La gelatina , también conocida como gas de electrones uniformes ( UEG ) o gas de electrones homogéneos ( HEG ), es un modelo mecánico cuántico de electrones que interactúan en un sólido donde se supone que las cargas positivas (es decir, núcleos atómicos) se distribuyen uniformemente en el espacio; la densidad de electrones es una cantidad uniforme también en el espacio. Este modelo permite centrarse en los efectos en los sólidos que se producen debido a la naturaleza cuántica de los electrones y sus interacciones repulsivas mutuas (debido a una carga similar) sin la introducción explícita de la red y estructura atómicas que componen un material real. La gelatina se usa a menudo enLa física del estado sólido como un modelo simple de electrones deslocalizados en un metal, donde puede reproducir de forma cualitativa características de metales reales como el cribado , los plasmones , la cristalización de Wigner y las oscilaciones de Friedel .
A temperatura cero , las propiedades de la gelatina dependen únicamente de la densidad electrónica constante . Esto lo presta a un tratamiento dentro de la teoría funcional de la densidad ; el formalismo en sí mismo proporciona la base para la aproximación de densidad local a la densidad de energía de correlación de intercambio funcional.
El término gelatina fue acuñado por Conyers Herring , en alusión al fondo de "gelatina positiva" y al típico comportamiento metálico que muestra. [1]
Hamiltoniano
El modelo de gelatina trata rigurosamente el acoplamiento electrón-electrón. La carga de fondo artificial y sin estructura interactúa electrostáticamente consigo misma y con los electrones. El hamiltoniano de gelatina para N electrones confinados dentro de un volumen de espacio Ω, y con densidad electrónica ρ ( r ) y densidad de carga de fondo (constante) n ( R ) = N / Ω es [2] [3]
dónde
- H EL es el hamiltoniano electrónico compuesto por los términos cinéticos y de repulsión electrón-electrón:
- H back es el hamiltoniano de la carga de fondo positiva que interactúa electrostáticamente consigo misma:
- H el-atrás es el hamiltoniano interacción de electrones de fondo, de nuevo una interacción electrostática:
H back es una constante y, en el límite de un volumen infinito, divergente junto con H el-back . La divergencia se cancela mediante un término del acoplamiento electrón-electrón: las interacciones de fondo se cancelan y el sistema está dominado por la energía cinética y el acoplamiento de los electrones. Dicho análisis se realiza en el espacio de Fourier; los términos de interacción del hamiltoniano que quedan corresponden a la expansión de Fourier del acoplamiento de electrones para el cual q ≠ 0 .
Contribuciones a la energía total
La forma tradicional de estudiar el gas de electrones es comenzar con electrones que no interactúan y que se rigen solo por la parte de energía cinética del hamiltoniano, también llamado gas de Fermi . La energía cinética por electrón viene dada por
dónde es la energía de Fermi, es el vector de onda de Fermi, y la última expresión muestra la dependencia del radio de Wigner-Seitz donde la energía se mide en Rydbergs .
Sin hacer mucho trabajo, uno puede adivinar que las interacciones electrón-electrón escalarán como la inversa de la separación promedio electrón-electrón y, por lo tanto, como (dado que la interacción de Coulomb va como una sobre la distancia entre cargas) de modo que si vemos las interacciones como una pequeña corrección a la energía cinética, estamos describiendo el límite de pequeñas (es decir siendo más grande que ) y, por tanto, una alta densidad de electrones. Desafortunadamente, los metales reales normalmente tienen entre 2-5, lo que significa que esta imagen necesita una revisión seria.
La primera corrección del modelo de electrones libres para gelatina proviene de la contribución del intercambio de Fock a las interacciones electrón-electrón. Agregando esto, uno tiene una energía total de
donde el término negativo se debe al intercambio: las interacciones de intercambio reducen la energía total. Las correcciones de orden superior a la energía total se deben a la correlación de electrones y si uno decide trabajar en una serie para pequeñasuno encuentra
La serie es bastante precisa para pequeños pero de dudoso valor para valores encontrados en metales reales.
Para la gama completa de , La densidad de energía de correlación de Chachiyo se puede utilizar como corrección de orden superior. En este caso,
- , [4] que concuerda bastante bien (del orden de mili-Hartree) con la simulación cuántica de Monte Carlo.
