En matemáticas , el método Langlands-Shahidi proporciona los medios para definir funciones L automórficas en muchos casos que surgen con grupos reductores conectados en un campo numérico . Esto incluye productos de Rankin-Selberg para representaciones automórficas cúspides de grupos lineales generales . El método desarrolla la teoría del coeficiente local , que se vincula con la teoría global a través de la serie de Eisenstein . Las funciones L resultantes satisfacen una serie de propiedades analíticas, incluida una ecuación funcional importante.
El coeficiente local
La configuración se encuentra en la generalidad de un grupo reductor G casi dividido conectado , junto con un subgrupo M de Levi , definido sobre un campo F local . Por ejemplo, si G = G l es un grupo clásico de rango l , sus subgrupos de Levi máximos son de la forma GL ( m ) × G n , donde G n es un grupo clásico de rango n y del mismo tipo que G l , l = m + n . F. Shahidi desarrolla la teoría del coeficiente local para representaciones genéricas irreductibles de M (F) . [1] El coeficiente local se define mediante la propiedad de unicidad de los modelos de Whittaker emparejados con la teoría de operadores entrelazados para representaciones obtenidas por inducción parabólica a partir de representaciones genéricas.
El operador global entrelazado que aparece en la ecuación funcional de la teoría de Langlands de la serie de Eisenstein [2] puede descomponerse como un producto de operadores locales entrelazados. Cuando M es un subgrupo de Levi máximo, los coeficientes locales surgen de los coeficientes de Fourier de series de Eisenstein elegidas apropiadamente y satisfacen una ecuación funcional burda que involucra un producto de funciones L parciales.
Factores locales y ecuación funcional
Un paso de inducción refina la ecuación funcional cruda de una representación automórfica cuspidal genérica globalmente a ecuaciones funcionales individuales de funciones L parciales y factores γ : [3]
Los detalles son técnicos: s una variable compleja, S un conjunto finito de lugares (del campo global subyacente) conunramificado para v fuera de S , yes la acción adjunta de M en el complejo de álgebra de Lie de un subgrupo específico de la dual grupo Langlands de G . Cuando G es el grupo lineal especial SL (2), y M = T es el toro máximo de matrices diagonales, entonces π es un Größencharakter y los factores γ correspondientes son los factores locales de la tesis de Tate .
Los factores γ se caracterizan únicamente por su papel en la ecuación funcional y una lista de propiedades locales, incluida la multiplicatividad con respecto a la inducción parabólica. Satisfacen una relación que involucra funciones L de Artin y números raíz de Artin cuando v da un campo local arquimediano o cuando v no es arquimediano yes un constituyente de una representación en serie principal sin ramificar de M (F) . Local L -Funciones y números de raíz ε luego se definen en cada lugar, incluyendo , mediante la clasificación de Langlands para grupos p -ádicos. La ecuación funcional toma la forma
dónde y son la función L global completada y el número raíz.
Ejemplos de funciones L automórficas
- , la función L de Rankin-Selberg de las representaciones automórficas cúspidesde GL ( m ) yde GL ( n ).
- , donde τ es una representación automórfica cuspidal de GL ( m ) y π es una representación automórfica cúspide genérica globalmente de un grupo G clásico .
- , con τ como antes y r un cuadrado simétrico, un cuadrado exterior o una representación Asai del grupo dual de GL ( n ).
Una lista completa de funciones L de Langlands-Shahidi [4] depende del grupo G cuasi-dividido y del subgrupo M máximo de Levi . Más específicamente, la descomposición de la acción adjuntapueden clasificarse mediante diagramas de Dynkin . Un primer estudio de las funciones L automórficas a través de la teoría de la serie de Eisenstein se puede encontrar en los productos Euler de Langlands , [5] bajo el supuesto de que las representaciones automórficas están desramificadas en todas partes. Lo que proporciona el método Langlands-Shahidi es la definición de funciones L y números raíz sin ninguna otra condición sobre la representación de M que no sea la necesidad de la existencia de un modelo de Whittaker.
Propiedades analíticas de las funciones L
Global L -Funciones se dice que son agradables [6] si satisfacen:
- se extienden a funciones completas de la variable compleja s .
- están delimitados por franjas verticales.
- (Ecuación funcional) .
