En teoría de la representación , una rama de las matemáticas, la Langlands dual L G de un grupo algebraico reductora G (también llamado el L -Grupo de G ) es un grupo que controla la teoría de la representación de G . Si G se define sobre un campo k , entonces L G es una extensión del grupo de Galois absoluto de k por un grupo de Lie complejo . También hay una variación llamada la forma Weil de la L -group, donde el grupo Galois es reemplazado por un grupo Weil . Aquí, la letra L en el nombre también indica la conexión con la teoría de las funciones L , particularmente las funciones L automórficas . El dual de Langlands fue introducido por Langlands (1967) en una carta a A. Weil .
El grupo L se usa mucho en las conjeturas de Langlands de Robert Langlands . Se utiliza para hacer declaraciones precisas de ideas que las formas automorfas se encuentran en un sentido funtorial en el grupo G , cuando k es un campo global . No es exactamente G con respecto a la cual las formas automorfas y representaciones son funtorial, pero L G . Esto da sentido a numerosos fenómenos, como el "levantamiento" de formas de un grupo a otro más grande, y el hecho general de que ciertos grupos que se vuelven isomorfos después de extensiones de campo tienen representaciones automórficas relacionadas.
Definición para campos cerrados separadamente
A partir de un grupo algebraico reductivo sobre un campo K separablemente cerrado , podemos construir su dato raíz ( X * , Δ, X * , Δ v ), donde X * es la red de caracteres de un toro máximo, X * la red dual (dado por los subgrupos de 1 parámetro), Δ las raíces y Δ v las coroots. Un grupo algebraico reductivo conectado sobre K está determinado de forma única (hasta el isomorfismo) por su dato raíz. Un dato raíz contiene un poco más de información que el diagrama de Dynkin , porque también determina el centro del grupo.
Para cualquier dato de raíz ( X * , Δ, X * , Δ v ), podemos definir un dato de raíz dual ( X * , Δ v , X * , Δ) cambiando los caracteres con los subgrupos de 1 parámetro y cambiando el raíces con las coroots.
Si G es un grupo algebraica reductora conectado sobre el campo algebraicamente cerrado K , entonces su Langlands dual grupo L G es el complejo grupo reductor conectado cuyo dato raíz es dual a la de G .
Ejemplos : El grupo dual de Langlands L G tiene el mismo diagrama de Dynkin que G , excepto que los componentes del tipo B n se cambian a componentes del tipo C n y viceversa. Si G tiene un centro trivial, entonces L G está simplemente conectado, y si G está simplemente conectado, entonces L G tiene un centro trivial. El dual de Langlands de GL n ( K ) es GL n ( C ).
Definición para grupos en campos más generales
Ahora supongamos que G es un grupo reductora sobre algún campo k con separable de cierre K . Sobre K , G tiene un dato raíz, y esto viene con una acción del grupo Galois Gal ( K / k ). El componente de identidad L G o del grupo L es el grupo reductor complejo conectado del dato de raíz dual; esto tiene una acción inducida del grupo de Galois Gal ( K / k ). El grupo L completo L G es el producto semidirecto
- L G = L G o × Gal ( K / k )
del componente conectado con el grupo Galois.
Hay algunas variaciones de la definición del grupo L , como sigue:
- En lugar de usar el grupo Galois completo Gal ( K / k ) del cierre separable, se puede simplemente usar el grupo Galois de una extensión finita sobre la cual G está dividido. El producto semidirecto correspondiente tiene entonces solo un número finito de componentes y es un grupo de Lie complejo.
- Suponga que k es un campo local, global o finito. En lugar de usar el grupo de Galois absoluto de k , se puede usar el grupo de Weil absoluto , que tiene un mapa natural del grupo de Galois y, por lo tanto, también actúa sobre el dato raíz. El producto semidirecto correspondiente se llama la forma Weil de la L -Grupo.
- Para los grupos algebraicos G sobre campos finitos, Deligne y Lusztig introdujeron un grupo dual diferente. Como antes, G da un dato raíz con una acción del grupo de Galois absoluto del campo finito. El grupo dual G * es entonces el grupo algebraico reductivo sobre el campo finito asociado al dato raíz dual con la acción inducida del grupo de Galois. (Este grupo dual se define sobre un campo finito, mientras que el componente del grupo dual Langlands se define sobre los números complejos).
Aplicaciones
Las conjeturas de Langlands implican, de manera muy aproximada, que si G es un grupo algebraico reductivo sobre un campo local o global, entonces existe una correspondencia entre las representaciones "buenas" de G y los homomorfismos de un grupo de Galois (o grupo de Weil o grupo de Langlands ) en el grupo dual Langlands de G . Una formulación más general de las conjeturas es la functorialidad de Langlands , que dice (aproximadamente) que dado un homomorfismo (bien comportado) entre los grupos duales de Langlands, debería haber un mapa inducido entre las representaciones "buenas" de los grupos correspondientes.
Para hacer explícita esta teoría, debe definirse el concepto de L- homomorfismo de un L- grupo en otro. Es decir, los grupos L deben convertirse en una categoría , de modo que la "funcionalidad" tenga significado. La definición de los grupos de Lie complejos es la esperada, pero los L- homomorfismos deben estar "por encima" del grupo de Weil.
Referencias
- A. Borel , funciones L automórficas , en formas, representaciones y funciones L automórficas , ISBN 0-8218-1437-0
- Langlands, R. (1967), carta a A. Weil
- Mirković, I .; Vilonen, K. (2007), "Dualidad geométrica de Langlands y representaciones de grupos algebraicos sobre anillos conmutativos", Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95-143, arXiv : math / 0401222 , doi : 10.4007 / annals. 2007.166.95 , ISSN 0003-486X , Sr. 2342692describe el grupo dual de G en términos de la geometría de la Grassmannian afín de G .