Diagrama de fases de temperatura cero de gelatina en tres y dos dimensiones
La física del comportamiento de la fase de temperatura cero de la gelatina está impulsada por la competencia entre la energía cinética de los electrones y la energía de interacción electrón-electrón. El operador de energía cinética en las escalas hamiltonianas como, dónde es el radio de Wigner-Seitz , mientras que el operador de energía de interacción escala como. Por lo tanto, la energía cinética domina a alta densidad (pequeña), mientras que la energía de interacción domina a baja densidad (gran ).
El límite de alta densidad es donde la gelatina se parece más a un gas de electrones libres que no interactúa . Para minimizar la energía cinética, los estados de un solo electrón están deslocalizados, en un estado muy cercano al determinante de Slater (estado de no interacción) construido a partir de ondas planas. Aquí, los estados de onda plana de menor momento están doblemente ocupados por electrones de giro hacia arriba y hacia abajo, dando un fluido de Fermi paramagnético .
A densidades más bajas, donde la energía de interacción es más importante, es energéticamente ventajoso que el gas de electrones se polarice por espín (es decir, tenga un desequilibrio en el número de electrones de espín hacia arriba y hacia abajo), lo que da como resultado un Fermi ferromagnético. líquido. Este fenómeno se conoce como ferromagnetismo itinerante . A una densidad suficientemente baja, la penalización de energía cinética resultante de la necesidad de ocupar estados de onda plana de mayor momento se compensa con creces por la reducción en la energía de interacción debido al hecho de que los efectos de intercambio mantienen a los electrones indistinguibles alejados entre sí.
Se puede lograr una reducción adicional de la energía de interacción (a expensas de la energía cinética) localizando los orbitales de los electrones. Como resultado, la gelatina a temperatura cero y una densidad suficientemente baja formará el llamado cristal de Wigner , en el que los orbitales de una sola partícula tienen una forma aproximadamente gaussiana centrada en los sitios de la red cristalina. Una vez que se ha formado un cristal de Wigner, puede haber en principio más transiciones de fase entre diferentes estructuras de cristal y entre diferentes estados magnéticos para los cristales de Wigner (por ejemplo, configuraciones de espín antiferromagnético a ferromagnético) a medida que disminuye la densidad. Cuando se produce la cristalización de Wigner, la gelatina adquiere una banda prohibida .
Dentro de la teoría de Hartree-Fock , el fluido ferromagnético se vuelve abruptamente más estable que el fluido paramagnético en un parámetro de densidad de en tres dimensiones (3D) y en dos dimensiones (2D). [5] Sin embargo, de acuerdo con la teoría de Hartree-Fock, la cristalización de Wigner ocurre en en 3D y en 2D, de modo que la gelatina cristalizaría antes de que ocurra el ferromagnetismo itinerante. [6] Además, la teoría de Hartree-Fock predice un comportamiento magnético exótico, con el fluido paramagnético inestable a la formación de una onda espiral de densidad de espín. [7] [8] Desafortunadamente, la teoría de Hartree-Fock no incluye ninguna descripción de los efectos de correlación, que son energéticamente importantes en absoluto excepto las densidades más altas, por lo que se requiere un nivel más preciso de teoría para hacer declaraciones cuantitativas sobre la fase diagrama de gelatina.
Los métodos de Quantum Monte Carlo (QMC), que proporcionan un tratamiento explícito de los efectos de correlación de electrones, están generalmente aceptados para proporcionar el enfoque cuantitativo más preciso para determinar el diagrama de fase de temperatura cero de gelatina. La primera aplicación del método de difusión Monte Carlo fue el famoso cálculo de 1980 de Ceperley y Alder del diagrama de fase de temperatura cero de gelatina 3D. [9] Calcularon que la transición de fluido paramagnético-ferromagnético ocurriera en y cristalización de Wigner (a un cristal cúbico centrado en el cuerpo) para ocurrir en . Los cálculos subsiguientes de QMC [10] [11] han refinado su diagrama de fase: hay una transición de segundo orden desde un estado de fluido paramagnético a un fluido parcialmente polarizado de espín desde a alrededor ; y la cristalización de Wigner ocurre en.
