La transformada de Laplace-Stieltjes , llamada así por Pierre-Simon Laplace y Thomas Joannes Stieltjes , es una transformada integral similar a la transformada de Laplace . Para funciones con valores reales , es la transformada de Laplace de una medida de Stieltjes , sin embargo, a menudo se define para funciones con valores en un espacio de Banach . Es útil en varias áreas de las matemáticas , incluido el análisis funcional y ciertas áreas de probabilidad teórica y aplicada .
La transformada de Laplace-Stieltjes de una función de valor real g está dada por una integral de Lebesgue-Stieltjes de la forma
para s un número complejo . Al igual que con la transformada de Laplace habitual, se obtiene una transformada ligeramente diferente según el dominio de integración, y para que se defina la integral, también es necesario que g tenga una variación acotada en la región de integración. Los más comunes son:
La transformada de Laplace-Stieltjes en el caso de una función de valor escalar se ve, por lo tanto, como un caso especial de la transformada de Laplace de una medida de Stieltjes . Esto es,
En particular, comparte muchas propiedades con la transformada de Laplace habitual. Por ejemplo, el teorema de convolución se cumple:
A menudo, solo se consideran los valores reales de la variable s , aunque si la integral existe como una integral de Lebesgue propia para un valor real dado s = σ , entonces también existe para todos los complejos s con re( s ) ≥ σ .