Las funciones L de Langlands – Shahidi satisfacen la ecuación funcional. SS Gelbart y F. Shahidi progresaron hacia la delimitación en franjas verticales. [7] Y, después de incorporar giros de caracteres altamente ramificados, las funciones L de Langlands-Shahidi se vuelven completas. [8]
Otro resultado es la no desaparición de las funciones L. Para los productos de Rankin-Selberg de grupos lineales generales, establece quees distinto de cero para cada número real t . [9]
Aplicaciones a la funcionalidad y a la teoría de la representación de grupos p -ádicos
- Functorialidad para los grupos clásicos : Una representación automórfica cuspidal globalmente genérica de un grupo clásico admite una elevación functorial de Langlands a una representación automórfica de GL ( N ), [10] donde N depende del grupo clásico. Entonces, los límites de Ramanujan de W. Luo, Z. Rudnick y P. Sarnak [11] para GL ( N ) sobre campos numéricos producen límites no triviales para la conjetura generalizada de Ramanujan de los grupos clásicos.
- Potencias simétricas para GL (2) : Las pruebas de functorialidad para el cubo simétrico y para la cuarta potencia simétrica [12] de las representaciones automórficas cúspides de GL (2) fueron posibles mediante el método Langlands-Shahidi. El progreso hacia poderes simétricos superiores conduce a los mejores límites posibles hacia la conjetura de Ramanujan-Peterson de las formas de cúspide automórficas de GL (2).
- Representaciones de grupos p -ádicos : Son posibles aplicaciones que involucran funciones μ de Harish-Chandra (de la fórmula de Plancherel) y series complementarias de grupos reductores p -ádicos. Por ejemplo, GL ( n ) aparece como el subgrupo Siegel Levi de un grupo clásico G. Si π es una representación supercuspidal ramificada, suave e irreducible de GL ( n , F ) sobre un campo F de números p -ádicos, y es irreductible, entonces:
- es irreducible y en la serie complementaria para 0 < s <1;
- es reducible y tiene una subrepresentación de serie discreta no supercuspidal genérica única;
- es irreducible y nunca en la serie complementaria para s > 1.
Aquí, se obtiene por inducción parabólica unitaria de
- si G = SO (2 n ), Sp (2 n ) o U ( n +1, n );
- si G = SO (2 n +1) o U ( n , n ).
Referencias
- ↑ F. Shahidi, Sobre ciertas funciones L, American Journal of Mathematics 103 (1981), 297–355.
- ^ RP Langlands, Sobre las ecuaciones funcionales satisfechas por la serie Eisenstein , Notas de clase en matemáticas, vol. 544, Springer-Verlag, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 1976.
- ^ F. Shahidi, una prueba de la conjetura de Langlands sobre las medidas de Plancherel; Serie complementaria para grupos p -ádicos , Annals of Mathematics 132 (1990), 273–330.
- ^ F. Shahidi, Serie Eisenstein y funciones L automórficas , Publicaciones del coloquio, vol. 58, Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, Rhode Island, 2010. ISBN 978-0-8218-4989-7
- ^ RP Langlands, Productos Euler , Universidad de Yale. Prensa, New Haven, 1971
- ^ JW Cogdell y II Piatetski-Shapiro, Teoremas inversos para GL ( n ) , Publications Mathématiques de l'IHÉS 79 (1994), 157-214.
- ^ S. Gelbart y F. Shahidi, Delimitación de las funciones L automórficas en franjas verticales , Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense, 14 (2001), 79-107.
- ^ HH Kim y F. Shahidi, Productos functoriales para GL (2) × GL (3) y el cubo simétrico para GL (2) , Annals of Mathematics 155 (2002), 837-893.
- ^ F. Shahidi, Sobre la no desaparición de las funciones L. Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) 2 (1980), núm. 3, 462–464.
- ^ JW Cogdell, HH Kim, II Piatetski-Shapiro y F. Shahidi, Functorialidad para los grupos clásicos , Publications Mathématiques de l'IHÉS 99 (2004), 163-233
- ^ W. Luo, Z. Rudnick y P. Sarnak, Sobre la conjetura generalizada de Ramanujan para GL ( n ) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 66 , part 2 (1999), 301-310.
- ^ HH Kim, Functorialidad para el cuadrado exterior de GL (4) y el cuarto simétrico de GL (2) , Journal of the American Mathematical Society 16 (2002), 131-183.