En 2D, los cálculos de QMC indican que la transición de fluido paramagnético a fluido ferromagnético y la cristalización de Wigner ocurren en parámetros de densidad similares, en el rango . [12] [13] Los cálculos de QMC más recientes indican que no existe una región de estabilidad para un fluido ferromagnético. [14] En cambio, hay una transición de un fluido paramagnético a un cristal Wigner hexagonal en. Es posible que exista una pequeña región de estabilidad para un cristal de Wigner antiferromagnético (frustrado), antes de una transición adicional a un cristal ferromagnético. La transición de cristalización en 2D no es de primer orden, por lo que debe haber una serie continua de transiciones de fluido a cristal, quizás involucrando fases cristalinas / fluidas. [15] Los resultados experimentales para un gas de pozo 2D en una heteroestructura de GaAs / AlGaAs (que, a pesar de estar limpia, puede no corresponder exactamente al modelo de gelatina idealizada) indican una densidad de cristalización de Wigner de. [dieciséis]
Aplicaciones
Jellium es el modelo más simple de interacción de electrones. Se emplea en el cálculo de las propiedades de los metales, donde los electrones centrales y los núcleos se modelan como el fondo positivo uniforme y los electrones de valencia se tratan con total rigor. Las losas de gelatina semi-infinitas se utilizan para investigar las propiedades de la superficie, como la función de trabajo y los efectos de la superficie, como la adsorción ; cerca de las superficies, la densidad electrónica varía de manera oscilatoria, disminuyendo a un valor constante en la masa. [17] [18] [19]
Dentro de la teoría de la función de densidad , la gelatina se utiliza en la construcción de la aproximación de densidad local , que a su vez es un componente de funciones de energía de correlación de intercambio más sofisticadas. A partir de los cálculos cuánticos de Monte Carlo de gelatina, se han obtenido valores precisos de la densidad de energía de correlación para varios valores de la densidad electrónica, [9] que se han utilizado para construir funcionales de correlación semi-empírica. [20]
El modelo de gelatina se ha aplicado a superátomos y se ha utilizado en física nuclear .
Ver también
- Modelo de electrones libres : un modelo de gas de electrones en el que los electrones no interactúan con nada.
- Modelo de electrones casi libres : un modelo de gas de electrones donde los electrones no interactúan entre sí, pero sienten un potencial (débil) de la red atómica.
Referencias
- ^ Hughes, RIG (2006). "Práctica teórica: el cuarteto de Bohm-Pines" (PDF) . Perspectivas de la ciencia . 14 (4): 457–524. doi : 10.1162 / posc.2006.14.4.457 . S2CID 57569991 .
- ^ Gross, EKU; Runge, E .; Heinonen, O. (1991). Teoría de muchas partículas . Bristol: Verlag Adam Hilger. págs. 79–80. ISBN 978-0-7503-0155-8.
- ^ Giuliani, Gabriele; Vignale; Giovanni (2005). Teoría cuántica del electrón líquido . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 13-16 . ISBN 978-0-521-82112-4.
- ^ Teepanis Chachiyo (2016). "Energía de correlación de gas de electrones uniforme simple y precisa para el rango completo de densidades" . J. Chem. Phys . 145 (2): 021101. Código Bibliográfico : 2016JChPh.145b1101C . doi : 10.1063 / 1.4958669 . PMID 27421388 .
- ^ Giuliani, Gabriele; Vignale; Giovanni (2005). Teoría cuántica del electrón líquido . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-82112-4.
- ^ JR Trail; MD Towler; Necesidades de RJ (2003). "Teoría sin restricciones de Hartree-Fock de cristales de Wigner". Phys. Rev. B . 68 (4): 045107. arXiv : 0909.5498 . Código Bibliográfico : 2003PhRvB..68d5107T . doi : 10.1103 / PhysRevB.68.045107 . S2CID 8932393 .
- ^ AW Overhauser (1960). "Olas de densidad de giro gigante". Phys. Rev. Lett . 4 (9): 462–465. Código Bibliográfico : 1960PhRvL ... 4..462O . doi : 10.1103 / PhysRevLett.4.462 .
- ^ AW Overhauser (1962). "Spin Density Waves in an Electron Gas". Phys. Rev . 128 (3): 1437–1452. Código Bibliográfico : 1962PhRv..128.1437O . doi : 10.1103 / PhysRev.128.1437 .
