En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el modelo de Whittaker es una realización de una representación de un grupo algebraico reductivo como GL 2 sobre un campo finito o local o global en un espacio de funciones en el grupo. Lleva el nombre de ET Whittaker aunque nunca trabajó en esta área, porque (Jacquet 1966 , 1967 ) señaló que para el grupo SL 2 ( R ) algunas de las funciones involucradas en la representación son funciones de Whittaker .
Las representaciones irreducibles sin un modelo de Whittaker a veces se denominan "degeneradas", y las que tienen un modelo de Whittaker a veces se denominan "genéricas". La representación θ 10 del grupo simpléctico Sp 4 es el ejemplo más simple de una representación degenerada.
Modelos Whittaker para GL 2
Si G es el grupo algebraico GL 2 y F es un campo local, y τ es un fijo no trivial carácter del grupo aditivo de F y π es una representación irreducible de un grupo lineal general G ( F ), entonces el modelo Whittaker para π es una representación π en un espacio de funciones ƒ en G ( F ) que satisface
Jacquet y Langlands (1970) utilizaron modelos de Whittaker para asignar funciones L a representaciones admisibles de GL 2 .
Modelos Whittaker para GL n
Dejar ser el grupo lineal general , un suave carácter aditivo no trivial valorado complejo de y el subgrupo de que consta de matrices triangulares superiores unipotentes. Un personaje no degenerado en es de la forma
por ∈ y distinto de cero ∈ . Si es una representación fluida de , un Whittaker funcional es un funcional lineal continuo en tal que para todos ∈ , ∈ . La multiplicidad uno afirma que, por unitario irreductible, el espacio de los funcionales de Whittaker tiene una dimensión a lo sumo igual a uno.
Modelos de Whittaker para grupos reductivos
Si G es un grupo reductor dividido y U es el radical unipotente de un subgrupo B de Borel , entonces un modelo de Whittaker para una representación es una incrustación del mismo en la representación inducida ( Gelfand-Graev ) IndG
U( χ ), donde χ es un carácter no degenerado de U , como la suma de los caracteres correspondientes a raíces simples.
Ver también
- Representación de Gelfand-Graev , aproximadamente la suma de los modelos de Whittaker sobre un campo finito.
- Modelo de Kirillov
Referencias
- Jacquet, Hervé (1966), "Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A943 – A945, ISSN 0151-0509 , MR 0200390
- Jacquet, Hervé (1967), "Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 95 : 243–309, doi : 10.24033 / bsmf.1654 , ISSN 0037-9484 , MR 0271275
- Jacquet, H .; Langlands, Robert P. (1970), formas automórficas en GL (2) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 114, 114 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0058988 , ISBN 978-3-540-04903-6, MR 0401654
- JA Shalika, El teorema de la multiplicidad uno para, The Annals of Mathematics, 2do. Ser., Vol. 100, N ° 2 (1974), 171-193.
Otras lecturas
- Jacquet, Hervé; Shalika, Joseph (1983). "Los modelos de Whittaker de representaciones inducidas" . Pacific Journal of Mathematics . 109 (1): 107–120. doi : 10.2140 / pjm.1983.109.107 . ISSN 0030-8730 .