teorema clásico de los números primos sirve como ejemplo prototípico, y el énfasis está en los resultados abstractos de la distribución asintótica . La teoría fue inventada y desarrollada por matemáticos como John Knopfmacher y Arne Beurling en el siglo XX.
Semigrupos aritméticos
La noción fundamental involucrada es la de un semigrupo aritmético , que es un monoide conmutativo G que satisface las siguientes propiedades:
- Existe un subconjunto contable (finito o infinito numerable) P de G , tal que cada elemento a ≠ 1 en G tiene una factorización única de la forma
- donde p i son elementos distintos de P , α i son enteros positivos , r puede depender de a , y dos factorizaciones se consideran iguales si difieren solo por el orden de los factores indicados. Los elementos de P se llaman los números primos de G .
- Existe una verdadera -valued mapeo norma en G tal que
- El número total de elementos de norma es finito, para cada real .
Sistemas de numeración aditiva
Un sistema numérico aditivo es un semigrupo aritmético en el que el monoide G subyacente es abeliano libre . La función de norma se puede escribir de forma aditiva. [1]
Si la norma tiene valores enteros, asociamos las funciones de conteo a ( n ) yp ( n ) con G donde p cuenta el número de elementos de P de la norma n , y a cuenta el número de elementos de G de la norma n . Dejamos que A ( x ) y P ( x ) sean las correspondientes series de potencias formales . Tenemos la identidad fundamental [2]
que codifica formalmente la expresión única de cada elemento de G como un producto de los elementos de P . El radio de convergencia de G es el radio de convergencia de la serie de potencias A ( x ). [3]
La identidad fundamental tiene la forma alternativa [4]
Ejemplos de
- El ejemplo prototípico de un semigrupo aritmético es el semigrupo multiplicativo de enteros positivos G = Z + = {1, 2, 3, ...}, con un subconjunto de primos racionales P = {2, 3, 5, ...}. Aquí, la norma de un número entero es simplemente , así que eso , el mayor número entero que no exceda x .
- Si K es un campo numérico algebraico , es decir, una extensión finita del campo de números racionales Q , entonces el conjunto G de todos los ideales distintos de cero en el anillo de números enteros O K de K forma un semigrupo aritmético con elemento identidad O K y la norma de un ideal I viene dada por la cardinalidad del anillo cociente O K / I . En este caso, la generalización apropiada del teorema del número primo es el teorema prime ideales Landau , que describe la distribución asintótica de los ideales en O K .
- Se pueden considerar varias categorías aritméticas que satisfacen un teorema del tipo Krull-Schmidt. En todos estos casos, los elementos de G son clases de isomorfismo en una categoría apropiada , y P consta de todas las clases de isomorfismo de objetos indecomponibles , es decir, objetos que no se pueden descomponer como producto directo de objetos distintos de cero. Algunos ejemplos típicos son los siguientes.
- La categoría de todos los grupos abelianos finitos bajo la operación de producto directo habitual y el mapeo de normas.Los objetos indecomponibles son los grupos cíclicos de primer orden de potencia.
- La categoría de todas las variedades Riemannianas compactas , simétricas globalmente conectadas bajo el producto Riemanniano de variedades y mapeo de normas.donde c > 1 es fijo, y Dim M indica la dimensión del colector de M . Los objetos indecomponibles son los espacios simétricos irreductibles compactos simplemente conectados .
- La categoría de todos los espacios topológicos finitos pseudometrizables bajo la suma topológica y el mapeo de normas.Los objetos indecomponibles son los espacios conectados .
Métodos y técnicas
El uso de funciones aritméticas y funciones zeta es extenso. La idea es extender los diversos argumentos y técnicas de funciones aritméticas y funciones zeta en la teoría analítica de números clásica al contexto de un semigrupo aritmético arbitrario que puede satisfacer uno o más axiomas adicionales. Un axioma tan típico es el siguiente, generalmente llamado "Axioma A" en la literatura:
- Un axioma . Existen constantes positivas A yy una constante con , tal que [5]
Para cualquier semigrupo aritmético que satisfaga el axioma A , tenemos el siguiente teorema abstracto de los números primos : [6]
donde π G ( x ) = número total de elementos p en P de la norma | p | ≤ x .
Formación aritmética
La noción de formación aritmética proporciona una generalización del grupo de clases ideal en la teoría algebraica de números y permite obtener resultados abstractos de distribución asintótica bajo restricciones. En el caso de campos numéricos, por ejemplo, este es el teorema de densidad de Chebotarev . Una formación aritmética es un semigrupo aritmética G con una relación de equivalencia ≡ tal que el cociente G / ≡ es un finito abeliano grupo A . Este cociente es el grupo de clases de la formación y las clases de equivalencia son progresiones aritméticas generalizadas o clases ideales generalizadas. Si χ es un carácter de A entonces podemos definir una serie de Dirichlet
que proporciona una noción de función zeta para semigrupo aritmético. [7]
Ver también
- Axioma A , una propiedad de los sistemas dinámicos
- Función beurling zeta
Referencias
- ^ Burris (2001) p.20
- ^ Burris (2001) p.26
- ^ Burris (2001) p.31
- ^ Burris (2001) p.34
- ^ Knopfmacher (1990) p.75
- ^ Knopfmacher (1990) p.154
- ^ Knopfmacher (1990) págs. 250-264
- Burris, Stanley N. (2001). Densidad teórica de números y leyes de límites lógicos . Encuestas y Monografías Matemáticas. 86 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001 .
- Knopfmacher, John (1990) [1975]. Teoría Analítica Abstracta de Números (2ª ed.). Nueva York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002 .
- Montgomery, Hugh L .; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 97 . pag. 278. ISBN 978-0-521-84903-6. Zbl 1142.11001 .