- ^ a b DM Ceperley; BJ Alder (1980). "Estado fundamental del gas de electrones por un método estocástico" . Phys. Rev. Lett. (Manuscrito enviado). 45 (7): 566–569. Código Bibliográfico : 1980PhRvL..45..566C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.45.566 .
- ^ FH Zong; C. Lin; DM Ceperley (2002). "Spin polarización del gas de electrones tridimensionales de baja densidad". Phys. Rev. E . 66 (3): 1–7. arXiv : cond-mat / 0205339 . Código bibliográfico : 2002PhRvE..66c6703Z . doi : 10.1103 / PhysRevE.66.036703 . PMID 12366294 . S2CID 11606173 .
- ^ ND Drummond; Z. Radnai; JR Trail; MD Towler; Necesidades de RJ (2004). "Estudio de Monte Carlo cuántico de difusión de cristales de Wigner tridimensionales". Phys. Rev. B . 69 (8): 085116. arXiv : 0801.0377 . Código Bibliográfico : 2004PhRvB..69h5116D . doi : 10.1103 / PhysRevB.69.085116 . S2CID 18176116 .
- ^ B. Tanatar; DM Ceperley (1989). "Estado fundamental del gas de electrones bidimensionales". Phys. Rev. B . 39 (8): 5005–5016. Código Bibliográfico : 1989PhRvB..39.5005T . doi : 10.1103 / PhysRevB.39.5005 . PMID 9948889 .
- ^ F. Rapisarda; G. Senatore (1996). "Estudio de difusión de Monte Carlo de electrones en capas bidimensionales" . Aust. J. Phys . 49 : 161. Código Bibliográfico : 1996AuJPh..49..161R . doi : 10.1071 / PH960161 .
- ^ ND Drummond; Necesidades de RJ (2009). "Diagrama de fase del gas de electrones homogéneos bidimensionales de baja densidad". Phys. Rev. Lett . 102 (12): 126402. arXiv : 1002.2101 . Código Bibliográfico : 2009PhRvL.102l6402D . doi : 10.1103 / PhysRevLett.102.126402 . PMID 19392300 . S2CID 35125378 .
- ^ B. Spivak; SA Kivelson (2004). "Fases intermedias entre un electrón líquido bidimensional y un cristal de Wigner". Phys. Rev. B . 70 (15): 155114. Código Bibliográfico : 2004PhRvB..70o5114S . doi : 10.1103 / PhysRevB.70.155114 .
- ^ J. Yoon; CC Li; D. Shahar; DC Tsui; M. Shayegan (1999). "Cristalización de Wigner y transición de aislante metálico de orificios bidimensionales en GaAs en". Phys Rev. Lett. . 82 (8): 1744. arXiv : cond-mat / 9807235 . Bibcode : 1999PhRvL..82.1744Y . Doi : 10.1103 / PhysRevLett.82.1744 . S2CID 119.371.913 .
- ^ Lang, ND (1969). "Propiedades autoconsistentes de la distribución de electrones en una superficie metálica". Comun de estado sólido . 7 (15): 1047–1050. Código bibliográfico : 1969SSCom ... 7.1047L . doi : 10.1016 / 0038-1098 (69) 90467-0 .
- ^ Lang, ND; Kohn, W. (1970). "Teoría de las superficies metálicas: función de trabajo". Phys. Rev. B . 3 (4): 1215–223. Código Bibliográfico : 1971PhRvB ... 3.1215L . doi : 10.1103 / PhysRevB.3.1215 .
- ^ Lang, ND; Kohn, W. (1973). "Barreras de dipolo de superficie en metales simples". Phys. Rev. B . 8 (12): 6010–6012. Código bibliográfico : 1973PhRvB ... 8.6010L . doi : 10.1103 / PhysRevB.8.6010 .
- ^ Perdew, JP; McMullen, ER; Zunger, Alex (1981). "Teoría de densidad funcional de la energía de correlación en átomos e iones: un modelo analítico simple y un desafío". Phys. Rev. A . 23 (6): 2785–2789. Código Bibliográfico : 1981PhRvA..23.2785P . doi : 10.1103 / PhysRevA.23.2785 .