En física de la materia condensada , la función de onda de Laughlin [1] [2] es un ansatz , propuesto por Robert Laughlin para el estado fundamental de un gas electrónico bidimensional colocado en un campo magnético de fondo uniforme en presencia de un fondo de gelatina uniforme cuando el factor de llenado (efecto Hall cuántico) del nivel más bajo de Landau es dónde es un entero positivo impar. Fue construido para explicar la observación de la efecto Hall cuántico fraccional , y predijo la existencia de estados, así como excitaciones de cuasipartículas con carga eléctrica fraccionada , los cuales fueron posteriormente observados experimentalmente. Laughlin recibió un tercio del Premio Nobel de Física en 1998 por este descubrimiento. Al ser una función de onda de prueba, no es exacta, pero cualitativamente, reproduce muchas características de la solución exacta y, cuantitativamente, tiene superposiciones muy altas con el estado fundamental exacto para sistemas pequeños.
Si ignoramos la repulsión de gelatina y Coulomb mutua entre los electrones como una aproximación de orden cero, tenemos un nivel de Landau más bajo infinitamente degenerado (LLL) y con un factor de llenado de 1 / n, esperaríamos que todos los electrones se encontraran en el LLL. Activando las interacciones, podemos hacer la aproximación de que todos los electrones se encuentran en el LLL. Sies la función de onda de una sola partícula del estado LLL con los momentos angulares orbitales más bajos , entonces el ansatz de Laughlin para la función de onda de múltiples partículas es
donde la posición se denota por
en ( unidades gaussianas )
y y son coordenadas en el plano xy. Aquíes la constante de Planck reducida ,es la carga de electrones , es el número total de partículas, y es el campo magnético , que es perpendicular al plano xy. Los subíndices de z identifican la partícula. Para que la función de onda describa los fermiones , n debe ser un número entero impar. Esto obliga a la función de onda a ser antisimétrica bajo el intercambio de partículas. El momento angular para este estado es.
Figura 1. Energía de interacción vs.
por
y
. La energía está en unidades de
. Tenga en cuenta que los mínimos ocurren para
y
. En general, los mínimos ocurren en
.
La función de onda de Laughlin es la función de onda de múltiples partículas para las cuasipartículas . El valor esperado de la energía de interacción para un par de cuasipartículas es
donde está el potencial filtrado (ver Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético )
dónde es una función hipergeométrica confluente yes una función de Bessel del primer tipo. Aquí, es la distancia entre los centros de dos bucles de corriente, es la magnitud de la carga del electrón ,es la versión cuántica del radio de Larmor , yes el espesor del gas de electrones en la dirección del campo magnético. Los momentos angulares de los dos bucles de corriente individuales son y dónde . La longitud de tramado inverso viene dada por ( unidades gaussianas )
dónde es la frecuencia del ciclotrón , y es el área del gas de electrones en el plano xy.
La energía de interacción se evalúa como:
|
Figura 2. Energía de interacción vs.
por
y
. La energía está en unidades de
.
Para obtener este resultado hemos realizado el cambio de variables de integración
y
y anotado (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos )
La energía de interacción tiene mínimos para (Figura 1)
y
Para estos valores de la relación de momentos angulares, la energía se representa en la Figura 2 como una función de .